Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 83

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 83)

Это свойство обеспечивается при дополнительных требованиях к компакту М. Определение 2. Компакт М называется множеством корректности в смысле Тихонова, если существует такая функция скалярного аргумента соД), что: а) 1пп сл(Е) = 0; В О б) для любых двух элементов и' Е М и и" Е М имеет место соотношение Ци — и Ц к Вэ(ЦКИ" — Ки Ц).

(7) Определение 3. Задача Ки=/, и Е М называется корректной в смысле Тихонова, если: а) априори известно, что существует ее единственное решение; б) компакт М является множеством корректности атой задачи. й 251 ИЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИБЛИЖЕНИОЕ РЕШЕНИЕ звэ Поясним смысл этих определений. Прежде всего подчеркнем, что в (7) используются обычные нормы, например нормы в 2, . Из определений следует, что если правые части /', /" брать из множества АГ=КМ, то соответствующие им решения и', и" мало отличаются друг от друга при малом отличии !!и" — и'!! и ог(!!/" — /'1!). Другими сдовами, «сужение» задачи на множество М делает ее корректной.

Однако решению подлежит задача, в которой /2с Аг. Теорема 2. Пусть задача К и= / корректна в смысле Тихонова и М есть ее множество корректности. Тогда квазирешение непрерывно зависит от правой части /. Уточним суть дела. Предполагается, что существует точное решение и, Е М. Ему соответствует точная правая часть /, = Ки, Е Аг. Известна правая часть /, близкая к /, в обычной норме: !!/ — /Д н Ь, где Ь вЂ” малое число. Однако в сильной норме типа (3) погрешность в правой части бесконечна. Пусть найдено квазирешение и . Теорема утверждает, что ![и — ИД- О при Ь- О.

Перейдем к доказательству. Доказательство. Введем / = Ки Е г»' н оценим !!/» — /,!! ( !!/» — /!! + !!/, — /!! Второе слагаемое в правой части оценивается величиной Ь. Оценим первое: !!/ — /!! = !!Ки, — Л! = Ш1п !!Ки — /!! ч !!Ки, — /!! = !!/, — /!! ( Ь. »ни Итак, !!/ — /Д н 2Ь и в силу (7) имеем !!и — иД ч: оэ(2Ь), так как /» Е 22Г и /, Е ЬГ. Теорема доказана. Множество корректности в задаче Адамара. Поясним технику построения множеств корректности в конкретной задаче (2). Удобно 2 'т обозначить 7г„= ее "т.

Это собственные значения оператора К ', если задачу (2) представить в виде Ки =,/. Сначала покажем, что множество М функций [и(х) ! ~ 1, х Е [О, 11, множеством корректности не является. (Напомним, что искомая функция и(х) служит начальными данными для обычной задачи теплопроводности, решение которой в момент времени Т должно совпасть с заданной функцией /(х).) Возьмем и'(х), О, и"(х) = Рйп (йях), Им соответствуют функции из М=КМ, /'=О, /"= Х гйп (клх). Итак, !!и" — и'!! =1, — «2„/т !!/" — ' /'1! = е " т.

Нельзя построить никакой требуемой в определении 2 функции ог(Ч), такой, что 1 = !! и" — и'!! и ог(!!/" — /'!!) = го(е А» т). пгиэлижеииыв мктоды вычис!и!тельной физики 1ч. и Принадлежность Г' и /" множеству КМ (т,е. К !/ Е М) означает выполнение неравенств и' ~Х', Лгкгаг и 1 » ! „г тр Лг!гйг ~ ! »=! (9) Функциям у' и у" соответствуют элементы и', и", коэффициентами Фурье котормх являются числа Л»а» и Л»Ь». Расстояние между ними есть !! ц" — и'!!г = ~ Лг(Ь» — а»)г. (10) » ! Коэффициенты Фурье производных и„', и„" суть кЛ»а», кЛ»Ь».

Неравенства (9) выражают принадлежность /', У" множеству !з! = КМ. Оценим (10), используя (8), (9). Выберем некоторое число лг и воспользуемся следующей из (9) оценкой Лгаг П 1/(кгйг) Лгйг П 1/(пгйг) Имеем юл ~х' Лг(Ь» — а )гп ~х' Лг»(Ь вЂ” а )г+ 2 ~х' Лг(аз+ Ьг). (11) » ! »-! Второе слагаемое в правой части (! 1) оценим так: О Л,(а» + Ь„) и , г г г 2 ! 2 ! » ыь! »ь В+! Первое слагаемое оценим, используя (8): ~х Л»г(Ь вЂ” а»)г П Лг ,'Р (Ь вЂ” а»)г П Лг Ьг »-! »-! (!г) Получаем !! цп ц'!(г и егт*к гбг + г !и Определим теперь множество М условием !!и„(х) !! ж 1 (кроме того, есть еще и условия ц(0) = ц(1) = О).

Рассмотрим функции У' и У" нз лГ. Пусть а», Ь» — их коэффициенты Фурье. Обозначим расстояние между ними Ь (ради простоты, ниже мы будем иметь дело с квадратами рассгояний): х, (Ь „ )г Ьг (8) » ! 3 251 ивкоггвктиьш злвлчи и их пгивлижвииов евшеиив 401 Теперь нужно распорядиться числом т так, например, чтобы оба слагаемых в оценке были равны. Логарифмируя выражение е~ "гбз = 4/(нзт), приходим к уравнению для т: р(т) вв атз+!и (Ьзнз/4) + 1и т = О, а = 2хзТ. (1З) Будем ориентироваться на задачу с Т=0,01, Ьж10-з. В этом случае а а 0.2, 1п (Ьзпз/4)) = — 7.5.

В первом приближении можно отбросить в формуле (13) для р третий член, после чего уравнение решается: т, = [ — а '1и (Ь~х~/4)[пз (в примере т, ж 6). Однако это слишком грубый результат. Прн таком выборе т первый член в оценке (12) для [[и" — и'[[ есть О(1). Полученная оценка ие дает права утверждать, что М есть множество корректности. Уточним корень уравнения р(т) = 0 одной итерацией по Ньютону: тз= т~ — <р(т,)/~р'(т,). Очевидно, р(т,) = 1и ти р'(т,) = 2ат, + 1/т . Так как мы рассматриваем все-таки значения Ь м1, то т,:г 1 и можно упростить выкладки, полагая тз = т, — 1п т,/(2ат,), Оценим первое слагаемое в (12), используя приближение тз: где р = [ 1п т,/(2ат,) [з — величина, пренебрежимо малая.

Мы не будем доводить оценки до абсолютной строгости — это дело техники, не очень сложной, но громоздкой. Итак, имеем ехр (атзз) Ьзж ехр (атз) Ьзехр — — 1и т, 1 = —, Ь~ ехр — — 1п — — 1п —" Таким образом, опуская несущесгвениые детали, мы получили оценку типа [[и" — и'[[з (1/!и Ь ')'~ . Тем самым доказано, что условие [[и„.(.)[[ н С определяет множество корректности для обратной задачи теплопроводносги. Однако очень медленное стремление к нулю соответствующей функции о>Д) при с- 0 (см.

определение 2) служит предостережением тем, кто на этом основании счел бы исследование задачи (2) законченным. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОЛЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ Совершенно ясно, что множество функций и(х) = ~Р аг з1п (хпх) В 1 и при условии ~ аг зж Р1 н любом заданном лз является множеством коре ! ректности для задачи (2). Более того, соответствуюшая функция ьзЯ) = С$, где С = е" "' г. Это насголько большая величина, что реально можно использовать соответсгвуницее множество М лишь при очень малых лз = 2, 3, 4 и в том случае, когда есть уверенность, что искомое точное решение может быть аппроксимироваио с нужной точностью тремя-четырьмя гармониками.

Приближенное решение обратной задачи теплопроводиости. Дальнейшее знакомство с некорректными задачами удобно провести в более конкретной форме — в виде комментария к процессу приближенного решения моделъной задачи обратной теплопроводности. Она конструируется просто. Возьмем относительно простую функцию и,(х) и решим прямую задачу теплопроводности и, = и„„при краевых условиях и(б О) = и(Р, 1) =0 с начальными данными и(0, х) = и,(х). Полученную (численно) функцию и(Т, х) используем как начальные данные для обратной задачи. Полезно еще возмутить ее малой случайной погрешностью. Итак, построим функцию Дх) = н(х, Т) + Ь(х), 1Ь(х) ~ П Ь. Теперь попытаемся решить обратную задачу.

При построении модели надо достаточно разумно выбрать два числа: Т и Ь (уровень погрешносгей). Значение Ь выбирается из таких соображений. Если найдена функция и(Т, х), то в качестве Ь можно взять, например, 0.01 среднего значения и. В дальнейшем, говоря о решении уравнения теплопроводности, мы имеем в виду приближенное решение, получаемое методом сеток с шагом Ь = 0,01 (по х) и с шагом т лз (по г) при использовании самой простой, например явной, схемы. Что касается Т, то обсуждаемые ниже расчеты проводились при Т = 0.01.

Этот выбор может удивить читателя, но для рассматриваемой задачи время 0.01 не такое уж малое. Оценим, какие события могут произойти в задаче за это время. Если разложить начальные данные прямой задачи и ряд Фурье: и,(х) = ~ с„з1п (ххх), то решение в момент времени г = Т есть и(х, Т) = ч~, ссе "" зш (йпх). з 251 НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ 4ОЭ В табл. 13 приведены значения е 4 "~ для разных Т и к. Видно, что время Т = 0.1 является почти асимптотически большим.

Характеристики

Список файлов книги