Общие понятия теории вероятностей (1185331)
Текст из файла
ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.Вероятностное пространство – это тройка (Ω, A, P) , гдеΩ -пространство элементарных исходов, конечное или бесконечное, которое описываетвсе возможные исходы эксперимента;A – σ -алгебра событий, событие есть подмножество Ω , σ -алгебра – это класс, такой что1. Ω ∈ A 2. a ∈ A ⇒ a ∈ A 3.для любой счётной последовательности a n : ∪ a n ∈ AnP – вероятность – мера, являющаяся неотрицательной, нормированной 1 и σ -аддитивнойP( A ∩ B)Условной вероятностью A при условии B называется P ( A | B) =, P( B) ≠ 0P( B)События A и B называются независимыми, если P ( A ∩ B) = P( A) ∗ P( B)ФормулаполнойвероятностиP ( A) = ∑ ( P( H k ) ∗ P( A | H k )) позволяетнайтиkвероятность события, разбив его на части некоторой группой событий (гипотез).Требуется, чтобы все гипотезы были несовместными (не пересекались) и в суммепокрывали полностью событие А.P( H k ) P( A | H k )Формула Байеса P ( H k | A) =позволяет узнать вероятность гипотезы a∑ P( H i ) P( A | H i )iposteriori.ЧАСТЬ II.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.Случайная величина – измеримая функция ξ : Ω → R , причём на R задана σ -алгебра, иполный прообраз любого элемента этой σ -алгебры есть событие. Как правило, берётсяборелевская σ -алгебра, то есть σ -алгебра, порождённая всеми открытыми интервалами.Случайныевеличиныξиηназываютсянезависимыми,если∀Δ 1 , Δ 2 P (ξ ∈ Δ 1 ,η ∈ Δ 2 ) = P (ξ ∈ Δ 1 ) ∗ P (η ∈ Δ 2 )Распределение (з-н распределения) вероятностей значений с. в. – правило, покоторому для любого Борелевского множества ставится в соответствие вероятность, тоесть функция B->R такая, что ∀Δ ∈ B : P(Δ) = P(ω : ξ (ω ) ∈ Δ) Чаще всего пользуютсяфункцией распределения: Fξ ( y ) , что Fξ ( y ) = P(ξ ≤ y ) .
Свойства Fξ ( y ) : она не убывает,односторонне непрерывна, lim F ( x) = 0; lim F ( x) = 1x → −∞x →∞Случайная величина Fξ (x) называется дискретной, если существует не более чем счётноемножество X такое, что P(X)=1. Дискретная случайная величина имеет не более чемсчётное число точек роста.Случайная величина Fξ (x) называется непрерывной, если существует неотрицательнаяxфункция pξ (t ) такая, что Fξ ( x) =∫ pξ (t )dt .−∞распределения.1Функция pξ (t ) называется плотностьюХарактеристическая функция (преобразование Фурье): f ξ (t ) = Me itξОсновное свойство характеристической функции: f ξ +η (t ) = f ξ (t ) ∗ fη (t )Производящая функция:g ξ ( z ) = Mz ξ (для дискретных целочисленных случайныхвеличин)Преобразование Лапласа – Стилтьеса: ϕ ( s ) = Me − sξ (для неотрицательных случайныхвеличин)Математическое ожидание – показатель центра распределения – M ξ = ∫ ξ (ω ) P (dω )ΩМатематическое ожидание для дискретной случайной величины –+∞∑xk =1непрерывной – Mξ =k∗ p k , для+∞∫ x ∗ pξ ( x)dx .Если ряд или интеграл не сходятся абсолютно, то−∞говорят, что математического ожидания не существует.Мода – наиболее часто встречающееся значение случайной величины, медиана – такая11точка M, что P (ξ ≤ M ) ≥ ∪ P (ξ ≥ M ) ≥22Дисперсия с.
в. – D[ξ ] = Var[ξ ] = M [(ξ − M [ξ ]) 2 ] - показатель разброса значений вокругцентра. Среднеквадратичное отклонение – σ = DξОсновные свойства мат. ожидания и дисперсии:M (aξ + bη ) = aMξ + bMηM (ξη ) = Mξ ∗ Mη , если ξ и η независимыD (aξ + bη ) = a 2 Dξ + b 2 Dη , если ξ и η независимыDξ = Mξ 2 + ( Mξ ) 2k-м моментом случайной величины называется Mξ k , k-м центральным моментом –M (ξ − Mξ ) kВиды сходимости случайных величин.• Сходимость почти наверное: ξ n ⎯почти⎯ ⎯наверное⎯⎯→ ξ ⇔ P(ω : ξ n (ω ) → ξ ) = 1•pСходимость по вероятности: ξ n ⎯⎯→ξ ⇔ ∀ε : lim P (| ξ n − ξ |> ε ) = 0•Сходимость в среднем порядка l: ξ n ⎯⎯→ ξ ⇔ lim M | ξ n − ξ |l = 0•Сходимостьn→∞ln →∞поξn ⎯⎯→ ξ ⇔ Fξ ( x) → Fξ ( x)распределению:dnпоточечно,иFξ (x) непрерывна для ∀x•wСлабая сходимость: ξ n ⎯⎯→ξ ⇔ lim Mϕ (ξ n ) = Mϕ (ξ ) ∀ϕ ( x) - непрерывной иn →∞ограниченнойВзаимосвязь между видами сходимости:Почти наверноеСлабаяПо вероятностиВ среднем порядка lПо распределению2Предельные теоремы:• Закон больших чиселСмысл: среднее арифметическое большого количества одинаково распределённыхслучайных величин перестаёт быть случайной и стремится к постоянной.nФормулировка:••∑ξk =1P⎯⎯→Mξn →∞nЗамечание: требуя существование и/или ограниченность дисперсии (а такженакладывая на нее некие ограничения), можно доказать, что имеет местосходимость почти наверное (усиленный закон больших чисел).Центральная предельная теоремаСмысл: Сумма независимых одинаково распределенных случайных величин ведетсебя приблизительно как нормально распределенная случайная величина.n⎛ n⎞⎜ ξ −M ξ⎟x t2∑∑kk⎜ k =1⎟ d1k =1< x⎟ ⎯⎯→Формулировка: P⎜∫−∞e 2 dt ≅ N (0,1)nn →∞π2⎜⎟D∑ ξ k⎜⎟k=1⎝⎠Теорема ПуассонаСмысл: Если число испытаний Бернулли очень велико, а вероятность успеха оченьмала, причем так, что np → 1 , то такая случайная величина имеет распределение,близкое к распределению Пуассона.Формулировка:n∑ξk =1•kkd≅ B( p) ⎯⎯→Pois (λ )n → +∞np → λНеравенство ЧебышеваСмысл: неравенство Чебышева дает оценку для отклонения случайной величины отее центра.DξФормулировка: P (| ξ − Mξ |≥ ε ) ≤ 2εЧАСТЬ III.
ПРИМЕРЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.Дискретные случайные величины.1. Распределение Бернулли B(p)Смысл: описывает одиночный эксперимент, результатом которого может бытьуспех либо неудача.0 1; Mξ = p; Dξ = q; g ξ ( z ) = q + pzРаспределение, свойства:q p2. Биномиальное распределение Bi(n,p)Смысл: описывает серию последовательных одинаковых испытаний БернуллиkРаспределение, свойства: k k n − k ; Mξ = np; Dξ = npq; g ξ ( z ) = (1 + p ( z − 1)) nCn p q3.
Геометрическое распределение G(p)Смысл: описывает число успехов до первой неудачи (либо наоборот; этислучайные величины отличаются на 1)3kpp1− p(k = 0,1,2,...); Mξ = ; Dξ = 2 ; g ξ ( z ) =kq∗ pq1 − pzqПримечание: Непрерывный аналог геометрического распределения –экспоненциальное4. Равномерное распределениеСмысл: является моделью для экспериментов, в которых все исходы равноправныkn +1n2 −11Распределение, свойства:(k = 1..n); Mξ =; Dξ =212n5. Распределение ПуассонаСмысл: описывает число событий, произошедших за единицу времени впуассоновском потоке.kРаспределение, свойства: −λ λk ; Mξ = Dξ = λ ; g ξ ( z ) = e λ ( z −1)ek!Примечание: в силу теоремы Пуассона пуассоновское распределение связано сбиномиальным.Распределение, свойства:Непрерывные случайные величины.1.
Равномерное распределениеСмысл: выбор случайной точки на отрезкеb1(b − a) 2Распределение, свойства: pξ ( x) ≡(a < x < b); Mξ = a + ; Dξ =12b−a22. Экспоненциальное распределениеСмысл: описывает время между появлениями двух событий в потоке.11λРаспределение, свойства: exp(λ ) = 1 − e λx ; Mξ = ; Dξ = 2 ; ϕ ( s ) =λ+sλλПримечание: экспоненциальное распределение является непрерывныманалогом геометрического.3.
Нормальное распределениеСмысл: описывает попадание в цель; является предельным распределениемсумм случайных величинРаспределение, свойства:N ( a, σ ) =2x12πσ2∫e− (t −a )22σ 2dt ; Mξ = a; Dξ = σ ; f ξ (t ) = e2−∞4ita −σ 2t 22.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
