Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 84
Текст из файла (страница 84)
За это время из всек гармоник, входивших в начальные данные, «выжива- Таблица 13 ют» только две первых. За время Т = 0.01 в системе, описываемой уравнением теплопроводности, происходят достаточно сложные события. Нетрудно сообразить, что функции и(0, х) и и(Т, х) достаточно сильно отличаются друг от друга. К обсуждению приведенных в табл.
13 значений мы а «со „> вернемся чуть позже. На рис. 44 показаны функции и(0, х) и и(Т, х). Возмущенная функция У(х) = и(Т, х) + Ь(х) при Ь= 0,015, «>г,„> и>х> в таком масштабе не отличается от и(Т, х). Итак, нам задана функция /(х) и мы предполагаем, что для обратной задачи Дх) отли- Рис. 44 чается от точных «начальных данных» на величину, не превосходящую 0.015. Решение обратной задачи теплопроводности будем искать как решение задачи математического программирования.
Требуется найти функцию ц(х) («начальные данные прямой задачи»), такую, чтобы: ! а) значение $ и(х)н(х) 41х было минимальным; о б) >пах ! Н(Т, х) — /(х) ! < Ь; « в) Раг ц( ) < ИР. Здесь и(Т, х) — решение прямой задачи теплопроводности с начальными данными ц(х). Речь идет о том, чтобы «подобрать» начальные данные прямой задачи так, чтобы ее решение в момент времени Т попало в «коридор» шириной Ь около заданной функции У( х). Мы знаем (по постановке задачи), что искомый ответ и,(х) порождает решение, попадающее в тот же коридор, и не собираемся извлекать из У(х) более точной информации. Мы отступили от рекомендаций метода квазирешеиий, согласно которому следовало бы выбирать функцию н(х) такой, чтобы минимизировать 1>н(Т, ° ) — Д.)11. Оба ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ ~ч.
и подхода имеют свои основания. Если оценка погрешности реальна, то, видимо, полезной информацией является упоминавшийся выше коридор. Если же (а такое тоже часто бывает) оценка погрешности сильно завышена и фактическая погрешность может быть существенно меньшей, функция /(х) несет ббльшую информацию, чем б-коридор около нее, и рекомендации метода квазирешений будут предпочтительнее. Перейдем к обсуждению условия в), в котором величина И'— это априорная оценка вариации искомого ответа.
Есди мы ограничимся только условием б), решение будет принципиально неединственным и эта неединсгвенность будет очень сильной. Прообраз «коридора» в отображении начальных данных прямой задачи в решение при т = Т состоит из множества функций, сильно отличающихся друг от друга. Можно взять какую-то функцию, отображающуюся в коридор, добавить к ией А з!и (кзкх) с большим значением А при, соответственно, большом к.
Эти новые начальные данные отображаются, в сущности, в тот же коридор. Методы решения таких обратных некорректных задач основаны иа том, что в постановку задачи вводится качественная информация Об искомом решении, которая, так сказать, отсекает высокие гармоники. Другими словами, мы рассматриваем пересечение прообраза коридора с множеством достаточно хороших функций, таких, каким, по имеющимся априорным сведениям, решение могло бы быть (множество корректности по Тихонову), В данном случае мы задаем это множество ограничением вариации искомой функции — числом И~.
При этом, как нетрудно понять, отсекаются функции с очень частыми колебаниями (при заметной их амплитуде), но не отсекаются разрывные функции. И если последние по каким-то причинам нужно оставить (априорные данные о решении ие исключают разрывных функций), то такой способ очень удобен, Правда, с вычислительной точки зрения он достаточно сложен: приходится использовать непростые алгоритмы решения задачи математического программирования.
Конечно, в реальных задачах точное значение И' едва ли известно (ниже мы еше вернемся к обсуждению роли этой величины в процессе решения). Обозначим: М(И') — множество функций с вариацией, не превосходящей И~, хт — полный прообраз коридора.
Итак, пока на роль решения может претендовать любая функция из множества х = й П М(И'). Обсудим теперь роль условия а), где О(х) — «произвольная» функции. Формально это условие выбирает из возможных претендентов на роль решения какое-то одно, определяемое заданием д(х). Само множество и может оказаться настолько широким, что решеиие задачи с «точностью до п» не всегда имеет смысл, При решении обратной некорректной задачи обычно имеется (хотя часто явно не фигурирует. в постановке задачи) некоторое представление о том, с какой погрешностью В (в подходящей 4 251 НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ 405 норме) необходим ответ. Если все функции, входящие в и, различаются не более чем на е, любой элемент этого множества может считаться решением задачи.
Если же в нем имеются элементы, различающиеся на величину, существенно ббльшую е, следует признать априорную информацию, используемую в решении, недостаточной и отказаться (при таком уровне априорной информированности) от решения задачи. Однако множество претендентов на звание «решения» описано не очень эффективно: его не так-то просто просмотреть и оценить. Для того чтобы иметь хоть какую-то информацию о нем, н вводится условие а). Решая задачу с разными и (например, д,(х) = 1, д (х) = — 1 и т.п.), мы будем получать различные крайние точки множества и, что позволит составить хоть какое-то представление о его размерах.
Полезным при этом является предъявление «физику» различных функций, каждая из которых может быть решением. Конкретные примеры возможных решений задачи часто содержат внешние Рис. 45 дефекты, которых, по мнению физика, настоящее решение не должно иметь. В этом случае могут быть сформулированы дополнительные требования к решению, которые включаются в постановку задачи, решается новая, более сложная задача, и т.д. Опыт показывает, что такое извлечение априорной информации нз «физика» успешнее проходит при предъявлении ему «решений», удовлетворяющих всем сформулированным им требованиям, но отвергаемого по каким-то интуитивным соображениям.
Перейдем к обсуждению результатов решения задачи. На рис. 45 представлены восемь функций, полученных с помощью достаточно сложного алгоритма (см. 3 28). Они соответствуют разным значениям параметров, входящих в определение множества М, т.е. в постановку задачи математического программирования. Таких параметров четыре: т(х), й', Ь и Р', входящий в условие пгизлижяииыв метОды ВычислительиОЙ Физики (ч. и и(х) ~ Р.
Таблица 14 содержит значения параметров, соответствующие решениям, представленным на рис. 45. Вышеприведенный вычислительный эксперимент преследует несколько целей. Многие параметры, входящие в априорную информа- Таблица 14 цию, не имеют точных значений, Полезно знать, как их изменение влияет на квазирешение. Можно предположить, что каждое «реше- ние» содержит как объективную информаи цию, так и случайную, связанную с неопре- 1 деленностью описания М. Вторая компонен- та численного решения, видимо, наиболее 1 чувствительна к вариации параметров.
Ри- 1 сунок 45 это предположение, кажется, подтверждает. На рнс. 4б показаны четыре первых решения одновременно. Такое представление позволяет оценить, что в разных Рис. 46 решениях является устойчивым, а что— случайным. Наконец, подобные расчеты позволяют более объективно оценить точность решения некорректной задачи при той априорной информации, которая была использована. Метод квазнобращення. Французским математиком Ж. Л. Лнонсом был предложсн гораздо более простой способ решения обратной задачи теплопроводности. Предлагается решать задачу Коши — ди=ди — Бди, и(О,Х)=ДХ), (5) М д»2 д»и и решение и(Т, х) считать теми начальными данными, которые при решении прямой задачи через время Т дают результат, близкий к заданной функции г(х). Механизм, обеспечивающий «устойчивость» атой процедуры, т,е, отсечение высоких гармоник, почти очевиден.
Разлагая ~(х) в ряд Фурье, выпишем решение (5): и(Е, х) =~Х, с е»" ' '» "'з1п (фслх). (б) Достаточно высокие гармоники (при Вкзжзъ~ 1) оказываются уже сильно затухающими, решенно обратной задачи получается фор- 1 251 некоРРектные 3АдАчи и их ИРНБлиженное Решение 407 мзльно гладким.
Но е — малый параметр, влияние которого имеет противоречивый характер. При слишком малом е решение содержит быстро растущие компоненты и некорректность практически сохраняется. При слишком большом е решение сильно искажается. Что можно получить на этом пути, заранее сказать нельзя, надо оценивать соотношение этих факторов. Проведеде такую оценку в первом приближении, заметив, что безусловно сильной стороной этого подхода является его простота. Зздача сводится к решению (методом сеток, например) уравнения, немногим более сложного, чем уравнение теплопроводности.
Вычислительная цена такого решения неизмеримо ниже цены тех вычислений, которые были обсуждены выше. Но это достоинство ничего не стоит, если результаты окажутся неудовлетворительными. Приступим к оценкам. Имеем функцию и,(х) (точное, искомое решение). Разложим ее в ряд Фурье: и,=~ с р р — = з1п (хпх). С начальными данными и,(х) решим прямую задачу теплопроводности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
