Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Можно проверить, что, определив норму формулой пРиБлиженные методы еычислительйой Физики 1Ч. и нельзя сделать обратную задачу теплопроводности корректной. Это г г следует из того, что ее " г растет быстрее хи при любом М. Нормы (4) при небольших ЬР= О, 1, 2 будем называть «обычными», «естественными».
Норму (3) будем называть «сильной». Пространства, в которых используются сильные нормы типа (4) при ЬР = »з, в математике известны. Они связаны с изучением аналитических и, в частности, целых функций. Если мы предположим, что обратная задача теплопроводностн ставится так, что правая часть должна быть элементом пространства очень гладких (аналитических) функций, то она окажется достаточно благополучной задачей. Содержательно обратная задача теплопроводности связана, например, с попыткой по известному в настоящий момент распределению температуры тела восстановить его температуру в прошлом, Это распределение температуры /(х) известно не очень точно, с достаточно грубыми погрешностями.
Если мы просто решим обратную задачу теплопроводносги, то получим решение явно нефизического характера: в нем будут огромные пики отрицательнык и положительных температур, которых в природе не бывает. Предположим, что из общих качественных физических соображений с достаточными основаниями можно утверждать, что искомая температура и(Т, х) была не чрезмерно большон и достаточно простой функцией. Функция /(т, х) связана с и(т, х) прямой задачей теплопроводности, т.е. если решить обычную задачу и,=е„„, н(1,0)=н(т, 1) =О, с начальными данными и(0, х) = и(Т, х), то тт(Т, х) =/(х). Как известно, решение прямого уравнения теплопроводности есть очень гладкая, аналцтическая функция при любых начальных данных н при всех т > О, причем степень гладкости повышается с ростом времени т. Таким образом, сделанное выше предложение превратить обратную задачу теплопроводности в корректную, взяв в качестве пространства г" очень узкое пространство функций, не так искусственно, как это могло показаться на первый взгляд.
Оно оказывается достаточно естественным н, как мы увтшим в дальнейшем, составляет основу методов решения некорректных задач. Но беда в том, что реальная функция /(х), которая получается физическими измерениями, включает в себя погрешности, которые выводят ее из пространства г. Вот типичная картина в некорректных задачах. Для них исходная информация (правая часть /) состоит из двух компонент: /=/е+ Ь/, причем /е ~ Р, где à — узкое пространство очень гладких функций с нормой Й ЗР, в которой задача корректна. Погрешность измерения (или способа задания /) Ь/ Ю г, она мала в естественной, обычной норме, например Е.з, т.е. ЙЬД, а Ь, где Ь— 5 251 ИЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ 395 малое число, но [[Ы[[ = .
Таким образом, при решении некорректной задачи нужно каким-то образом «отфильтровать» влияние Ы. Следующий характерный пример некорректной задачи — интегральное уравнение первого рода: ! $ К(х, з) и(5) сЬ = У(х), х Е [О, 1[, о где К(х, з) — известное гладкое ядро. К таким уравнениям приводят задачи восстановления сигнала по некоторым измерениям, В этом случае искомая функция и(з) представляет собой первичный сигнал, У(х) — показание прибора, К(х, 5) — так называемая «аппаратная функция», т.е. непосредственно в опыте измеряется не сам сигнал и(з), а некоторое его преобразование.
Характерным фактором, определяющим сложность такой задачи, являетея именно гладкость ядра К(х, з). Прямое преобразова! нне и- /, т.е. ~ К(х, з) и(з) с(з, обладает типичным свойством— о это «сглаживающее» преобразование: оно преобразует негладкую функцию и(з) в гладкую. В этом можно убедиться следующим образом. Сравним между собой преобразования функций и(х) и и(х) + С Б1п (Бпх). Очевидно, они отличаются друг от друга на функцию С ~ К(х, г) ып (Бн г) РЬ = Схе(х), о где ие(х) — х-й коэффициент Фурье функции К(х, . ). Известно, что если функция К(х, з) гладкая, то ее коэффициенты Фурье убывают с ростом й тем быстрее, чем более гладкая функция К(х, з).
Таким образом, интегральное преобразование с гладким ядром отображает широкое функциональное пространство (негладких функцнй) в очень узкое пространство (гладкик функций). Это преобразование мы запишем в форме У =КИ. Но нас интересует обратное преобразование и = К !У.
Оно обладает противоположными свойствами, отображая узкое пространство в очень широкое, н в этом, в сущности, причина некорректности задачи. Р самом деле, функции и(х) и й(х) = и(х) + С БЗН (йпх), сколь угодно сильно отличающиеся друг от друга, являются решениями уравнений ! ! ~ К(х, з) и(з) РЬ= У(х), о пгизлижзиныв методы вычислнтвльной ьизики 1ч, и 396 со сколь угодно малыми (при достаючно большом к) отличиями в правых частях. Это и есть некорректность, так как малые погрешности в правых частях приводят к большим различиям в решениях. И здесь некорректность проявляется именно на высокочаино стотных возмущениях правых частей.
/ Что же произойдет, если мы нос „-<„,>, пробуем наивно решать интегральное 6 уравнение первого рода? Один из возможных методов состоит в следующем. Введем на 10, 11 сетку х„= лЬ Рис. 43 (л = О, 1, ..., М) и заменим интег- ральное уравнение сеточным, аппроксимнруя интеграл конечной суммой по правилу трапеций, например.
Получаем систему линейных алгебраических уравнений (и = О, 1, ..., лГ) и-~ Й (0.5к(, ы ~-~ к(, .) ..~.0.5к(*„,* ) с„) =у . / 1 Здесь и~, У„(у, л Е (О, Ф1) — сеточные аппроксимации искомой функции н правой части. Мы имеем систему М+ 1 линейных уравнений с Ф+ 1 неизвестными, Результат решения такой системы показан (качественно) на рис. 43. При увеличении Ф картина становится все хуже и хуже — пилообразные пики растут. И это понятно: ведь чем больше число узлов Ф (размерность конечномерного сеточного пространства, аппроксимирующего функциональное), тем более высокие гармоники появляются в пространстве сеточных функций н тем сильнее проявляется некорректность.
Метод квазирешений. Перейдем к изложению основных идей, используемых при решении некорректных задач. Для определенности будем иметь в виду обратную задачу теплопроводности (2). Трудности решения были бы (в принципе) преодолены, если бы правая часть У выбиралась нз очень узкого пространства гладких функций, ограниченных в сильной норме (3).
К сожалению, эта рекомендация в прикладных задачах совершенно неприемлема. Предложенный А. Н. Тихоновым подход к решению некорректных задач основан на следующем предположении, Искомое решение и существует, Более того„, мы располагаем априорной информацией о его свойствах. Такая информация обычно имеет доста- 9 251 некоРРектные 3АЦАчи и нх пРМБлиженнОе Решение 397 точно неопределенную форму. Например, задаются ограничения функции и ее производных такого типа: и(х) >О, и(х) П Сн У х, 1 $ (и„(х))т4(хч см ~и„(х)! П Сп о ! чаг и( ) ч С4, т.е. ~ )и„(х)~ 4(хч С„, и т.д. о Совокупность этих условий выделяет в пространстве У некоторое относительно узкое множество — компакт М.
Компакт, напомним, — это ограниченное замкнутое множеспю, такое, что из всякой бесконечной последовательности и; Е М можно выбрать подпоследовательность, сходяшуюся к и Е М. Сходимость предполагает какую-то норму — типа С или /.ы так что термин «компакт» нужно понимать в смысле этой нормы. Рассмотрим множество Ф = КМ, т.е. совокупность функций Ки, 'ч и Е М. Это — узкое множество очень гладких функций: если М состоит из «хороших» функций, то М вЂ” из еше «лучших».
Если бы мы рассматривали задачу Ки=/, /Е Ф, то это была бы корректная задача. К сожалению, / $ М. Будем исходить из предположения, что функция / состоит из двух слагаемых: / /, + Ь/, где /, = Ки, (и, — точное решение задачи), причем и, Е М и, следовательно, /, Е Ф. Что касается Ь/, то это плохая, негладкая функция. Она возникает, например, вследствие погрешностей измерения или математического представления. Поэтому ЕЬ/Й < Ь, где Ь вЂ” малое число, норма О 'З вЂ” обычная (типа С или /,з). К сожалению, достаточно обьективно и однозначно разделить / на,/, и Ь/, т.е.
«отфильтровать» погрешности задания /, не удается. Одним из основоположников теории решения некорректных задач В. К. Ивановым было предложено искать вместо и, так называемое «квазирешение». Имеется в виду следующее. В компакте М (а это множество нам задано более или менее «явно» вЂ” системой неравенств) находится квазирешение и, такое, что расстояние между Ки и / минимально. Другими словами, определение квазирешения сводится к задаче на условный экстремум: ппп ЙКи — /й.
(5) »НМ ззв ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ (ч. и Эта задача получила в настоящее время наименование Фзадача математического программирования», Методы ее численного решения достаточно хорошо развиты (см. 5 26), хотя она и не относится к числу очень уж простых. Иногда употребляется обозначение и = агйппп ЦКи — /Ц. (6) чем Прежде всего следует установить существование квазирешення. Это почти очевидный факт: все определяется предположением о том, что М вЂ” компакт, и ограниченностью (непрерывностью) оператора К.
Т е о р е м а 1. Квазирешение существует. Доказательство. Введем функцию Ф(и) ев ЦКИ вЂ” Д. Непрерывная ограниченная снизу функция на компакте достигает своепз наименьшего значения. Нужно только доказать непрерывность Ф(и). Оценим Ф(и + Ьи) = ЦКИ + КЬИ вЂ” /Ц и ЦКИ вЂ” /Ц + ЦК ЬНЦ. В результате имеем Ф(и + Ьи) ~ Ф(и) + ЦКЦ ЦЬИ11 С другой стороны, аналогично, Ф(и) = Ф(и+ Ьи — Ьи) и Ф(и+ Ьи) + ЦКЦ ЦЬИЦ, т.е. Ф(и) — Ф(и+ Ьи) ~ ЦКЦ ЦЬИЦ. Следовательно, ~Ф(и+ Ьи) — Ф(и)~ ( ЦКЦ ЦЬИЦ. Для того чтобы квазирешение представляло интерес с прикладной точки зрения, оно должно обладать важным свойством — непрерывной зависимостью от правой части /.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
