Лекции по линейной алгебре (Бободжанов) (1184638), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

( произвольные векторы из пространства ).

Любое евклидово пространство является одновременно и метрическим пространством с метрикой (проверьте выполнение свойств 4-6). Заметим, что число называется длиной (или нормой) вектора Так что в евклидовом пространстве

В любом евклидовом пространстве имеет место неравенство Коши-Буняковского:

Отсюда следует, что имеет смысл называемое косинусом угла между векторами и

Теорема 1. В любом евклидовом пространстве размерности существует ортонормированный базис . Координаты вектора в этом базисе имеют вид

Доказательство первой части этой теоремы проводить не будем. Перейдем ко второй части. Имеем . Умножая скалярно это равенство на будем иметь

Теорема доказана.

Введем следующее важное понятие.

Определение 5. Оператор действующий в унитарном (в частности, в евклидовом) пространстве называется сопряженным к оператору если для всех

имеет место равенство Обозначение:

Теорема 2. В любом ортонормированном базисе унитарного пространства матрица оператора является сопряженной по отношению к матрице оператора т.е. если матрица оператора то матрицей оператора будет матрица

И, наконец, заметим, что квадратная матрица называется симметрической, т.е. Нетрудно показать, что все собственные значения симметрической матрицы действительны; при этом и отвечающие им собственные векторы также можно выбрать действительными.

2. Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования

Матрица ( -й столбец) называется ортогональной, если ее столбцы образуют ортонормированную систему, т.е.

Например, матрица является ортогональной.

Теорема 3. Для того чтобы матрица была ортогональной, необходимо и достаточно, чтобы

Следствие 1. Ортогональная матрица обладает следующими свойствами:

1) 2) матрицы ортогональные. Произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной матрицей.

Определение 6. Линейное преобразование (оператор) называется ортогональным, если в некотором ортонормированном базисе пространства его матрица является ортогональной.

Теорема 3. Имеют место следующие свойства ортогональных преобразований:

1. Преобразование ортогонально тогда и только тогда, когда оно ортонормированный базис переводит в ортонормированный.

2. Ортогональное преобразование не изменяет скалярного преобразования, т.е.

3. При ортогональном преобразовании не изменяется длина (норма) вектора, а так же угол между векторами, т.е.

4. Произведение двух ортогональных преобразований есть ортогональное преобразование.

2. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Квадратичной формой действительных переменных называется выражение вида

где числа (коэффициенты квадратичной формы). При этом матрица называется матрицей квадратичной формы (заметим, что она является симметрической: Используя эту матрицу, можно записать квадратичную форму кратко так: где вектор-столбец. Определитель матрицы и её ранг называются соответственно определителем и рангом квадратичной формы.

Посмотрим, как преобразуется квадратичная форма при линейном преобразовании. Пусть дана квадратичная форма . Сделаем в ней преобразование будем иметь

Если матрица является невырожденной, то матрицы и называются конгруэнтыми. Так же называются и соответствующие квадратичные квадратичные формы. Нетрудно показать, что определители конгруэнтных матриц имеют одинаковые знаки, а сами конгруэнтные матрицы имеют одинаковые ранги.

Теорема 4. Любую действительную квадратичную форму ортогональным линейным преобразованием можно привести к каноническому виду

При этом собственные значения матрицы столбцы матрицы являются собственными векторами матрицы соответствующими этим собственным значениям, причем они образуют ортонормированный базис в пространстве

Теорема 5. Любую действительную квадратичную форму можно линейным невырожденным преобразованием привести к нормальному виду⁵

где ранг квадратичной формы. При этом число положительных и число отрицательных

квадратов в (1) не зависит от выбора преобразования (закон инерции квадратичных форм).

Следствие 2. Любая действительная симметрическая матрица ортогонально-подобна диагональной матрице, т.е. где ортогональная матрица, При этом спектр матрицы а столбцы являются собственными векторами матрицы

Заметим, что канонический и нормальный вид квадратичной формы определяются неоднозначно. Однако число положительных и число отрицательных квадратов во всех видах остаются неизменными (закон инерции квадратичных форм).

Пример 1. Привести к каноническому и нормальному виду квадратичную форму

Решение. Квадратичную форму можно записать в виде

Находим собственные значения матрицы

Вычисляем собственные векторы матрицы для чего решаем систему при Получим собственные векторы

образующие базис в Он является ортогональным базисом в но не ортонормированным. Нормируем собственные векторы, поделив их на их длины:

Теперь преобразующая матрица и ее обратная имеют вид

Следовательно, преобразование приводит исходную квадратичную форму к каноническому виду . Сделав еще одно преобразование приведем квадратичную форму к нормальному виду

Дадим еще один способ приведения квадратичной формы к нормальному виду, называемый методом Лагранжа. Продемонстрируем его на том же примере Назовем главной переменной ту, которая входит в квадратичную форму в квадрате и в первой степени.

Это переменная Выделяем по ней полный квадрат:

Делаем замены переменных: Будем иметь Это и есть нормальный вид квадратичной формы. Чтобы найти преобразование приводящее квадратичную форму к нормальной форме, найдем обратную замену переменных:

Следовательно, матрица преобразования к нормальному виду будет такой:

Действительно, .

3. Кривые второго порядка на плоскости

Множество точек на плоскости⁶ удовлетворяющих уравнению

где не обращаются одновременно в нуль, называется кривой второго порядка на плоскости. Старшие члены в (2) образуют действительную квадратичную форму

с матрицей По теореме 4 ортогональным преобразованием (где матрица из ортонормированных собственных векторов матрицы

) ее можно привести к каноническому виду , где собственные значения матрицы При этом преобразовании исходное уравнение (2) приводится к виду

Так как то число является определителем квадратичной формы Проведем классификацию кривых второго порядка (2) в случае В этом случае ( применяя метод выделения полного квадрата) уравнение (4) можно привести к виду Сделав ещё одну замену переменных получим уравнение

если и если

1 Полезно запомнить, что в первый индекс номер строка, а номер столбца, на пересечении которых находится элемент

2 Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, сохраняющее линейные операции между ними, называется линейным изоморфизмом этих множеств.

3 Если оператор линейный, то пишут опуская скобки.

4 В качестве обычно берут множество действительных чисел или множество комплексных чисел

5 Приведение квадратичной формы к виду (1) называют ещё приведением её к главным осям

6 Эту плоскость мы будем обозначать так же, как и множество геометрических векторов, буквой .

12

Характеристики

Список файлов лекций