Лекция (2) (1185565), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

На основании теоремы Кенига она равна сумме энергиидвижения «центра масс» и энергии движения относительно центра масс, т. е. внутреннейэнергии (после усреднения).При адиабатическом процессе изменение полной энергии в выделенном объемепроисходит за счет переноса энергии потоком через границу объема и за счет работы силдавления, действующих на границе. В рассматриваемом случае это дает уравнение:u2 u2 ρ 2u2  e2 + 2  − ρ1u1  e1 + 1  = p1u1 − p2 u22 2 .Это уравнение с учетом с уравнения непрерывности приводит к уравнению Бернулли, вкоторое входит энтальпия системы w = e + p ρ :w2 +u22u2= w1 + 122 .Вместе с уравнениями состояния идеального газа (Клапейрона-Менделеева) p = (γ − 1)ρe иe = cV T система является полной системой уравнений, описывающей разрывное течение газа.Исключая из этой системы скорости потока, можно получить соотношение, связывающееплотность и давление газа по обе стороны от разрыва:(ρ − ρ1 )( p1 + p2 ) = 0e1 − e2 + 22ρ1ρ 2В последнем соотношении не использованы предположения о термодинамическиххарактеристиках газа (его идеальности) и оно позволяет определить давление газа послепрохождения разрыва как функцию его плотности.

Такая зависимость называется ударнойадиабатой или адиабатой Гюгонио. В отличие от рассматривавшейся ранее адиабатыmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 11 of 12Пуассона p2 = p1 (ρ 2 ρ1 ) , давление в ударной адиабате зависит не только от плотностиγгаза после разрыва, но и от начальных характеристик p1 и ρ1 . Для модели идеального газаэта зависимость имеет вид:(γ + 1)z − (γ − 1)p2 = p1(γ + 1) − (γ − 1)z ,где z = ρ 2 ρ1 – отношение плотностей газа.

На рисунке изображены адиабата Пуассона иГюгонио.105246Рис.Адиабата Пуассона (пунктир) и Гюгонио (сплошная)При заданном начальном состоянии газа перед скачком задание лишь одного параметрапосле скачка, например ρ 2 , определяет давление газа, а следовательно, и всех остальных егопараметров. Очевидно, что плотность газа не может быть сколь угодно большой.γ +1ρ max = ρ1γ − 1 .

Для идеального одноатомного газаМаксимальное значение плотностиγ = c p cV = 5 3 , так что z max = 4 , а для воздуха z max = 6 .T2 p2 1=p1 z .Отношение температур до и после разрыва T1Как отмечалось выше, прохождение газом поверхности разрыва является неравновеснымпроцессом. Установление термодинамического равновесия должно приводить к ростуэнтропии газа. Вычислим изменение удельной энтропии, воспользовавшись соотношением (4)для идеального газаs = cV ln p ρ γ .()Подставляя сюда значения давления, получим для изменения энтропии: (γ + 1)z − (γ − 1) 1 ∆s = s2 − s1 = cV ln ⋅ γ  (γ + 1) − (γ − 1)z z  .Рост энтропии в системе возможен лишь при условии z = ρ 2 ρ1 > 1 , когда u 2 < u1 , т. е.

приторможении газа в ударной волне. Это условие определяет направление процессов приразрывном течении газа. Скорости потока до и после разрыва можно выразить черезсоответствующие скорости звука. При заданном отношении давлений они определяетсявыражениями:2z2u1 = c1u2 = c2(γ + 1) − (γ − 1)z ,(γ + 1)z − (γ − 1) ,где c1 = γp1 ρ1 и c2 = γp 2 ρ 2 – скорости звука в потоке слева и справа от разрыва.Как следует из приведенных соотношений u1 > c1 , а u 2 < c 2 , причем u 2 = u1 x < u1 .

Такимобразом, поток газа, втекающий в ударную волну, имеет сверхзвуковую скорость, а потокmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 12 of 12затормозившегося газа – дозвуковую.mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005.

Характеристики

Список файлов лекций