Высокопроизводительные парал. вычисления на кластерных системах. Воеводин (2005) (1186026), страница 45
Текст из файла (страница 45)
На втором этапе решается системадля определения электрических и магнитных полей и токов в плазме,также учитывается джоулев нагрев. На последнем этапе проводится222коррекция электронной температуры за счет теплопроводности (с учетом эффектов ЭМГ) и температуры электронов и ионов за счет электрон-ионных обменов.В рамках гидродинамического блока рассматривается следующаяматематическая модель движения нейтральной плазмы с учетом токовой скорости электронов, что фактически вводит в рассмотрение двухжидкостную плазму. Система уравнений модели, записанная в безразмерных переменных, имеет вид:∂n+ div (nv ) = 0,∂t∂v11+ ( v, ∇ ) v =∇PΣ +( j × B),AnAn∂tve = v −1eL0mp j,N0 n∂Te2+ ( v e , ∇)Te + div v e = div q e + Qie + Q,∂t3∂Ti2+ ( v, ∇)Ti + div v = + − Qie .∂t3Модель замыкается уравнениями состоянияPe = nTe, Pi = nTi, PΣ = Pe + Pi.Здесь приняты следующие обозначения: n – концентрация ионов вплазме, совпадающая в силу ее нейтральности с концентрацией электронов; v – скорость ионов, ve – электронная токовая скорость; j и B –плотность тока и напряженность магнитного поля; Pe и Te, Pi и Ti – соответственно электронные и ионные давление и температура, PΣ – полноедавление; A – атомный вес иона плазмы, e и mp – заряд электрона и массапротона соответственно, L0 и N0 – характерный размер установки и начальная концентрация ионов.Для обмена энергиями принято следующее описание:mT −TQ1e = −3 e ne 1 e .miτeЭлектронный тепловой поток учитывается в следующем виде:3 neTe [B × v e ] 5 cneTe [B × ∇Te ]−− κ e||∇Te|| − κ e ⊥ ∇Te ⊥ .q e .
= 0,7 ln Te j|| +2 ωe τ e | B |2 e| B |2223Соответствующими знаками в последнем соотношении обозначены производные температуры в направлении вдоль и поперек магнитного поля. Для продольной и поперечной составляющих коэффициентатеплопроводности используются соотношенияnTτneTe τ eκ e|| . = 3,16 e e e , κ e ⊥ = 4,66.meme (ωe τ e ) 2Разностная схема для вышеприведенных уравнений строилась cпомощью интегро–интерполяционного метода [4]. Для уменьшенияосцилляций, возникающих при расчете разрывных решений (ударныхволн, контактных разрывов или тангенциальных разрывов) к давлениюдобавлялась линейная искусственная вязкость [4].Ниже представлены эволюции магнитного поля и выражения длятоков и токовых скоростей (этим уравнениям и будет посвящено дальнейшее рассмотрение):∂B= −crot E,∂tdiv B =0,cj=rot B,4π11jE = − ( v e × B) + −(∇Pe − R ),cσ eneгде термосмещенияn [B × ∇Te ],R = −0,71ne ∇||Te − 1,5 eωe τ e|B|а токовая скоростьjve = v −.eneЗдесь E – напряженность электрического поля, σ – проводимость, Te –электронная температура, Q – джоулев нагрев, ωe – плазменная частота,τe - время столкновений, c – скорость света, e – заряд электрона.Выделение тепловой энергии в плазме (в том числе за счет джоулева нагрева)( j, j) 1Q=+ ( j, R )σeвходит в уравнение изменения энергии электронов (за счет нагрева):2243 ∂Ten= Q.2 ∂tНа стенках электродов задавалось условие на φ-ую компоненту магнитного поля: Bφ(R1) = Bφ (R2) = 0, а также условие на тангенциальнуюкомпоненту напряженности электрического поля Eτ ≡ 0.
На левой границе области Bφ(z = Z1) = 0. На правой границе области (z = Z2) магнитное поле связано с полным током во внешней электрической цепи соотношением (в безразмерном виде):0,2 I (t )πt, I (t ) = I 0 sin.Bϕ =2T1mprЗдесь I – ток во внешней цепи, r – текущий радиус точки границыплазмы.Для задания начального распределения магнитного поля от внешних соленоидов (r и z компоненты магнитного поля) в расчетной области решалось уравнение для векторного потенциала магнитного поля. Сеточное уравнение решалось методом последовательной верхнейрелаксации [6], оптимальное значение релаксационного параметраподбиралось на основе тестовых расчетов.При обезразмеривании приведенных выше уравнений в качествехарактерных масштабов использовались концентрация электронов вплазме ne0, длина установки L0, Te0 = 1 эВ, масштаб времениt 0 = L0mpTe0,масштаб магнитного поля B0 = N 0Te 0 , токаj0 =cB0 c N 0Te0,=L0N 0Te0E0 =B0 l0 Te0=ct0cэлектрического поляN0,mpпроводимостиσ0 =j0 c 2=E0 L0mpTe0,225где mp — масса протона.Построение разностной схемы.
В силу цилиндрической симметрии рассматриваем сечение рабочей области плоскостью r–z В рассматриваемой области введем прямоугольную сетку (размером im x jm,i – индекс по z), границы которой совпадают с границами области. Припринятом способе расщепления по физическим процессам термодинамические величины (Te, Pe, σ, ne, ωτe, ve) и B отнесены к центрам соответствующих ячеек (иногда будем обозначать подобные величины с индексом c), потоки — к серединам соответствующих граней, а скорости – куглам ячеек (иногда будем обозначать подобные величины с индексомn).
Векторные величины плотности тока j, напряженности электрическогополя E и термосмещений R также будем относить к углам ячейки (см.рисунок). Для удобства реализации однородного алгоритма на границахобласти, для величин, отнесенных к центрам ячеек, введем фиктивныеячейки с номерами 0, imax, imax. Значения указанных величин определимв фиктивных ячейках особо, чтобы удовлетворить граничным условиям. Используем расщепление по физическим процессам. Отдельно рассматриваем перенос магнитного поля (вмороженного в электронноетечение) и диффузию магнитного поля за счет конечной проводимостисреды.Основную трудность при численном решении уравнений эволюции полей представляет корректный учет членов ve × B при расчетеэлектрического поля E. Это приводит к появлению в уравнении для Bгиперболических слагаемых.
Гиперболическая часть уравнения эволюции магнитного поля решается численно с помощью монотонного варианта сеточно-характеристического метода [1] (явного, первого порядка аппроксимации). Для решения параболической части (диффузионные члены) используется схема Алена–Чена.Оценка эффективности распараллеливания.
Теоретические оценки показали пригодность выбранной схемы для эффективного распараллеливания расчетов на кластере из персональных компьютеров (гомогенной системе). Наиболее целесообразным является применение статического варианта геометрического распараллеливания (расчетная область делится между различными процессами с необходимостью обменаданными на границах подобластей) с выделением зон ответственностипроцессоров по радиальному направлению. Подобное деление зон ответственности обеспечивает равномерную загрузку элементов кластера.Расчет одного временного слоя для последовательного вариантапрограммы (при размере расчетной сетки 73×73) на компьютере с про226цессором Intel 3GHZ занимает в среднем 22 мс.
При использовании 14таких процессоров в сети 1 Gbps с пакетом MPI время обмена информацией для одного временного слоя на такой же расчетной сетке составляет примерно 215 мкс. Из них 59 мкс уходит на обмены границами(~17 кб), а 156 мкс уходит на сбор данных для вычисления нового значения шага по времени (для следующего слоя). Таким образом, теоретическое ускорение работы параллельного варианта программы на кластереиз 14 компьютеров (процессор Intel 3 Ghz, сеть 1 Gbps, коммуникационный пакет MPI) составляет 7,8 раза. Реальное ускорение во время проведения расчетов следует ожидать в диапазоне 5–6 раз из-за невозможности обеспечения идеальной сбалансированности работы процессоровпри выборе статического варианта распараллеливания. Учитывая, чтосерийный расчет в последовательном варианте на сетке 73×73 до 4 мксдлится 6 суток (без внешних полей), 13 суток с подключенными внешними полями, создание параллельной версии представляет собой актуальную задачу.Результаты.
Был отлажен последовательный вариант программы ипроведена серия расчетов; проведены тестовые расчеты для параллельного варианта. Получены следующие результаты расчетов: при отключенных внешних полях плазменная перемычка постепенно размывается,масса начинает движение от центра к нагрузке с последующим отражением ударных волн от стенки. При включенных внешних полях (выполняющих стабилизирующую роль) “размывание” плазменной перемычкипроисходит более медленно, перемычка принимает S-образную форму (смаксимумами на электродах).Литература1.
Кингсепп А.С., Чукбар К.В., Яньков В.В. Электронная магнитнаягидродинамика // Вопросы теории плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1987.Вып. 16. С. 209–250.2. Вихрев В.В., Забайдулин О.З. Проникновение магнитного поля вплазму вдоль границы двух сред из-за эффекта Холла. // Физика плазмы.1994, т. 20, № 11. С. 968–972.3. Магомедов М.-К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. М.: Наука, 1988. 290 с.4. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задачгазовой динамики. М.: Наука, 1980.
392 с.5. Dongarra J., Foster J., Fox G., Gropp W., Kennedy K., Torczon U.,White A. Sourcebook of parallel computing. – Elsiver Science, 2003. – 842 p.6. Деммель Д. Вычислительная линейная алгебра. М.: Мир, 2001.227ПОСТРОЕНИЕ ВЫСОКОПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ НА БАЗЕ ЛВСПРЕДПРИЯТИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ GRID ТЕХНОЛОГИЙЮ.А. УшаковОренбургский государственный университетВ настоящее время широкое распространение получила идея использования ресурсов компьютеров во время простоя. Такое направление получило название Grid технологий. Основа заключается в использовании ресурсов компьютеров любой сети, когда они простаивают.Ядром такой вычислительной сети является сервер, который координирует выполнение задачи и распределяет части задачи между машинами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
