История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 41
Текст из файла (страница 41)
— 207— В. 10В Продолжая так далее, Архимед доходит до числа 100'ге — 1, и все числа, меныпие 10010, называются числами первого периода. Число А = 100'0 принимается за единицу второго периода и т. д. Архимед доводит построение до "мириада-мириадного периода" и заканчивает свою сисгему наименований числом 10л В 10м А10 = 100'10 . Далее Архимед доказывает, что число песчинок, заполняющих внутренность сферы неподвижных звезд, не превосходит 1000 ( 100'в, т. е.
единицы "девятых" чисел первого периода. Конечно, при построении процесса именования чисел Архимед не имел возможности пользоваться современными обозначениями вида 10", а описывал все словами. Главное достижение Архимеда состоит в том, что он не только подтвердил бесконечность числового ряда, но и построил бесконечный процесс именования сколь угодно больпшх чисел 7. Развитие математического понятия непрерывности (континуума) происходило гораздо позже, с конца ХЪ'П1 и до последней четверти Х1Х века, когда была создана теория пределов, теория иррациональных чисел как пределов последовательностей рациональных и как "сечений" в множесгве рациональных чисел. К этому времени многим матемагикам было интуитивно ясно, что "действительных" чисел (включающих и рациональные, и иррациональные числа) "больше'", чем только рациональных.
Однако ответить на вопрос "насколько" или "во сколько раз" больше было бы невозможно, так как речь шла о сравнении бесконечных совокупностей объектов. Об этом размышлял еще Галилей. Известен парадокс, приписываемый Галилею: "Каждое целое число можно возвести в квадрат, значит квадратов столько же, сколько самих чисел. Но возможно ли это, если мы знаем, что некоторые целые числа, например 2, 3, 5, 6„не являюття квадратами других целых чисел?" Указав на этот парадокс, Галилей делает правильный вывод, что соотношения, верные для конечных совокупностей объектов, нельзя автоматически переносить на бесконечные.
Он замечает: — "Число квадратов не меньше, чем множество всех чисел, и последнее не больше, чем первое". Вопрос о количественной оценке и сравнении бесконечных совокупностей или множеств элементов был строго математически поставлен и получил достаточно полное решение в последней четверти Х1Х века в работах Г. Кантора. Георг Кантор родился в 1845 году в Санкт-Петербурге. В 1856 году из-за болезни легких он вместе с семьей переехал во Франкфурт-на-Майне (Германия). В период с 1860 по 1866 годы учился в нескольких европейских высших учебных заведениях, как это было принято в то время. Защитив диссертацию по теории чисел и опубликовав ряд работ, он в 1869 году получил звание приват-доцента в университете города Галле, а в 1872 году был избран профессором этого университета.
В течение 1872-1873 годов он ведет активную научну1о переписку с Дедекиццом по вопросам теории множеств. Эта теория разрабатывалась Кантором в течение полутора десятков лет, когда им были подготовлены основные труды по новой математической дисциплине. В 1896-1897 годах Кантор опубликовал сво1о фундаментальную работу "К обоснованию учения о трансфинитных множествах", где систематически изложил все свои результаты по общей теории множеств. С 1899 года у Кантора начали учащаться приступы нервной болезни, которой он данно страдал.
Он постепенно отошел 1гг научной деятельности и в 1918 году умер в клинике нервных болезней в Галле. Остановимся очень коротко на идеях Кантора, относящихся к теории трансфипитных чисел, являющихся новым, принципиально отличным от всех предыдущих, развитием понятия числа и распространением этого понятия на бесконечное. Не претендуя ни на какую строгость, мы постараемся только дать представление об удивительных и необычных свойствах целых и действительных чисел, рассматриваемых как совокупности (или множества, по терминологии, введенной Кантором), состоящие из бесконечного числа элементов.
Будем называть множество, содержащее конечное число элементов просто конечным множеством, а если число элементов, объединенное некоторым условием, бесконечно, то множество, содержащее их, называть бесконечным. Начнем с простейшего случая конечных множеств, и рассмотрим два таких множества А и В, причем пусть А состоит из элементов ал,аж...,а, а В - из элементов Ь1,Ьз,...,Ь„. Назовем мощностью (конечного) множества число его элементов, т.
е. га и и для А и В. Отвлекаясь от каких бы то ни было свойств элементов а, и Ь1, будем говорить, что мощность мно- — 208 — 209 жества А, которую мы обозначим о, равна т, а мощность /1 множества В равна п. Очень просто сравнить а н  — это то же самое, что сравнить т и п, если они известны. Если же т и и не известны (например, вхождение элементов в А и В определены какими-либо условиями), то для сравнения а и ~9 можно составлять пары, выбирая по очереди из А и В по одному элементу, вообще говоря, в произвольном порядке: (о„, Ь, ), (оно Ьг,) и т.
д. до тех пор, пока не исчерпается одно (или оба) множества. Очевидно, что возможно три случая: 1) гп = и, тогда каждому элементу А будет соответствовать элемент В и обрнгно; 2) гп > и, тогда В будет исчерпано первым, и некоторое количество элементов А не получит пары, как бы мы не выбирали Ь и а,. Иначе говоря, существует множество способов сопоставить всем элементам В какое-то подмножество А, но невозможно найти в В ни одного подмножества (в том числе и состоящего из всех элементов В) всем элементам которого можно было бы сопоставить взаимно однозначно все элементы А.
В этом случае а>В; 3) т < и, этот случай рассматривается аналогично. Пусть теперь А и  — произвольные множества, состоящие каждое из конечного или бесконечного числа элементов, причем вхождение элемента в А или В определяется соответствующими условиями. Если между элементами А и В можно установить взаимно-однозначное соответствие, то есть образовать пары (а, Ь) так, что каждый элемент а 6 А и Ь 6 В входит в одну н только одну из пар, то множества А и В называются эквивалентными, а их мощности равными, т. е. а = В. Кантор ввел также отношения < ("меньше"') и > (*'больше" ) для мощностей.
Так, если существует подмножество В, эквивалентное множеству А, но не существует подмножества А, эквивалентного В, то мощность А "меныпе" мощности В, а < В, а мощность В "болыпе" мощности А, В > а. Приведем несколько примеров множеств: 1) множество различных корней уравнения 5-ой степени, 2) множество единиц в системе кватернионов, 3) множество значений 1п( — 1) = 1я х Ь. 2я1, 4) множество рациональных точек в интервале (О, 1), то есть рациональных чисел р/д, удовлетворяющих условию 0 < р < д, — 210- 5) множество всех чисел вида (пе), где е — иррационально, в — любое целое, и ( ° ) обозначает дробную часть числа.
Легко видеть, что эквивалентность конечных множеств 1) и 2) зависит от выбора уравнения, определяющего множество 1). Остальные три бесконечные множества 3)„4), 5) эквивалентны друг другу и множеству всех целых чисел 1, 2, 3,.... Для 5) это очевидно. Для 3) получаем соответствие, если положим Ь = (и — 1)/2 при и нечетном и Ь = и/2 при и четном. Для 4) собираем рациональные дроби в группы с одним и тем же 4, затем нумеруем их все последовательно, начиная с меньших д, тогда получаем р/д: О/1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, и: 1, 2, 3, 4, 5, 6, Множества эквивалентные множеству всех целых чисел называются счетными.
Их мощность имеет специальное обозначение Ке (читается "алеф нуль"). Все трн множества 3), 4), 5) --. счетные. Из приведенных примеров видно, что для бесконечных мощностей нарушается принцип, что "целое больше части' . В частности, мощности множеств всех целых чисел, их квадратов и всех четных чисел равны. Легко доказать также, что любое подмножество счетного множества конечно или счетно. В теории чисел доказывается, что множество всех простых чисел бесконечно и, следовательно, также имеет мощность Ке. Приведенные примеры могут навести на мысль, что, вообще, все бесконечные множества счегны, и, если бы это было так, то понятия эквивалентности и мощности не имели бы смысла. Однако это не так.
Кантор показал, что существует бесконечное количество множеств все возрастающих мощностей. Мы рассмотрим самый простой, но важный пример. Начнем снова с конечного множества А = (амат,...,а„). Подмножеством А называется множество, состоящее из лк;бого числа входящих в негоэлементов, например, (амат,), (ам а„, ), ~аз, аг, а„з, а„) .
Сопоставим каждому подмножеству 9 = (а„,а,„...,а,.), г~ < гт < .. < 1„ двоичное число 4 = 2 2 '" такое, что в его позиционном предь=1 ставлении на местах 1м1м...,1, справа от нуля стоят единицы, — 211— а на остальных нули. Включим в число подмножеств А само А, а также пустое множество, не содержащее ни одного элемента, соответственно, д = 1 — 2 ", и й = О. Рассмотрим теперь множество А, элементамн которого являклся все подмножества А. Очевидно, что мощность р' множества А равна мощности множества чисел й, а именно 2". Итак, мы получили р = 2" > п = а, где а — мощность А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
