Ким_ Мьюллер и др - Факторный_ дискриминантный и кластерный анализы (1185345), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Ч. ВВЕДЕНИЕ В КОНФИРМАТОРНЫЙ ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Рассматривая разведочный факторный анализ, мы выделяли те предположения, которые необходимы для его применения. Наиболее важные из этих предположений — принципы факторной причинности и зкономии. Методика факторного анализа состоит в том, что априори принимается определенная модель взаимосвязи между наблюдаемыми переменными, а затем находится решение, наиболее полно согласующееся с наблюдениями, Возникает законный вопрос: существует ли возможность какого-либо подтверждения факторной моделиу Как уже упоминалось, нет способа доказать существование определенной причинной структуры исходя нз наблюдаемой ковариационной структуры.

Тем не менее можно оценить, до какой степени правдоподобие факторной модели эмпирически подтверждено. СТЕПЕНЬ ЭМПИРИЧЕСКОГО ПОДТВЕРЖДЕНИЯ ГИПОТЕЗ О ФАКТОРНОИ МОДЕЛИ По сравнению с разведочным анализом в конфирматорном факторном анализе рассматриваются более специфические гипотезы о факторной структуре. Следовательно, имеется вероятность, что если нв самом деле данные не полностью соответствуют модели, то определенные гипотезы будут отвергнуты. В этом смыс- ле модели в конфирматорном анализе являются самопроверяющимися. Если данная гипотеза подтверждается результатами наблюдений, появляется ббльшая уверенность в том, что рассматриваемая факторная модель соответствует действительности.

Пе- ред тем как обсуждать конфирматорный факторный анализ„важно получить представление аб эмпирическом подтверждении модели в целом, а также решить, можно лн использовать факторный анализ для наших данных или нет. Пример Применение факторной модели к двумерной корреляционной матрице не дает никакой новой информации, так как модель с одним общим фактором всегда совместима с ней. Таким образом, в этой ситуации факторный анализ неприменим вовсе не потому, что факторная модель несовместима с данными.

Причина в другом — степень эмпирического подтверждения модели (или, короче, его информативность) нулевая, и, кроме того, нет единственного решения. Рассмотрим зависимость между первыми двумя переменными в модели, представленной на рис. 1. Если задан произвольный коэффициент корреляции, можно выбрать первую факторную нагрузку на интервале от — 1 до +1 (за исключением О).

При этом существует другая факторная нагрузка, обеспечивающая совместимость с наблюдаемой корреляцией. Короче говоря, всегда есть факторное решение, совместное с даннымн. Ситуация несколько меняется, когда факториый анализ применяется к корреляционной матрице с тремя переменными. Если оказывается, что однофакторная модель совместима с данными, степень эмпирического подтверждения уже ненулевая, так как некоторые случайно выбранные корреляционные матрицы несовместимы с однофакторной моделью.

В частности, для того, чтобы корреляционная матрица с тремя параметрами была совместима с однофакторной моделью, три коэффициента корреляции должны удовлетворять следующим условиям: 1) либо все коэффициенты корреляции положительные, либо четное число из них является отрицательным; 2) абсолютная величина любого коэффициента должна быть больше или равна абсолютной величине произведения остальных двух коэффициентов: (г,~) )г,ьг>ь|. (32) Интересно проанализировать условие (32). Рассмотрим верхнюю часть рис 1 и введем такие обозначения: гы=ЬА; Й~=Ьз~', гы=Ь!Вз' Ьз=Ь 2' гзз = Ьзбз ~ Ьз= Ь з ' где Ь,=08, Ьз=07, Ьз 0,6 — факторные нагрузки, Ьь Ьь йз— общности. Перемножим два коэффициента корреляции: ГГЗГ43 =Ь!ЬЗЬ!ЬЗ=ЬЗ! ЬЗЬЗ=Й24Гм ' (33) Поскольку общности не превышают !, то из (33) вытекает условие (32) ! "! = )Г42Г!3! / !Г231~) Аналогичные рассуждения можно провести и для других пар коэффициентов корреляции.

Но не все случайно выбранные корреляционные матрицы для трех переменных удовлетворяют сформулированным условиям. Поэтому тот факт, что экспериментальные данные согласуются с однофакторной моделью является информативным, однако не слишком информативным, так как условию (32) удовлетворяют достаточно много случайно выбранных корреляционных матриц для трех переменных. Корреляционная матрица для четырех переменных, основанная на однофакторной модели, удовлетворяет трем дополнительным условиям: Г4ЗГ24 = Г!4Г23 ГЪ2Г34 = Г!4Г23 (34) Г 4ЗГ24 = Г 42Г34 ' Эти условия легко получить: .„.„=Ь,Ь,Ь,Ь,= (Ь,Ь,) (Ь,Ь,) =.„;,.

Вообще, чем больше число переменных, тем больше число условий, которым должна удовлетворять корреляционная матрица для данной факторной модели. Таким образом, совместимость однофакторной модели с корреляционной матрицей для четырех переменных дает исследователю эмпирическое подтверждение, что факторные предположения не совсем произвольны. Следовательно, некоторое заключение о факторной структуре информативно только тогда, когда корреляционная матрица удовлетворяет некоторым ограничениям.

Лишь в этом случае можно судить, соответствует ли данная факторная модель экспериментальным данным. Более того, чем больше отношение числа переменных к числу гипотетических факторов, тем весомее эмпирическое подтверждение факторной модели, поскольку увеличивается число структурных ограничений, накладываемых на корреляционную матрицу с целью согласования с данной моделью. Вспомним теперь, что применение факторного анализа предполагает наложение различных допущений иа экспериментальные данные.

Поэтому можно отвергнуть факторную модель только на основе того, что эти предположения являются либо произвольными, либо неподходящими. Тем не менее такое суждение смягчается, когда степень эмпирического подтверждения высока, поскольку следует считаться со структурными ограничениями в данных. С одной стороны, можно сказать, что информативность факторного анализа зависит от условий его применения.

С другой стороны, в факторном решении содержится информация о его пригодности: чем больше число эмпирических огранкчений, которым должно удовлетворять решение, тем больше степень уверенности в том, что факторная модель соответствует данным. С этой точки зрения даже разведочный факторный анализ дает информацию о пригодности и экономичности модели.

число эинивичвских огрлничвнин для еАнторнои модвли С учетом вышесказанного важной характеристикой информативности гипотезы является число ограничений, накладываемых данной факторной моделью (т. е. число условий, которым должны удовлетворять элементы корреляционной матрицы для возможного их восстановления с помощью факторной модели). Оказывается, это число равно количеству степеней свободы для критерия значимости решения максимального правдоподобия. Ясное понимание зависимости между факторной гипотезой и соответствующим ей числом степеней свободы является решающим моментом для понимания конфирматорного факторного анализа. Существует несколько различных подходов к определению числа ограничений для элементов корреляционной матрицы, Один подход сводится к использованию теоремы о ранге.

В этой теореме утверждается, что если на диагональ корреляционной матрицы поместить общности, соответствующие г-факторной модели, то ранг (число линейно-независимых строк или столбцов) редуцированной корреляционной матрицы будет равен г. При этом все миноры, содержащие больше, чем г строк и столбцов, будут иметь нулевой детерминант. Отсюда можно определить число условий, которым должна удовлетворять корреляционная матрица прн заданном числе факторов и параметров (Наппап, 1976). Другой подход связан с изучением степеней свободы для критерия значимости.

По-видимому, второй подход является более общим. Для примера предположим, что мы имеем дело с эмпирической корреляционной матрицей. Количество аппроксимируемых параметров, содержащихся в ней, равно 1/2п (и — 1) — числу элементов над главной диагональю. Факторный анализ позволяет получить первоначальное решение с помощью варьирования пХг факторных нагрузок (г — число общих факторов) с тем, чтобы обеспечить наилучшее воспроизведение наблюдаемой корреляционной матрицы, Но для первоначального факторного решения требуется ортогональность полученных факторов. Это условие влечет за собой !/2г (г — 1) дополнительных связей, Поэтому число свободных параметров составит пг — (1/2) г(г — 1). (36) Итак, число условий, которым должны удовлетворять элементы корреляционной матрицы, задается соотношением !/2п(п-1) — [пг-1/2г(г — 1)1 =1/2 [(л — г)з- (п+г)).

(36) 42 Тйблппй б Число степепеа сиободы дли л переыеппых и г фйиторов1 ' Общая формула иля числа ограничений: (и — г) ' — (и+г) 1:) мч 2 Выражение (Зб) и определяет упомянутое выше число степеней свободы. Когда вместо корреляционной матрицы используется ковариационная матрица, число независимых элементов равно !/2л (п+ 1), а не 1/2п (п — 1), Однако число степеней свободы не меняется, поскольку возникают дополнительные условия, связанные с применимостью факторной модели к коварнационной матрице. В табл. 8 представлены значения числа ограничений при различных комбинациях количества факторов и переменных. Следует выделить несколько аспектов.

Во-первых, как правило, число эмпирических ограничений увеличивается при возрастании отношения числа переменных к числу факторов, Во-вторых, когда число ограничений отрицательно, эмпирическое подтверждение факторной модели невозможно. Таким образом, имеет смысл рассматривать только модели, которые накладывают на данные некоторые ограничения. Например, применение двухфакторной модели при четырех переменных и трехфакторной модели при шести переменных — неинформативно. В-третьих, число ограничений для фиксированного количества факторов быстро растет при увеличении числа переменных, т. е. добавление переменной заметно повышает информативность полученного факторного решения.

Характеристики

Список файлов книги