Гришанин Б.А., Драбович К.Н., Макаров В.А. Задачи по курсу «Статистическая физика» для студентов механико-математического факультета (1185117)
Текст из файла
московский гос. ЛАрственный университет ° . м.в. ломоносов~ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра обшей фпзпкп и волновых пропвсспв ЗАЛА'Чи по курсу "Статистическая физика" для студентов механико-математического факультета (отделение механики) Госгпаеитеяи: В.А. Грпшаннн, К.Н. Лрабовнч, В.А. Макаров Отеетстеенньгй редаыгпор — В.В.
Розанов Редактор-оператор ЭВМ вЂ” С.Н. Волков Отпечатано в ООП физического факультета МГУ. Заказ Л'ь 9 Псаллсаыо в печать августа 1993 г. Тираж 900 Решенпе задач, включенных в настояшее пзданпе, предназначено для закрепленпя и расшаренпя ыатерлала. пзучаеыого в курсе "Статлстпчесг ая фпзггка'. Преллагаеыый перечень представляет необходмый базовьш згпнтгузг, входяпшй в экзазгеналпонные бплеты.
Решенпе большпнства залач студенты когут найтп в разтпчных учебных дзданпях по статпстдческой фпзпке. 1. Вывестп уравнение алпабатпческого пропесса для идеального газа с фпкспрованньш числом частил Х в переменньсс (р, » = У/йв); ср и с„— улельные (в расчете на одну частицу) теплоемкостп. ОТВЕТ: ро' = сопзс,; = ср/с. 2. Нэлтл самьш обшпй влд уравнения состояния р = р(У, Т) ц кэлорпческого уравнения П = 0(У,Т) для газа с постоянныэш теплоемкостяэш Ср, С». Здесь р, У, Т, П вЂ” давление, объем, теэшература л внутренняя энергця газа; Ср п С» — теплоемкостп прп постоянном давлении и прп постоянном объеме.
ОТВЕТ: р =$~Ср — С»)/(У вЂ” В), П = С»Т, где  — произвольная кон- станта. УКАЗАНИЕ: использовать тождества, следуюпше пз а) второго начала, б) постоянства Ср, С». 3. Найти удельные (в расчете на одну частппу) изменения значешй вну- тренней энергии Ья и энтропии Ья црн равновесном переходе системы нз одного состояния в другое длю 1) идеального газа: с, = совая, р» = йвТ, 2) газа Ван-дер-Ваальса: с, = сова~, (р+ а/и~)(е — 6) = свТ. ОТВЕТ: 1) Ья = с,(Тз — Тз), Ья = с,Ы(Тэ/Т~) + йв)п(оз/оз); 2) Ья = с(Тэ — Т~) — а(тл — оз)/(о~»э), Ья = с,1л(Тз/Т~) + йв)п((ез — 6)/(»з — 6)). 4. Найти хпьшческий потенциал р идеального гада и газа Ван-дер- В вальса. ОТВЕТ: р„я рв + с,Т(1 — 1пТ) — йвТ)ло + рз, л~, = ре — а/о + с,Т(1 — 1пТ) — йвТ)п(» — 6) + рз, рзд — константы.
5. Получить выражение, связывающее внутреннюю энергию Г системы с постоянныы числом частил со статпстпчесюпя интегралом Я. ОТВЕТ: П = йвT (д1пЯ/дT)ю б. Получпть выраженпе, связывающее энтроппю 5 спстемы с постоянным чпслом частпп со статпстпческпм пнтегрелом У. ОТВЕТ: Я = 1,фо(Т) Ы)/ат),. а Показать, что ппсперспя энергпп лля канонпческого распрелеленпя Гпббса определяется соотношенпем 'зЕс = (Š— 2")з = йаТ~Сю 8. Вычлслпть срепвее значенпе велпчпн р;(дН~дрз) и д;(дгз/дд ), тле Гл п д; — обобщенные пмпульс п коорлпната класспческой спстемы, нахоля- шейся в термостате. отзкт: щн7вл=р[ы18р;)=~' ть . 9.
Найтп среднее значенпе потенппальной энергйп класспческого гармо- нпческого осппллятора. ОТВЕТ: Г = йьТ/2. 10. Опенлть теплоемкость Сг классического плеального газа, состояше- го лз: а) пвухатомных молекул; б) трехатомных лпнейнься молекул; в) трсхатомных нелпнейных молекул. Колебанпя атомов в молекулах счп- тать гармонпческшш. ОТВЕТ: а) С~ = 7!Чйь/2; б) Сг = 13Жйв/2; в) Сг = байя 11.
Найти среднюю потенпнэльную знергпю частнпы, пвнжушейся во внешнем поле с потеншяалом у(г) = ага" (п — натуральное число). ОТВЕТ: У = йвТ/(2и). 12. Опенпть теплоемкость тверлого тела. сопержашего Л' Л~ 1 атомов. Пвпженпе атомов с штать класспческпм. ОТВЕТ: Сг = ЗФйв (закон Пюлонга п Птп). 13. Рассчптать первые, пропорппональные теьшературе, поправки к удельной (в расчете на окну частппу) теплоемкостп плеального двух- атомного газа, связанные с учетом малых ангармонпческпх членов в потешшале связи атомов в молекуле П(я) = лез +,Зх + ут", а > О, !3 > О. Момент лнерппл молекулы считать постоянньп!. ОТВЕТ: с„= зйв+ ('з 9~/а~ — ~~-~/аз)ЯТ. 14. В объеме У содержится Х олпнаковых атомов плеального газа при температуре Т.
Вычислить статпстпчесьзш интеграл системы. ОТВЕТ: В ж (2ттйвТ)зо!2Уе 15. Вычислить внутреннюю энергнзо П и лавленне р плеэльного газа. ОТВЕТ: П = 3!МАТ/2; р = ИйвТ/У. 16. Выполнить расчет внутренней энергвп П н давления р идеального газа путем усреднения гаьшльтонпана Н п случайной силы ЬГ, действующей на малую плошадку Ьо сосуда (р = с!г'/Ьо). 17.
Вычислить энтрошпо и свободную энергшо идеального газа, состояшего пз Я частил массы лз, заи!пнаюшего объем У и находяшегося прн температуре Т. ОТВЕТ: 5 = ~Мйв(/+ 5/2), Р Ж/йвТ(1+ /), тле /(У/М, лз, Т) = 1п ((У/)У)(2тлйвТ)~!~/(2хЬ)~) . 18 Найти изменение энтропии при смешении двух масс олноатомных газов, первоначально занимавших объемы У! и Уз при теьшературах Т! и Тъ Массы газов оз! и лз!. Молярная масса газа р. После смешения объем газа У!+ Уъ ОТВЕТ: Ьо = (~вИд/р)Е1 !оз!)п[р!Те!~/(р7"; )~, Т = (оз!Т! + оззТз)/(тй! + тлз), Ф0 — число Лвогалро, 1, ~А !!1ъчЧй~ р (оз! + газ) МБИТ/ (И(У! + Уз)] - зь'!! з 3 19'.
Илеальный газ находптся в равновеспл в пплпндре высотой Ь п с радпусом основанпя Н. Нплпндр вращается вокруг своей осп с угловой скоростью оа Общее чпсло атомов Л'. температура Т. Найтп давлевпе газа на боковую поверхностышлпндра. ОТВЕТ: р = ЖггиРНЯд/(2И(д — 1)), где д = ехр(та~В~/2йвТ). 20. Л молекул пдеального газа находятся в сосуде, пыеющем внд опроющутого вершпной внпз конуса, образующая которого наклонена к вер- тпкальной осп под углом сс Определпть плотность газа вблпзп его верпшны. Гэз нэходптся в поле сп;ты тяжестп. Масса молекулы — т.
ОТВЕТ: л = Мтлд)з/ (2ясд~а(йвТ) ) . 21. Идеальный гэз, состояплщ дз Х зюлекул, обладаюплкс электрпчесютм дппольным моментом Н, помещен в постоянное электрическое поле с напряженностью Е. Вычпслпть велпчпну вектора электрдческой полярпзаппп Р =,У/У ) < Л > . УКЛЗАНИЕ: учесть, что потенппальная энергпя электрлческого дпполя равна Шд) = -еЕсозд, д — угол между веьторамл Ы п Е. ОТВЕТ: 'Р = (Х/Ъ')Н(двба — 1/а), а = йЕ/ЬвТ. ~~ма 22. Вычпсллть энтроппю пдеального газа шшольных молекул (см. предыдущую задачу) как фунюппо напряженностд приложенного электрдческого поля Е.
ОТВЕТ: Б(Е) = 1дйв [Ы(з)за/а) — араба+ сопке), а = с1Е/ЬвТ. стч 23. Идеальный класспчесьззй газ, состоящпй пз Ф частлп массы оз ка- ждая, находится в пнлпндре (высота Ь, объем У) в поле силы тяжестл д (ооразующая шшнндра вертпкальна). Определпть вю-реннюю энергшо газа и распределение давленняпо высоте.
ОТВЕТ:;- = ГйвТ (5/2 — а/(е+* — 1)), Р(=) = Уезда/(1'(1 — е ')) ехр(-тдх/йвТ), где а = тджх/йвТ. 24, Исходя пз расиределенпя Максвелла /(Р), нанти /(Р. ) /(Ф):/(я) (я — Рз/2,„) ОТВЕТ: /(р„) = (дктйвТ) '~дахр(-Р„/дглйвТ); ЯР)) = 4хр /(Р); /(г) = 2г(хтйвТ) ~~~ехр(-г/йвТ)Л. 25. Определить наивероятнейпше значения Р„, ф п ОТВЕТ: (Р„)„э = 0; (~Р))„~ = (2тйвТ)~~~; (к)„, = йвТ/2. 26. Рассчитать средние значения р~,р„,р,р,я я,Р ~рх~. ОТВЕТ; р„= О, р~ = тйвТ, Р = (8йвТт!г)'~, Р = ЗлзйвТ, Г = Зйв7/2 У вЂ” 15(йвТ) /4 (Р) = 0 !Рт! = (2йвТго/и)'~ . 27.
Найтл среднеквадратичное отклонение (дисперсию) энергии, пргсходяшейся на один атом идеального газа. ОТВЕТ: (ез — зз)'~з = /б йвТ/2. 28. Найти нормированное распределенде /(Е) по полной кинетической энергии Е кдасспческого газа, состоящего нз Ф частил, и с его помощью расчитать наивероятнейшее Е„, п среднее У значения энергии, а также дисперсию. ОТВЕТ: /(Е) = Е1зо зУ зехр(-Е/'явТ)/ [(йвТ)зн~зГ(ЗФ/2)]; Е„, = (ЗМ/2 — 1)йвТ; Е = ЗМ5вТ/2; (Ез — У )'~~ = ~/ЪЩ2 йвТ. 29. Рассчитать прп больших Р/ асиьштотический вид распределения /(Е) для суммарной ьлнетпческой энергии Е классического газа дз Ф частдп (см.
задачу 26). Сравнить с юшом распределения /е(Е), предсказывае- мым иентрельной предельной теоремой теории вероятностей. 30. Найти распредеденпе по 1тлам частпп максвелдовского газа, вылета- юпшс в вакуум пз небольшого (пдошадп 5) отверстия в стенке сосуда в едднппу времен~. ОТВЕТ: /(и, д, д) = Би~создэт8(т/2кйвТ)~~~ехр( — те~/2йвТ). 31. Найт~ полное число частвш ЬЛ' максвелповского газа, вылетаюпшх дз малого отверстпя пдошалп 5 за время .'зй ОТВЕТ: ЬЛ' = пБЬг(1вТ)цз/(2ктт)пз и = Л/К 32.
Вычпс:шть среднее значенде модудя относительной скоростп двух частпп кпасспческого идеального газа. ОТВЕТ: )и~ — ез( = 4(йвТ/ягп) ~~ = /2ж 3 .. зз. остояшпй пз Ч молекул, потенапал взаимодействия которых равен (/(дм ..., азу), помешен в сосуд с объемом К Показать. что в этом случае справедппво соотношение: рГ = !Ч1вТ вЂ” -' Е~'~, До'с7Р~~. Здесь д; — декартовы координаты положения частпп. УКАЗАНИЕ: восдользоваться результатамп задачи 8 д учесть, что дН/дд; = дУ/дд; — Гь где Г; — компонента силы, действуюшая со стороны стензш на молекулу в направлешш оь 34.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
