4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 51
Текст из файла (страница 51)
(5.120) » — о» »- — < Это условие везде в дальнейшем будем предполагать выполненным Эти соотношения 'показывают, по спектральная плотиасп )!») (иогда она существует) в козариационнзя функция !сч») находятся во взаимно однознач. иом соответствии, поэтому стационарную последовательность (Хс) можно описывать в терминах любой из этих функций. Предположим теперь, что известны значения процесса (Хс) в «прошлые» моменты 1= — и, — и+1, ..., — 1, О и требуется предсказать Хь т.
е. значение процесса в «будущий»момент1=1. Обозначим оптимальный линейный предиктор для Хх через Хгл; тогда, по теореме 5,8, о Х = Х () Хо (5.123) где 67„1= — и, ..., — 1, О, — значения ()с, минимизирующие выражение Е Х! — ~~ ()сХс~ . Согласно соотношениям (5.106), вес= — л личины ()Я„определяются в данном случае ковариацнонной функо цией процесса (Хс) по следующим формулам: !)с» =,У, ')гсс)т)-тв с= — л 1= — и, ..., — 1, О, (Ясс(1=(йс 11-' (1, 1= — п, ..., — 1, О). Обозначим )7» )7! " )7» )т! )сэ ° ° ° )сл — ! 1! (и+1) = с)7» )тв -2" Ло тогда в силу четности функции Я» !см.
(5.119)1(йс)1=)7-2(и+1). Наконец, принимая во внимание замечание к теореме (5.7), по. лучаем, что средний квадрат ошибки предиктора (5.123) о'(и) — = Е (Х» — Х;„)з= (5.124) Ответ иа запрос, прв каких условиях на процесс (Хс) сушестзует а» 1пп ое(л) н когда о»=О нли оз ° О, получен А. Н. Колмогоровым (194! г.) л сл и состоит в следуюшем. Обозначим через лс . 1=1, ..., л+1, собственные значения матрицы Ц (л+1).
Тогда если л+! 1)гп — У )п Дм=К, го о»=ек. 15,125) л овя ЙС с' = ! Таким образом, если К= — со. то предел величины (5.124) пря неограниченном увеличении числа наблюдений равен нулю, т. е. а этом случае прогноз является аснмптотичесии точным. Наконец, если предел в (5.125) конечен (К) — со), то он равен К = 1п гп+ — ~ )п 1 (д) бд.
1 гп 215 плоти ~~~~)" вариационнан фУнкциа Я») (илн спектральная Р ! с и его среднеквадратическая ошибка '5.124' ляются одйозначно. Если ()7 ! " ка ( . 4) опреде») неизвестна, то ее п е а и следует оценить по вспомогательной б воп о н льно в рке Рассмотрим кратко имеем дело с зависимыми наблюдениями). Среднее арифметическое Х= (Х,+ ... + Х )(и у ( . 8) является несмещенной оценкой для т: ЕХ = слоаия (5.118 „и на основании Вычислим дисперсию этой оценки.
Имеем для т: Х=т. л — 1 ът РХ=„-; ~, сот(Х*, Х ) =„—, ~ Ро,—— », в=! », 5=1 1 л — ! »в [»,в-в д (1 — „-)», . (5.126 »=! ) Отсюда н из условия (5.120) следует, что РХ-2.0 п и п-ьао имен порядок ),си, т. е. Х— ,и, т. е. Х вЂ” состоятельная оценка т. Нетрудно показать, что 1пп )~ (1 — А,си)Я»=",»', Я», поэтому из (5,126) и (5.121) следует, что РХ т7(0). Рассмотрим теперь задачу оценивании Я» (в силу четности )т» достаточно рассмотреть только А~О).
Если среднее т изве известно, л — » 1 цт С (и) = — ~~ (Хс — т) (Хс⻠— т), О~й(и, (5.127) с=! по ФОРмУле (5.118) имеем ЕС» (и) = 1 ъч т. е, статистика Сс,(п) являетсп несмещенной оценкой )7». Если же т неизвестно, то в формуле (5.127) вместо т надо подставить его оценку Х; тогда в качестве оценки Я» можно рассматривать статистику л — » 1 С» (п) = „— ~ (Х, — Х) (Хс+» — Х). (5.128) с=! Эта статистика уже не является несмещенной оценкой Я», но можно показать, что при выполнении условия (5.120) смешение ЕС»(и) — )7» = О (!си), т.
е. С„(п) — аснмптотическн несмещенная оценка )т» для любого фиксированного й, 2(9 Задач н 1 8,67 9,71 10,16 13,65 2 10,03 10,23 9,26 13,79 з';06х+". + азы)5з = уз Исследование вторых моментов оценок Сь(л) н Сз (и) более сложно н требует более сильных предположений о структуре процесса (Х,). Прн соответствующих условиях дисперсии н коварнзцнн зтвх оценок стремятся к нулю прн и -ьоэ (для ограинченных д), т. е. онк являются состоятельиымн оценками ковариацнонной функпнн )(ь (по крайней мере, прн ограниченных значениях й). Наврнмер, для гоусамскпх последовательностей «Хг) (т. е.
когда распределение любой конечной совокупностн величии нэ (ХП нормальное) необходимое и лсктаточное условна состоятельности зтнх оценок имеет вид — у )7з-'- О, 1 ът и лм ь=! 1. Вывести нормальное уравнение (5 5) метода наименьших квадратов. 2. Доказать формулу (5.21), определяющую обобщенную оценку взименьших квадратое ~м в проверптгь что матрица Р в пей положительно определена.
3. По данным неэавнснмых раввоточных измерений (Хь 1;), 1= 1, ..., л, значений некоторой лннейной функпвн х= ()г+ бзг (погрешности нзмереннй подчвняются нормальному распределению э г"(О, аэ) с ненэнестной дисперсией) построить донерптельиый интервал для интеграла от этой функции на отрезке — п(1(п (о задано). Провэвестн соответствующве вычисления для следующих данных. (2,96; — 2), (3,Ю; — 1), (3,41; 0), (3.63; 1), (3,79; 2) прн о=2 н довернтельном уровне у 0,95. 4. В, четырехугачьннке АВСР результатм незавнсимых н рвзноточных измереннй углов АВР, РВС, АВС, ВСР, СРВ, ВРА, СРА и РАВ (в градусах) соответственно таковы; 50,78; 30,25; 78,29; 99,57; 50,42; 40,59; 88,87; 89,86.
Счнтая, что ошибки нзмеренвй распределены нормально м4' (О, о'], найти о. н. к. углов 6т АВО, Вз=РВС, ()з=СРВ и ()з=ВРА. Построить 0,95-довервтельный интервал для оэ. 5. Результаты замероз координаты о(1) движущейся равномерно н првмо. лннейно точки в моменты 1= 1, 2, 3, 4, 5 оказались соответственно равны: 12,98; 13,05; 13,32; 14,22; 13,97. Предполагая погрешности намерений незавнснмымн н нормальнымп а/"(О, пз), построить 0,95-доверительный эллипс длв точки (а(0); н), где о †скорос точхв. 6.
Значения неэаянсямых .случайных величин Х)" (1= 1, 2, 3, 4; 1= 1,2) приведены в следующей таблнпе: ПРЕДПОЛаГаЯ, ЧтО О(Х(0)=ДФ 1рп ОЭ) (В Е ПаРаМЕтРЫ НЕНЗВЕСтНЫ), ПОСтРОвтЬ 1 г оценки для рм Пь рз, р, и оз н проверять гипотезу однородности Нег рт = =рз=рэ=гтз (уровень значимости принять равным 0,1). 7. Пусть имеются й предметов, веса которых ()м ..., ()ь неизвестны. Длв определения этих весов взвешивают комбинация предметош каждая операция (одно взвешивание) состоит в том, что несколько предметов кладут на одну чашу весов, несколько — иа другую н добавляют разновес для приведения весов в равновесие.
В результате получают соотношения (длк ~'-го взвешнзання, 1=1, ..., п), где з(0 =1, — 1, 0 в зазнснмостк ог того, 1 лежит 1-й предмет на левой чаше весов, на праной нлн вообще не участвует в данном взвешивании, а уг — добавляемый разновес. Считая погрешности измереяий независнмымн н йормальнымн мт'"(О, оэ), оценить веса четырех прел!кетов по данным следующей таблицы весьма вэнешвваннй: 1 1 1 1 1 1 1 1 йз 1 — ! 1 — 1 1 — ! 1 — ! 6з 1 1 — ! — ! ! 1 — 1 — 1 ()г 1 — 1 — 1 1 1 — 1 — 1 ! Вес 202 8,! 9,7 1,9 !9,9 8,3 10,2 1,8 Найти матрицу козарнаций оценок, а также опенку для оз.
Сравнять точность этих оценок с точностью оценок, получаемых обычным способом, КОгда каждый предмет взвешивают несколько раз н в начестве оценка его веса принимают среднее арифметическое результатов вэвешиваннй. У к а з а н и е. Использовать теорему 5.3. 8. Для данных задвчв 7 построить систему совместных довернтельнык интервалов для (1,, ..., 6з уровня ) 0,95. 9. Убеднться в том, что интервалы — 1) й щгзг Рг — 61-+-~ — Б (Р) Г з «(оы — 2п1+пП)~ ), 1 ~ 1 ( 1. й, образуют снстему совместных довернтельных интервалов уровня == у длк разностей В; — 6,, 1>1. 1О.
Доказать, что последовательности (Хг = $соз1+ т) мпг, 1 = О, ь 1, -л 2, ...) н Хг = ~~' а15г д 1=0, .ь 1, ук 2, ..., где $, т) н Ег, 1 1=о = О, .+- 1, гй 2, ...,— некоррелнровзнные случайные велнчнны с одвнаковымн средннмн в дисперсиями,— являются стацнонарвымн, вычнслнть их ковариацноннме функции. 11. Доказать соотпошенне [5.116). 12. Доказать аснмптотнческую несмешенность оценкн Сь(п) коазрнзпнон. ной функцнн )7э, определенной з (5 128) Элементы теории решений. Дискриминантный анализ Глава Эта глава является кратким введением в одно из важнык направлений современных статистических исследований — теорию статистических речтающик функций. Здесь излагаются некоторые основные идеи и результаты втой теории в рамках двух традиционных подходов и принятию решения — байесовского н минимаксного.
Общие идеи рассматриваютсв на примере решения практически важной задачи классификации наблюдений по нескольким категориям (классам). Подробно исследуется ряд ситуаций, характеризующихся предположением о нормальном законе распределения наблюдений. $6.1. Статистические решающие функции. Байесовское н мииимаксиое решения» 1. Понятие решающей функции. Во многих случаях конечную цель статистического анализа можно выразить в форме решения о том нли ином поведении илн действии.
Так, при выборочном контроле продукции следует принять одно из двух решений: принять партию изделий илн забраковать ее; врач, анализируя симптомы болезни, должен отнести ее к одному из конечного числа стандартных видов, т. е. принять одно из конечного числа возможных решений; анализируя данные наблюдения за некоторым случайным процессом с постоянным, во неизвестным средним, требуется принять решение о величине воздействия на процесс (его коррекции) для приведения среднего, например, к нулю; это воздействие может быть выражено некоторым действительным числом ( и, следовательно, здесь число решений бесконечно. Во всех этих случаях решение принимается на основании анализа наблюдения к над соответствующей случайной величиной Х и, следовательно, представляет собой некоторую функцию 6(х) на выборочном пространстве Я'= (х», область значений которой — множество возможных в данной ситуации решений хх=(с(».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
