Лекция 12 (1185277)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МАТЕМАТИЧЕСКИЕОСНОВЫ ТЕОРИИПРОГНОЗИРОВАНИЯЛекторСенько Олег ВалентиновичЛекция 12Виды задач прогнозированияРанее нами рассматривались разнообразные средства решениязадачи распознавания и задачи прогнозирования непрерывныхпеременных (регрессионного анализа). Однако в различныхприкладных исследованиях и практической деятельностивстречаются задачи, которые не могут быть адекватно решенытолько лишь с помощью данных средств. К числу таких задачследует отнести задачу анализа выживаемости в медицине ибиологии или задачу анализа надёжности в технике.Задачи анализа выживаемости илинадёжностиЦелью таких задач является восстановление вероятности того, чтоожидаемое критическое событие с исследуемым объектомпроизойдёт не ранее произвольного момента времени.

Такимкритическим событием может быть отказ изделия в технике,гибель испытуемого организма в биологии или смерть пациентав медицине.Таким образом целью анализа является вычисление функции(кривой) выживаемостиS (t )  Pr{T  t}, где T - времянаступления критического события, Pr -вероятность.Задачи анализа выживаемости илинадёжностиСледует отметить, что в большинстве практических исследованияхважно не только вычислить кривую выживаемости, но и оценитьвлияние на неё переменных, характеризующих исследуемыеобъекты.

Такими переменными могут быть, например, возрастпациента и различные клинические показатели вбиомедицинских исследованиях, или параметры,характеризующие условия изготовления изделия, в задачаханализа надёжности.Задачи анализа выживаемости илинадёжностиЗадача расчёта кривых выживаемости и оценки влияния на нихразличных переменных может быть решена с помощью методовмоделирования по эмпирическим данным.Методы анализа выживаемости по эмпирическим данным тесносвязаны с цензурированностью информации.

Наблюдение встатистике считается цензурированным, если известно неточное значение наблюдаемой величины, а только интервал,которому оно принадлежит. Данный интервал может быть какконечным, так и бесконечным (ограниченным с одной стороны).Задачи анализа выживаемости илинадёжностиВ данных, связанных с анализом выживаемости или надёжностинередко цензурированной оказывается информация онаступлении критического события. Например, в анализируемойвыборке может содержаться информация не только об объектах,для которых критическое событие уже наступило, и момент этогособытия был точно зафиксирован, но также и об объектах, длякоторых критическое событие на момент последнегонаблюдения не произошло.Задачи анализа выживаемости илинадёжностиВыборки данных в задачах анализа выживаемости обычно имеютвид S  {s1  (1, t1, x1 ),, sm  ( m , tm , xm )} , где ti -время, прошедшее от начального момента (например, моментизготовления изделия) до момента последнего наблюденияза объектом,  - индикатор, равный 1 , если в момент ti дляiобъекта siбыло зафиксировано критическое событие, иравный 0 , если в момент ti критическое событие ненаступило, x i - вектор переменных X1,, X n , которыепотенциально могут оказывать влияние на форму кривойвыживаемости, i  1, , m .Задачи анализа выживаемости илинадёжностиРассмотрим методы восстановления кривых выживаемости приигнорировании влияния на их форму переменныхX1,, XnОдним из наиболее популярных методов восстановления кривыхвыживаемости в этих случаях является процедура КапланМайера, учитывающая существование цензурированныхнаблюдений.

При отсутствии таких наблюдений процедураКаплан-Майера эквивалентна вычислению обычныхэмпирических наблюдений.Задачи анализа выживаемости илинадёжностиПредположим, что наблюдения в некоторой выборке S фиксировались в моментыt1 ,, t N . Пустьni - число объектов,для которых критический момент не наступил до моментавремени ti , d i число критических событий в момент ti .Оценка значения кривой выживаемости мо методу Каплан-Майера на полуинтервале (ti , ti 1 ] вычисляется по формуле.inj  d jj 1njS (t )  Задачи анализа выживаемости илинадёжности На рисунке представлены примерыоценок кривых вы-живаемости по методуМайераКапландля двухгрупп пациентов сдвумя вариантамигенотипа.Задачи анализа выживаемости илинадёжностиВ настоящее время существует целый ряд методов оценки влиянияпеременных X1,, X n на форму кривой выживаемости.Одной из популярных моделей до сих пор является модельКокса, основанная на концепции мгновенного риска.Мгновенный риск в момент t определяется как пределPr(T  (t  t ) | T  t )f (t ) (t )  limt 0tS (t )Задачи анализа выживаемости илинадёжностиf (t ) - плотность вероятности наступления критического событияdF (t )tв точке : f (t ) , где F (t )  1  S (t )dtТо естьdS (t ) Откуда ln S (t )  (t ) или (t )dt S (t )S (t )  exp[(t )] , гдеt(t )    (t )dt , t0 - моментt0начального отсчёта, который может быть принят равным 0.Задачи анализа выживаемости илинадёжностиВ случае если форма кривой выживаемости зависит отпеременныхфункциейX1,X1,, X n , мгновенный риск также оказывается, XnВ основе модели Кокса (модели пропорциональных рисков) лежитпредположение о возможности представления мгновенногориска для произвольного объекта s с описанием x  ( x* , , x* )**1n*в виде произведения  (t | x )   (t )exp(  x* x*01 1n n), где 0 (t ) - базовая компонента, зависящая только от времени.Задачи анализа выживаемости илинадёжностиtПусть S0 (t )  exp[0 (t )] , где  (t )   (t ) dt .

Откуда0 0t0следует, что S (t )  S (t )exp( 1x1* 0Для поиска параметров ( 1 , n xn* ),  n ) используется методмаксимального правдоподобия. Предположим, что длянастройки модели пропорциональных рисков используетсяобучающая выборкаSt  {s1  (1 , t1 , x1 ),, sm  ( m , tm , xm )}Задачи анализа выживаемости илинадёжностиПредположим, что критическое событие для объекта si произошло в момент времени ti . Вероятность того, что среди всехобъектов, для которых критическое событие до момента ti ненаступало, это событие в момент ti произошло именно с siоценим с помощью отношения (ti | xi )0 (ti ) exp( 1 xi1    n xin )  (ti | x j )  0 (ti ) exp( 1x j1    n x jn )t j tit j tiexp( 1 xi1  exp(  xt j ti1j1  n xin )  n x jn )Задачи анализа выживаемости илинадёжностиФункционал правдоподобия записывается в видеim  exp( 1 xi1    n xin )  .L( 1 , ,  n )   i 1 exp( 1 x j1    n x jn )  t j tiВ модели используются значения ( 1 , ,  n ) , при которыхдостигает максимумаL( 1 ,, n ) .Задачи анализа выживаемости илинадёжностиНаряду со значением параметров (  , ,  ) неизвестным1nпараметром модели пропорциональных рисков является формабазовой функции выживаемости S0 (t ) .

Одним из возможныхпоходов является аппроксимация произвольного моментавремени ti , для которого имело место критическое событие,отношения S (ti | 1 , ,  n , xi ) величинойS (ti 1 | 1 , ,  n , xi )1exp( 1 xi1  exp( xt j tiгде ti 1 - предыдущий момент.1j1  n xin )  n x jn ),(1)Задачи анализа выживаемости илинадёжностиПредполагается, что параметры ( 1 ,,  n ) уже найдены спомощью метода максимального правдоподобия.Очевидно, чтоexp{ 1xi 1  S0 (ti ) S (ti | 1 , ,  n , xi )S (ti 1 | 1 , ,  n , xi )  S0 (ti 1 ) S0 (ti )Обозначимчерез  iS0 (ti 1 )  n xin }(2)Задачи анализа выживаемости илинадёжностиИз (1) и (2) следует , что i  1 {exp( 1 xi 1 exp( 1 xi1    n xin ) exp( 1 x j1    n x jn ) t j ti  n xin )}1Оценка базовой функции выживаемости на полуинтервале (ti , ti 1 ]iвычисляется по формулеS0 (t )    jj 1Временные рядыПод временным рядом понимается множество значений некоторой переменной, измеренных в моменты времени,разделённые одинаковыми интервалами., Z (ti 1 ), Z (ti ), Z (ti 1 ),Временной ряд считается многомерным, если в каждый моментвремени измеряются значения нескольких переменных, Z1 (ti 1 ), Z1 (ti ), Z1 (ti 1 ),, Z k (ti 1 ), Z k (ti ), Z k (ti 1 ),Временные рядыОсновной задачей анализа временных рядов является поискалгоритма, позволяющего предсказывать значения переменнойZ или значения переменных из некоторогоподмножества{Z1 ,, Z k } в ещё не наступившие моментывремени.

Дополнительными задачами анализ временных рядовявляется поиск существующих эмпирических закономерностей,включая поиск циклических изменений переменных.Прогнозирование временного ряда производится с помощьюалгоритма, обученного по доступному в результате наблюденийучастку временного ряда достаточной длины.Временные рядыОдним из способов прогнозирования временных рядов являетсяиспользование одномерной регрессионной функцииf (t ) ,зависящей от времени.

В тех случаях, когда прогностическаяf (t ) является статистически достоверной, аспособностьфункцияf (t ) является линейной, говорят о наличии вовременном ряду тренда.Значения переменной Z в различных точках временного ряда, Z (ti 1 ), Z (ti ), Z (ti 1 ),могут рассматриваться как реализации случайных функций., zi 1, zi , zi 1,Временные рядыПроцесс, отображаемый временным рядом, называетсястационарным, если совместное распределение вероятностидля произвольных r случайных величинzi 1 , zi 2 ,, zi rСовпадает с совместным распределением r случайных величинzi 1l , zi 2l ,, zi r l при произвольном целом l .

Очевидно,что процесс является стационарным, если переменные, zi 1, zi , zi 1,являются независимыми и одинаковораспределёнными.Временные рядыПредположим, что функция f (t ) полностью характеризуетпроцесс. Это означает, что,  i 1,  i ,  i 1,Z (ti )  f (ti )   i , где- независимые и одинаковораспределённые ошибки. Тогда случайный процесс,отображаемый временным рядом,,[ Z (ti 1 )  f (ti 1 )],[Z (ti )  f (ti )],[Z (ti 1 )  f (ti 1 )],оказывается стационарным.Временные рядыДругим способом прогнозирования временного ряда впроизвольной точке ti является использование алгоритма A ,вычисляющего оценку переменной Z по наборупредшествующих значенийТо естьZˆ (ti )  A[ Z (ti  j1 ),натуральные числа-[ Z (ti  j1 ),, Z (ti  jn )] , где ( j1 ,, Z (ti  jn )], jn ) -Временные рядыПростейшим примером такого рода прогнозирования являетсяметод скользящего среднего, вычисляющего оценку Z в видеZˆ (ti ) n1n Z (tj 1i j)А также метод взвешенного скользящего среднегоZˆ (ti ) nгдеcj 1j 1, c j  0,n1n c Z (tj 1jj  1,i j,n) ,Временные рядыНетрудно видеть, что прогностическая способность методаскользящего связана с относительным постоянствоматематического ожидания случайных величинzi n ,., ziМетод скользящего среднего используется для “сглаживания”временных рядов, фильтрации высокочастотной шумовойсоставляющей.В общем случае для обучения алгоритма A могут бытьиспользованы всевозможные методы регрессионного анализа ираспознавания, если переменная Z категориальная.Временные рядыПри этом обучение может производится по таблице, составленныйиз элементов, принадлежащих известному участку временногоряда.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций