Высокопроизводительные парал. вычисления на кластерных системах. Воеводин (2005) (1186026), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Использование численных методов лишено отмеченных недостатков и позволяет оперативно исследовать изменения конструкции с целью поиска наиболее рациональноговарианта. При этом конструкция автомобиля рассматривается как совокупность большого количества конечных элементов.Конечные элементыМодель автомобиля обычно строится с использованием многихтипов элементов: 3-х мерных элементов для массивных сплошных телтипа двигателя, оболочечных элементов для тонколистовых частей, изкоторых преимущественно состоит кузов, балочных элементов длячастей, поведение которых допустимо описывать балочной теорией, атакже так называемых дискретных элементов – пружин, демпферов имасс.Пожалуй, основным требованием к используемым в описываемыхзадачах конечным элементам является их высокая вычислительная эффективность.
Она достигается, во-первых, простотой используемыхфункций формы (линейных для 3-х мерных элементов и билинейныхдля оболочечных) и, во-вторых, снижением порядка интегрирования(как правило, используется одноточечное интегрирование). Упрощенное описание поверхностей элементов снижает также сложность решения задач, связанных с контактным взаимодействием.
Вычислительнойэффективности, кроме всего прочего, способствует использование диагональных матриц масс. За использование высокоэффективного одно232точечного интегрирования приходится расплачиваться вероятностьюпоявления при расчете так называемых форм с нулевой энергией. Виностранной литературе данное явление носит название hourglassingиз-за визуального сходства структуры деформированной сетки с формой песочных часов (англ. «hourglass»). Для борьбы с этим явлениемразработаны достаточно эффективные алгоритмы, идея которых состоит во введении в рассмотрение системы нефизичных дополнительныхсил упругости или вязкости, которые с одной стороны гасят hourglassдеформации элементов, а с другой не влияют на их реальные деформации.
Тем не менее, эти силы совершают некоторую работу, котораявычитается из общей энергии системы, и величину которой надо контролировать на всем ходе решения.Геометрическая и физическая нелинейностьДля учета геометрической нелинейности обычно используется модифицируемое описание Лагранжа (updated Lagrangian), при которомопорное состояние обновляется на каждом шаге. Благодаря маломуразмеру шага по времени при явной схеме интегрирования, а, следовательно, и малых изменениях деформаций на шаге, допустимо использовать линейную зависимость приращений деформаций от приращенияперемещений или, что эквивалентно, линейные тензоры скоростей деформаций.Малая величина приращений деформаций на шаге позволяет такжедовольно просто вводить в рассмотрение произвольные законы деформирования материалов.
Существует несколько теорий, описывающихпластическое поведение металлов, но, как показывают эксперименты,лучше всего согласуются с экспериментальными данными результатырасчетов по теории пластического течения.КонтактПри ударном деформировании конструкций значительную рольиграет контактное взаимодействие. При решении контактной задачинеобходимо выполнение двух условий – механических условий контакта и условия непроникновения.
Первые заключаются в том, чтобы(а) контактирующие точки имели одинаковое перемещение и скоростьв направлении, перпендикулярном к поверхности контакта, (б) силы наконтактирующих поверхностях были самоуравновешенными (нормальные силы и силы трения равны на обеих сторонах контакта) и (в)на контактных поверхностях не должно возникать растягивающих напряжений по направлению нормали к поверхности контакта. Для вы233полнения условий непроникновения и вычисления контактных сил вкоммерческих пакетах используется, как правило, метод штрафов из-заотносительной простоты его реализации и малого влияния на величинунеобходимого шага интегрирования по времени.
Большое влияние наэффективность решения имеет выбор алгоритма поиска контакта. Извсего многообразия существующих на сегодня алгоритмов [1], стоитвыделить работы Холквиста [2] и Жонга [3], как получившие практическую реализацию в реальных программных продуктах. Для определения тангенциальных сил на поверхностях контакта было предложеномножество законов трения (см. например [4] или [5]), однако по причине того, что шероховатость поверхности при реальном контактеможно оценить только весьма приближенно, для большинства задачдостаточна классическая кулоновская модель трения.Интегрирование по времениВ общем виде уравнение равновесия системы конечных элементов,находящихся в состоянии движения можно записать так:Mu&&(t ) + Cu& (t ) + Ku (t ) = R (t ),(1)где M, C и K соответственно матрицы масс, демпфирования и жесткости; R – вектор внешней узловой нагрузки; u, u& и u&& – векторы узловых перемещений, скоростей и ускорений ансамбля конечных элементов.
Уравнения (1) получены из рассмотрения равновесия в моментвремени t, когда согласно принципу Д'Аламбера тело находится в равновесии под действием внешних сил, внутренних сил, сил демпфирования и сил инерции.Математически (1) представляет собой систему дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами (вслучае учета физической и геометрической нелинейности). Для адекватного моделирования объектов типа автомобиля требуется использовать достаточно мелкую сетку, что ведет к очень большому размеруучаствующих в решении матриц.
Еще в 90-е годы стали обычнымизадачи с размерностью порядка 200 000 неизвестных. Сейчас счет ужеидет на миллионы неизвестных. Отсюда очевидны высокие требованияк эффективности используемой схемы интегрирования. В настоящеевремя с этой стороны наилучшим образом зарекомендовала себя схемапрямого явного интегрирование по времени методом центральных разностей. Алгоритмически она реализуется использованием численнойпошаговой процедуры.
При этом равновесие рассматривается в дис234кретных точках временного интервала, что позволяет эффективно использовать весь вычислительный аппарат статического анализа. Длядискретного момента времени t система (1) разрешается относительноускорений:u&&t = M −1[ Rt − Kut − Cu&t ].(2)Скорости и перемещения для следующего шага рассчитываются поформулам:u&t + ∆t 2 = u&t − ∆t 2 + u&&t ∆t ;(3)ut + ∆t 2 = ut + u&t + ∆t 2 ∆t.Обновление скоростей в моменты времени, сдвинутые на половину шага по времени улучшает точность и сходимость решения. Необходимые для вычисления ускорений u&&t скорости u&t в момент времениt можно найти с использованием разного вида экстраполяций [6], вкоммерческих пакетах обычно реализован простейший способ –u&t принимается равной u&t − ∆t 2 .Главным недостатком метода центральных разностей является егоусловная устойчивость.
Шаг интегрирования ∆t должен быть меньшекритического значения, ∆tcr, вычисляемого исходя из инерционных ижесткостных свойств всего ансамбля элементов. В линейных задачахдля получения достоверного решения необходимо выполнение условияT∆t ≤ ∆t cr = n ,(4)πгде Tn – наименьший период собственных колебаний ансамбля конечных элементов; n – порядок системы.
Таким образом, необходимо избегать появления в модели элементов с очень малой массой или оченьбольшой жесткостью. В случае наличия того или иного типа нелинейности считается достаточным уменьшить шаг по времени до величины0,8-0,9∆tcr [7]. В реальных задачах при длительности ударного импульса 50-100 мск шаг интегрирования по времени составляет порядка1 мкс.Расчетные случаиВ настоящее время требования к пассивной безопасности автомобиля прописаны достаточно четко и подробно, и в то же время не прекращается периодическая их корректировка и ужесточение, как в частиимеющихся расчетных случаев, так и введением новых.
Основной иде235ей такого рода нормативных документов является задание условий того или иного динамического воздействия на конструкцию автомобиля,а также перечень контролируемых параметров, по которым оценивается пассивная безопасность, и диапазон их допустимых значений. Приэтом моделируются такие сценарии как лобовое столкновение (прямоеи кософронтальное), удар сзади, удар сбоку другим автомобилем илиудар бортом о столб ограждения и т.п. Существует также ряд специальных испытаний, моделирующих столкновение с пешеходом.Программные средстваОписанные выше алгоритмы и методы решения реализованы насегодня в нескольких коммерческих программных продуктах.
Сейчас вавтомобилестроении при решении задачи моделирования краш-тестовнаиболее широко используется имеющий почти 30-летнюю историюразвития комплекс LS-DYNA фирмы Livermore Software TechnologyCorp. Пакет MSC.Dytran фирмы MSC.Software применяется главнымобразом в авиакосмической отрасли, а применение обладающего рядомуникальных возможностей пакета PAM-CRASH фирмы ESI-Group ограничено в основном европейским рынком. Нами был использованконечно-элементный пакет LS-DYNA, как хорошо зарекомендовавшийсебя при решении сложных задач моделирования высоконелинейныхбыстротекущих процессов.Аппаратные средстваСтремление получить более достоверную информацию при численном анализе столкновения автомобилей приводит к использованиювсе более и более громоздких (насчитывающей 1 млн. и более неизвестных) моделей, вызывающих необходимость увеличения мощностиприменяемых для этой цели вычислительных устройств.
Элегантнымрешением наращивания мощности вычислительных средств являетсякластерная технология.Авторами доклада для решения задач механики методом конечныхэлементов разработан и изготовлен вычислительный кластер АРКО9А2200 (рис. 1), представляющий собой 9-процессорную вычислительную систему, построенную на базе процессоров AMD Athlon. Кластервключает в себя один двухпроцессорный и семь однопроцессорныхвычислительных узлов, объединенных с помощью 8-ми портового Gigabit Ethernet-коммутатора. Все элементы кластера смонтированы воткрытой стойке. На однопроцессорных узлах установлена операционная система Windows 2000 Professional SP3, на двухпроцессорном узле236установлена операционная система Windows Server 2003 Enterprise Edition SP1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
