2016 Ответы на экзаменационные вопросы (1186037), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

требуется найти дважды гладкую функцию = (, ), удовлетворяющую дифференциальному уравнению

и дополнительному условию

во всех граничных точках прямоугольника. Оператор Лапласа определен равенством:

Разностная аппроксимация.

В расчетной области П определяется прямоугольная сетка

где – разбиение отрезка оси (),

– разбиение отрезка оси ().

Через обозначим множество внутренних, а через — множество граничных узлов сетки . Пусть – переменный шаг сетки по оси абсцисс и ординат соответственно. Средние шаги сетки определяются равенствами:

Рассмотрим линейное пространство функций, заданных на сетке . Будем считать, что в пространстве задано скалярное произведение и евклидова норма

где – любые функции из пространства .

Для аппроксимации уравнения Пуассона воспользуемся пятиточечным разностным операторои Лапласа, который во внутренних узлах сетки определяется равенством:

Здесь предполагается, что функция определена во всех узлах сетки .

Приближённым решением задачи называется функция , удовлетворяющая уравнениям

Эти соотношения представляют собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных и определяют единственным образом неизвестные значения . Совокупность уравнений называется разностной схемой для задачи.

1. Метод скорейшего спуска и метод сопряженных градиентов для разностной задачи Дирихле.

Приближенное решение системы уравнений может быть получено итерационным методом скорейшего спуска. В этом методе начальное приближение

во внутренних узлах сетки – любые числа. Метод является одношаговым. Итерация вычисляется по итерации согласно равенствам:

где невязка

Итерационный параметр

Известно, что с увеличением номера итерации последовательность сеточных функций сходится к точному решению задачи по норме пространства , то есть

Существенно большей скоростью сходимости обладает метод сопряженных градиентов. Начальное приближение и первая итерация вычисляются так же, как и в методе скорейшего спуска. Последующие итерации осуществляются по формулам:

Здесь

вектор

коэффициент

Вектор невязки вычисляется согласно равенствам. Итерационный процесс останавливается, как только

где – заранее выбранное положительное число. Заметим, что в последнем неравенстве вместо евклидовой сеточной нормы можно использовать любую другую норму пространства , например, максимум-норму.

1. Одномерное и двумерное разбиение прямоугольной сетки на домены. Сравнение методов разбиения. Алгоритм определения размеров домена.

Алгоритм - ???

1. Суперкомпьютерное моделирование турбулентных течений.

(П.Брэдшоу ,1971) : «Турбулентность – это трехмерное нестационарное движение, в котором вследствие растяжения вихрей создается непрерывное распределение пульсаций скорости в интервале длин волн от минимальных, определяемых вязкими силами, до максимальных, определяемых граничными условиями течения. Она является обычным состоянием движущейся жидкости, за исключением течений при малых числах Рейнольдса».

(Р.Фейнман,1968) : «Турбулентность – это последняя неразрешенная фундаментальная проблема классической физики»

Фольклор: «Турбулентность похожа на порнографию – ей трудно дать определение, но как только вы ее увидите – тут же узнаете»

СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНОГО DNS – АЛГОРИТМА

• Полное разрешение всего спектра турбулентных пульсаций

• Отсутствие настроечных параметров

• Применимость в областях сложной формы

• Робастность

• Консервативность

• Масштабируемость

• Мультифизичность

Основная верификационная задача – моделирование однородной изотропной турбулентности

Наиболее простой вид турбулентного движения. Предложен Тейлором в 1945 году. Позволяет изучить ряд свойств, присущих всем турбулентным течениям.

Мелкомасштабная турбулентность в значительной степени однородна и изотропна. Причина – каскадный перенос энергии.

СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНОГО LES - АЛГОРИТМА

• Отсутствие настроечных параметров при неполном разрешении спектра турбулентных пульсаций

• Применимость в областях сложной формы

• Робастность

• Консервативность

• Масштабируемость

• Мультифизичность

Основные свойства схемы «КАБАРЕ»

• Явная;

• Устойчива при 0 < CFL < 1;

• Дает точное решение при CFL = 0.5, CFL = 1;

• Второй порядок аппроксимации на неравномерных пространственно – временных сетках;

• Консервативная;

• Обладает однопараметрическим семейством квадратичных законов сохранения;

• Бездиссипативна;

• Имеет максимально компактный вычислительный шаблон;

• Минимальные дисперсионные ошибки;

• Прямое использование принципа максимума для нелинейной коррекции потоков;

• Отсутствие настроечных параметров;

Основные отличия схемы «КАБАРЕ» от схемы «Upwind Leapfrog»

• КАБАРЕ представлена в виде закона сохранения;

• В КАБАРЕ используются два типа переменных – консервативные и потоковые;

• КАБАРЕ – двухслойная схема с максимально компактным вычислительным шаблоном;

• В КАБАРЕ органично встроен монотонизатор нового типа на основе наиболее общего принципа – принципа максимума.

ПРЯМОЕ ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИСТЕННОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

• Моделируется течение между двумя плоскими бесконечными пластинами для получения осредненных характеристик пристенного турбулентного течения

• Направление течения вдоль оси X, вдоль этого направления каждый шаг по времени проводится корректировка расхода. По направлениям X, Z заданы периодические условия на скорость и давление

• На верхней и нижней горизонтальной плоскости задаются условия прилипания

• Расчет проводится при трех числах Рейнольдса Rem = 5600, 13760, 21900, чтобы сравниться с DNS расчетами Moser/Kim/Moin (1987 - 1999)

• Cетка ортогональная – 512 x 256 x 256 ячеек, используется сгущение сетки вблизи стенок для учета особенностей течения в пограничном слое. Размеры области - 4πδ x 2δ x 2πδ (δ – полувысота канала) для Rem = 5600, и 2πδ x 2δ x πδ для Rem = 13760, 21900

Зависимость коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса

Трехмерный код КАБАРЕ для расчета нестационарных задач тепломассопереноса без использования моделей турбулентности и настроечных параметров

Особенности кода CABARET-ST

1. Код CABARET-ST представляет собой реализацию методики КАБАРЕ для проведения массивных параллельных вычислений на кластерных ЭВМ задач гидродинамики на неструктурированных гексагональных сетках

2. Реализован на языке С++

3. Программная платформа использует библиотеку сеточных баз данных – ITAPS MOAB (A Mesh-Oriented datABase). Библиотека MOAB поддерживает все необходимые базовые операции для распределенных сеточных данных, позволяет работать как со структурированными, так и неструктурированными сетками, поддерживает все виды ячеек, включая произвольные многоугольники и многогранники.

4. Формат хранения данных – HDF5 (Иерархический формат данных). Позволяет работать с данными большого размера. Обеспечивает высокую скорость доступа к данным.

5. Реализована возможность асинхронной передачи сообщений (без блокировки) с использование процедуры MPI_Isend

6. Реализована возможность проведения расчетов с асинхронными шагами по времени. Разбиение на партиции в этом случае проводится с учетом вычислительной сложности ячеек сетки

1. Использование суперкомпьютеров для решения задач молекулярного моделирования.

Вычислительные модели “из первых принципов” для наносистем

• Молекулярная динамика из первых принципов FPMD– метод моделирования наносистем. Нет подгоночных параметров. Проблема многих тел.

• Вычислительная проблема. Наномасштаб - мезомасштаб (атом – спл.среда)

  • Куб полиэтилена - размером 100nm – 64 10^6 атомов

  • Куб железа - в 1nm – 16000 атомов

• Квантовомеханическое описание электронов и классическое описание движения атомных ядер

• Подход требует использования суперкомпьютеров и эффективных параллельных вычислений для описания больших молекулярных систем ~ 25000 атомов.

• Масштабируемость FPMD кодов.

Методы численного решения

1. Уравнения Ньютона для ядер интегрируются алгоритмом Верлета.

2. Уравнения для электронов – нелинейная задача на собственные значения.

3. Электронные орбитали раскладываются в ряд Фурье. Для преобразования величин между двумя пространствами используется быстрое преобразование Фурье (БПФ).

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)