Главная » Просмотр файлов » Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 13

Файл №1185915 Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику.djvu) 13 страницаФедоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915) страница 132020-08-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Но значит ли это, что его решение (х„) в какойто мере аппроксимнрует решение дифференциального уравнения? Так мы приходим к другому фундаментальному понятию — к сходи- мости разностной схемы. Правильнее и аккуратнее было бы сказать: сходимость решения разностного уравнения к решению дифференциального при т - О. Но мы будем использовать «жаргонное» выражение «сходимостьь. Перейдем к аккуратному оформлению этих понятий. Рассмотрим ' следующие математические объекты: 1) дифференциальное уравнение — = Д2', Т), 2'(0) = х„ и его решение 2'(г); 2) ограничение функции 2'(г) на сетку (г„), т.е. сеточную функцию (2'„)„", где 2'„= 2'(г„); 3) разностное уравнение (например, явную схему Эйлера или еще какую-нибудь) и его решение (х„).

Мы будем иметь дело с последовательностью сеток, соответствующих уменьшающимся шагам т - О, так что при стремлении к полной аккуратности следовало бы каждый объект пометить еще индексом т: 2"„, х„* н т.д. Этот индекс т неявно везде следует иметь в виду. 0 п р е д е л е н и е. Говорят, что разностное решение сходится, если Вш ~~2"„— х'„~~ = О, и = О, 1, ..., М=?Ут. «О Если установлена оценка ~!2'„' — х'„~~ ц Стг, и = 1, 2, ..., М, 5 51 6! иитяп иювлиии зядлчи коши для систем одт где С не зависит от т и и, то говорят, что установлен р-й порядок сходимости, а схема имеет р-й порядок точности.

Установление сходимостн, а лучше, и порядка сходимости (еще лучше, с хорошей оценкой константы С) есть основная цель теоретическою обоснования метода приблилсенного решения. Этому вопросу посвящен б 7. Схема Адамса. Опишем общую конструкцию схем численного интегрирования, достоинством которой является ее экономичность. Каждый шаг интегрирования требует только одного вычисления правой части с, в то же время порядок точности метода может быть (формально) любым желаемым. В методах Рунге-Кутты (они описаны в б 7) число вычислений / на шаг равно порядку точности метода.

Итак, пусть задача решается на равномерной сетке, значения х„(и все предшествующие х„„х„з, ..., хр) уже найдены. По значениям ус = у(х„ +,) для с = О, 1,..., р (р определяет порядок точности метода) в узлах сс с„,я+с построим интерполяционный полипом степени рс с-о Ею можно применить и для экстраполяции функции у [х(с) [ на интервале [с„, с„+ т = с„с[. Теперь используем очевидное тождеспю с+с х(с„ + т) = х(с„) + $ у[х(с)[ асс. с (б) Заменяя у[х(с)) интерполяционным полнномом и вычисляя интеграл, получаем формулу х„+, = х„ + т(а с + асУ~ с + ...

+ а У ), (7) где ао, а,, ..., ар — некоторые универсальные (не зависящие от шага т) числа. Они очевиднмм образом вычисляются через интегралы от базисных ннтерполяцнонных полиномов 1'(с). При вычислении а, делается замена переменных с = с„+ т,т н рассматривается стандартный шаг по ~, равный единице.

Оценим погрешность аппроксимации, предполагая /(х), а следовательно, н решение х(с) достаточно гладкими. Погрешность экстраполяции [[у[х(с) [ — с". (с)[[ = О(тя+с) (см. з 3). При интегриро- (ч. т ОснОВы Вычисли3тльной мАтемАтики б2 ванин по (1„, ( 1 в оценке погрешности вычисления интеграла появляется еще множитель т. Переписывая (б), (7) в форме, дающей в пределе дифференциальное уравнение, получаем х((„ + ) — к((„> аобу(х„) + а, Ях„ ~ ) + ... + арф( ха р ) + 0( тР + ' ) . Итак, порядок погрешности аппроксимации равен числу используемых в (7 ) точек р + 1 .

Неудобством метода является необходимость помнить некоторое число прошлых значений г„ 3 Это, конечно, мелочь, если не считать самого начала процесса интегрирования, когда прошлого просто нет. Приходится несколько первых шагов выполнять нестандартно, например методом Рунге-Куттм (см. з 7). Метод Адамса является характерным примером схемы, формальный порядок которой превмшает порядок дифференциального уравнения.

Стандартный алгоритм начинает работать лишь при задании, кроме начальных данных хса еше и значений х„х, ..., х . Таким образом, общее решение разностного уравнения содержит больше, чем нужно, произвольных постоянных и, следовательно, какие-то лишние «решения». Полезно иметь представление о том, во что переходят лишние решения в пределе при т О. Рассмотрим простейшее уравнение х *= ах и две схемы второго порядка — примитивную схему (4) и квалифицированную схему Адамса второго порядка: Ха Ы вЂ” х„ " = — У(х„) — — У(х„,), У(х) Вя ах. В этом простом случае можно вычислить и проанализировать общие решения разностнмх уравнений.

Они ищутся в стандартной для однородных разностных уравнений с постоянными коэффициентами фОрМЕ Х„= Сита, + Сздз, ГдЕ рн аз — КОРНИ ХараКтсрнетнЧЕСКОГО уравнения, С„С2 — постоянные, определяющиеся в данном случае начальными данными хо и хи Характеристические уравнения получаем, подставляя ра в уравнение.

Для простейшей схемы (4) имеем а' — 2 д — 1 О. .. а,, а Л + ( )'. Первый корень (при (ат~ м 1); ( )2„1. р( 3) ат „1. П(ЕЗ) аа еаа.(1 .1 О(тз)) и Р(УЕ) бз 3 51 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОДУ Это решение в пределе дает. решение дифференциального уравнения. Второй корень: д ~ 1+От дь ( 1)АЕ ААЧ т.е. сеточная функция никакого разумного предела не имеет (из-за множителя ( — 1)" = ( — 1)'~'). Это есть паразитическое решение, появившееся из-за превышения порядка разностного уравнения над порядком дифференциального. В общем решении х„= С,д", + С дз, и дая того чтобы схема имела второй порядок точности, нужно обеспечить соотношения С = х„+ О(тз), С О(т~). Аналогичные выкладки для схемы Адамса приводят к характеристическому уравнению дз = д + — д сд — — ат.

з г г Его корни: з дьз з+ 4 От~ Предоставим читателю убедиться, что д — ат/2, д, = 1+ ат+ азтз/2+ О(т') = е" (1+ О(гз)) Таким образом, дп' е"(1+ О(тз)), а паразитическое решение дз ~ (ат)" Очень быстро стремится к нулю (мы, конечно, считаем ~ ат ~ ж 1, например ат м 0.1). Итак, выбор х, в схеме Адамса должен обеспечить соотношение С, = хв+ О(тз). Полезно проверить, что выбор х~ = хо + т/(хо) обеспечивает требуемые соотношения. Более высокий интеллектуальнмй уровень схемы Адамса (по сравнению с примитивной схемой с центральной разностью) сказался в том, что паразитическое решение этого метода очень быстро убывает — как (ат)п'. Численное интегрирование на ЭВМ. Представленный выше анализ погрешностей приводит к выводу, что точность численного интегрирования тем выше, чем меньше шаг т.

Это верно только до известного предела — до тех пор, пока погрешности округления, связанные с конечной разрядностью машинной арифметики, остаются пренебрежимо малыми, Реальная расчетная формула (метода Эйлера, для определенности) в действительности прн реализации на ЭВМ имеет вид х„> = х„+ т/(х„) + с„. 64 основы вычислитввьиой мАтвмАтики 1ч.

1 Величина в„обычно определяется погрешностью округления щш машинном представлении х„, т.е. имеет величину 10 '~х~ (г = 12 на БЭСМ-б, г= б-;- 7 на ЕС, г =16 на ЕС при двойной точности). Погрешность округления т/, если г вычисляется с машинной точностью, несущественна, так как обычно ~ тД м ~ х~ (х мало меняется за шаг). Но если функция г вычисляется сложным алгоритмом, ее погрешность может определять величину в„. Таким образом, машинная вычислительная формула имеет внд *."„-*."+ ос)(1.~*а~-ф. где Ь вЂ” относительная погрешность вычисления /, т~ — относительная погрешность представления х. Можно трактовать эту формулу как точную с погрешностью вычисления г.

И теперь ясно видно, что, начиная с некоторых малых величин, дальнейшее уменьшение т приводит к падению точности. Интегрирование уравнений высокого порядка. Пусть требуется проинтегрировать уравнение 14к — 4 — — У(х), к(0), ..., х(0) заданы. Не составляет труда построить разностное уравнение: хм+а — 4кп+1+ах„-4х„1+хк в -- -Их.). Данные Коши позволяют вычислить значения хо, хи хм хз, по ним находим х4, затем хз и т,д. Однако здесь конечная разрядность машинной арифметики имеет еще худшие последствия. Машинная расчетная формула имеет вид х„+, —— 4х„+, — бх„+ 4х„, — х„з+ т~У(х„) + т1! х~. Таким образом, погрешность округления т~ ~ х ~ эквивалентна погрешности вычисления У порядка т1 х!/т4. К счастью, есть простой выход — переход от уравнения четвертого порядка к системе уравнений первого порядка: х'=хз, хз кз, хз=х4, хх=г(х').

Именно по этой причине теория численного интегрирования строится для систем уравнений первого порядка. Замечание. Выше без определений были использованы некоторые понятия (аппроксимация, точность и т.п.). Смысл их достаточно прозрачен. Он уточняется в следующем параграфе. Б 61 АБСТРАКТНАЯ ФОРМА НРНБЛНЖБННОГО МЕТОЛА й 6. Абстрактная форма прнбпнигвиного метода Приближенное интегрирование задачи Коши послужит нам удобным примером, на котором можно будет ввести основные обьекты общего приближенного метода и установить связи между ними. Настоящий параграф носит, так сказать, идеологический характер, в нем появляются фундаментальные понятия теории приближенных методов вычислений. Итак, мы исходим из задачи, записанной в общей форме: А,(к') = Р'".

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,23 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6363
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее