Ким_ Мьюллер и др - Факторный_ дискриминантный и кластерный анализы (1185345), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Следует сказать, что неразумно целиком полагаться на критерии значимости, если мы не хотим вводить в рассмотрение второстепенные, но статистически значимые факторы. Желательно провести вращение решения и определить, имеет ли полученная структура «физический» смысл. Другои крайний случай гипотезы также не представляет сложностей для обсуждения. Если есть гипотеза о числе факторов, зависимости между факторами и о значении коэффициентов нагрузок, то можно проверить, близки ли элементы воспроизведенной корреляционной матрицы к наблюдаемым коэффициентам корреляции, либо использовать эту гипотезу как целевую матрицу. В последнем случае следует определить решение, которое аппроксимирует целевую матрицу и наиболее точно воспроизводит наблюдаемые корреляции.
В первом из рассмотренных случаев проверка адекватности гипотезы опирается на некоторый критерий для оценивания близости ковариационных матриц. Во втором случае требуется критерий для оценивания близости двух факторных решений. Более подробно об этом можно прочесть в работе Левина ((.елпе, 1977). На практике вряд ли в нашем распоряжении окажется такая полная информация. Однако данная гипотеза может понадобиться при сравнении факторной структуры для одного набора экспериментальных данных со структурой, основанной на другом наборе.
Сербом и Р(ореско разработали программное обеспечение для конфирматорного факторного анализа (ЗогЬот, 3огезйод, 197б). Мы опишем основные переменные этой весьма гибкой программы. Существует несколько способов задания каждой переменной. Переменные, применяемые в факторном анализе, включают факторные нагрузки (лХг коэффициентов) и коэффициенты корреляции между факторами ('/зг(г — 1) чисел).
Каждая из этих переменных может быть фиксирована или оставлена для варьирования. Наиболее часто при фиксировании используется обнуление отдельных нагрузок. Например, если задать все корреляции между факторами нулевыми, полученное решение будет ортогональным. Другим способом определения переменных является задание ограничений, сводящееся к тому, что одна переменная должна быть равна другой.
Таблица 9 Трн примера задания переменных а нонфнрмауорном анализе~ Пример 3 Пример 2 Пример ! Перемени ~в О О О О х х х О О О х х х О О О О О О О х Х, х, Х» х х Хе х х х О О О О О х х х х О О О О х х х х х х х х х х х х х О О О х х х х х х х х х х х О О О О О е к — свободная неременнвя, Π— неременнвя, ревнвя нулю. В табл.
9 представлены три случая задания свободных и фиксированных переменных. Кроме нулевых значений, можно использовать, например, значения 1,0; 0,5 и т. д. Однако представляется более реальным, что исследователь располагает лишь информацией о том, велики нли малы те или иные нагрузки. Первая гипотеза задает однофакторную структуру — наиболее простой вид для заданного набора переменных.
Вторая выделяет генеральный фактор и два групповых фактора. Третья гипотеза задает некоторую иерархическую структуру. Разумеется, можно задавать многие модификации этих структур. Необходимо также задавать зависимости между факторами. Обычно используются следующие формы зависимости: 1) задание всех факторных корреляций нулевыми — ортогональная гипотеза; 2) варьируемые корреляции — косоугольная гипотеза и 3) смешанная структура, когда некоторые факторы предполагаются ортогональными, а остальные произвольными. В табл, 10 представлен пример задания гипотезы для конфирматорного факторного анализа, использующий выборочные данные нз табл. 1. Предположим, что мы хотим задать следующую гипотезу: 1) существуют два общих фактора; 2) два фактора могут быть коррелированы и 3) один фактор имеет нулевые нагрузки иа переменные Хе, Хб, Хв.
а другой — иа Хь Хм Хв. Заметим, что в отличие от разведочного анализа в конфирматорном факторном анализе 6 факторных нагрузок из 12 (лг) фиксированы, и один коэффициент в факторной ковариационной матрице полагается свободным. Соответственно мы налагаем 5 дополнительных ограничений. Не все из этих ограничений отражены при вычислении количества степеней свободы. В разведочном анализе подразумеваются '/вг(г — 1) ограничений для обеспечения единственности решения. Таким образом, число ограничений равно; 5 — '~вг(г — 1) =4.
В общем случае невязка между моделью с фиксированными вели- Таблица !О Фиксироваииые и свободные величииы, задаваемые дли получении косоугольного факториого решениит чинами и экспериментальными данными будет больше, чем невязка для модели со свободными величинами, Но увеличение не- вязки будет компенсировано увеличением числа степеней свободы, если гипотетическая модель соответствует действительности. Отметим, что вряд ли целесообразно применять трехфакторную модель к матрице с шестью переменными.
Однако такую модель вполне можно использовать, если гипотетическая факторная структура имеет достаточное чи- Фактор Перемен- ные Ра х, Хе х, Ха Хв Ха О О О х Х х Х х х О О О ело ограничений для обеспечения нескольких степеней свободы. Например, могут быть заданы следующие ограничения: переменные Хт и Хз имеют нагрузку только на первый фактор; Х, и Коррелкции пеулду факторами !о, Рт ! Рт ' Π— соответствУет фиксированным ве- Ха На ВТОтттОИ, а Хб 6 личинам, а х — свободным.
еннвина в трстнй фаКТОр. 3 акторноа коррелвинонноа матрвае— Принципы, изложенные в данном разделе, могут быть нспольфвн ро н . зованы не только в факторном анализе. Можно сочетать особенности факторного анализа с особенностями регрессионного и путевого (ра(Ь) анализа. Предположим, рассматривается набор наблюдаемых переменных, которые связаны с латентной переменной (г"!), влияющей в свою очередь иа другую летентную переменную (Гк). Последняя также имеет набор наблюдаемых (индикаторных) переменных. Такую систему зависимостей можно проанализировать с помощью средств конфирматорного анализа.
В данном случае модель может быть представлена в рамках конфирматорного факторного анализа с двумя коррелированными факторами (рис. 6). Отметим, что эта модель совпадает со структурой, представленной в табл. 9 (пример 1), когда не накладываются ограничения на корреляции между факторами. Мы упомянули только о наиболее простом обобщении конфирматорного факторного анализа; заинтересованный читатель может обратиться за более подробной информацией к другим работам (Зогезкой, 1970; БбгЬот, .)огезко9„1976).
Сравнение факторных структур Другое применение конфирматорного факторного анализа состоит в сравнении факторных структур для нескольких групп наблюдений. Например, можно выдвинуть гипотезу о том, что фак- 50 Гипотетические неременныа Хе ~фактории Х, Навнюдеемем индикаторные ха хе ха нараменнья Рис. б. Модель, включающая два гипотетических фактора и б наблюдаемых переменных торная структура политических отношений чернокожего населения совпадает с аналогичной факторной структурой для белого населения, или о том, что структура одного общества эквивалентна структуре другого. Также возможно определить, что некоторые аспекты факторных структур совпадают, а другие для разных групп различны.
Существует компьютерная программа СОГАММ (Сопйгта1огу Гас1ог Апа!уэ1з тт11п Моде1 Мой)1)са((оп), разработанная Иореско и Сербомом. Эта программа позволяет обращаться с весьма общими гипотезами. Например, она допускает всевозможные вариации при проверке факторной гипотезы для отдельной группы— некоторые величины могут фиксироваться или варьироваться, либо задаваться ограничениями типа совпадения одних величин с другими. В дополнение к использованию «ограничений» на величины любая часть величин, относящихся к структуре одной группы, может быть задана совпадающей с соответствующими величинами для другой группы. В качестве примера рассмотрим сравнение структур политических отношений белого и чернокожего населения.
Специальные гипотезы могут иметь следующий вид: 1) существуют два косоугольных фактора для белого и чернокожего населения; 2) переменные Х4 (финансирование образования), Хх (выделение средств на уменьшение безработицы) и Ха (контролирование большого бизнеса) имеют одинаковые нагрузки от одних и тех же факторов для белого и чернокожего населения; Х, (программы занятости) и Хк (квоты на профессии) имеют нагрузки от разных факторов для обеих рас; 3) однако переменная Хе (программа борьбы с кризисами) имеет различные нагрузки для этих двух групп. В этом случае можно задать входные величины для белого населения так же, как в одногрупповом анализе, а величины для чернокожего населения (за исключением переменной, Ха) определить в виде ограничения — равенства соответствующим величинам для белой расы. Многочисленные примеры применения конфирматорного факторного анализа можно найти в работе Иореско (Лбгез1соа, 1976).
7Е ФАКТОРНОЕ ШКАЛИРОВАНИЕ* После изучения результатов факторного анализа можно приступить к оценке факторных шкал. Для этого есть следующие основания. Во-первых, после определения скрытой факторной структуры измеряемых данных для объектов исследователю может понадобиться представить каждый из этих объектов в терминах значений факторов, а не измеряемых переменных. Во-вторых, может появиться необходимость использования одного или более факторов в качестве переменных для дальнейшего анализа Действительно, за исключением психометрической литературы, факторный анализ применялся чаще в качестве средства создания новых факторных переменных (шкал) для других исследований, чем для изучения самой скрытой структуры.
В этом разделе мы рассмотрим следующие методы оценки значений факторов: 1) регрессионные оценки; 2) оценки, основанные на искусственных переменных или критерии наименьших квадратов; 3) метод Бартлетта минимизации дисперсии ошибок и 4) оценки с ортогональными ограничениями. Дополнительно мы обсудим: 5) простой метод суммирования переменных с большими факторными нагрузками и 6) шкалироваиие с помощью главных компонент.
Эти методы будут обсуждаться в связи с некоторыми важными аспектами факторного шкалирования. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ФАКТОРНОГО ШКАЛНРОВАННЯ Для начала рассмотрим модельные данные. Предположим, что мы их получили, воспользовавшись однофакторной моделью. Глав. ной целью факторного шкалирования является определение значений общего фактора ~Р) через наблюдаемые переменные ~Хо...). Как уже говорилось, невозможно точно выразить общин фактор посредством наблюдаемых переменных, поскольку каждая из иих содержит также и характерную компоненту, которую нельзя отделить от всей переменной.
Можно получить лишь оценку значений общих факторов через наблюдаемые переменные, Поэтому шкалирование факторов всегда связано с некоторой неопределенностью. Возьмем однофакторную модель с тремя переменными. Допустим, что все факторныс нагрузки одинаковы (нлн что все коэффициенты корреляции равны). Этот пример показан на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
