Лекции по линейной алгебре (Бободжанов) (1184638), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Найти матрицу этого оператора в базисе Вычислить координаты вектора в базисе

Решение. Матрица перехода от старого базиса к новому и обратная к ней матрица имеют вид

поэтому по теореме 2 матрица оператора и новом базисе будет такой:

Далее, вектор имеет следующий координатный столбец в базисе По теореме 1 координатный столбец этого вектора в базисе будет иметь вид

_{Пусть теперь оператор} действует из линейного пространства в другое линейное пространство и пусть в пространстве выбраны два базиса: и а в пространстве – базисы и . Тогда можно составить две матрицы и линейного оператора

и две матрицы и перехода от “старых” базисов к “новым”:

Нетрудно показать, что в этом случае имеет место равенство

2. Ядро и образ линейного оператора

Пусть дан линейный оператор действующий из линейного пространства в линейное пространство Следующие понятия бывают полезными при решении линейных уравнений.

Определение 1. Ядром оператора называется множество

Образом оператора называется множество

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 3. Ядро и образ линейного оператора являются линейными подпространствами пространств и соответственно, причем имеет место равенство

Для вычисления ядра оператора надо записать уравнение в матричной форме (выбрав базисы в пространствах и ) и решить соответствующую алгебраическую систему уравнений. Поясним теперь, как можно вычислить образ оператора .

Пусть матрица оператора в каком-нибудь базисе . Обозначим через -й столбец матрицы Принадлежность вектора образу означает, что существуют числа такие, что вектор столбец представляется в виде т.е. является элементом пространства линейных комбинаций столбцов матрицы Выбрав в этом пространстве базис (например, максимальную совокупность линейно независимых столбцов матрицы ), вычислим сначала образ оператора-матрицы : а затем построим образ оператора :

Пример 2. Найти матрицу, ядро и образ оператора проектирования на плоскость ( трехмерное пространство геометрических векторов).

Решение. Выберем в пространстве какой-нибудь базис (например, стандартный базис ). В этом базисе матрица оператора проектирования находится из равенства Найдем образы базисных векторов. Так как плоскость проходит через ось то

Д алее (см. Р10) И аналогично

Таким образом,

Значит, матрица оператора имеет вид

Ядро оператора-матрицы вычисляем из уравнения

Таким образом,

( произвольная постоянная).

Образ оператора-матрицы натянут на все линейно независимые столбцы матрицы т.е.

поэтому

( произвольные постоянные).

3. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов

Пусть дан линейный оператор ( линейное пространство над числовом полем ⁴ ).

Определение 2. Вектор называется собственным вектором, соответствующим собственному значению , если: а) б) Совокупность всех различных собственных значений оператора называют спектром оператора . Обозначение:

Например, если матрица то вектор является собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному значению так как При этом

Отметим очевидное свойство собственных векторов: если собственный вектор оператора соответствующий собственному значению то тоже собственный вектор оператора соответствующий собственному значению В ряде случаев, выбирая постоянную можно упростить вид собственных векторов.

Свойства собственных векторов.

1) собственные векторы соответствующие различным собственным значениям линейно независимы.

2) все собственные векторы оператора , соответствующие одному и тому же собственному значению , образуют линейное подпространство в (его называют собственным пространством оператора отвечающим собственному значению ).

3) В пространстве любой линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Опишем теперь, как вычисляются собственные векторы и собственные значения. Зафиксируем в пространстве некоторый базис и вычислим матрицу оператора в этом базисе. Тогда операторное уравнение (с учетом того, где ) можно записать в матричном виде

Эта система должна иметь нетривиальное решение поэтому ее определитель должен равняться нулю

Определитель (5) называется характеристическим определителем матрицы (или оператора ). Раскрывая его, получим так называемое характеристическое уравнение , решая которое, найдем собственные значения матрицы ( или оператора ) . Положив в (4) и решив полученную алгебраическую систему уравнений относительно вектора-столбца , найдем все собственные векторы соответствующие собственному значению матрицы Затем по формуле вычислим собственные векторы оператора , соответствующие собственному значению

Зачем нужны собственные векторы? Оказывается они обладают следующим важным свойством.

Теорема 4. Если оператор имеет в поле различных собственных значений , то собственные векторы соответсвующие этим значениям, образуют базис в Матрица оператора в этом базисе будет диагональной:

Замечание 2. Оператор называется диагонализируемым (или оператором простой структуры), если в существует базис, в котором матрица этого оператора диагональна. Из теоремы 4 следует, что оператор , имеющий в в поле различных собственных значений, диагонализируем. Обратное, вообще говоря, не верно: оператор может быть диагонализируемым, не имея различных собственных значений. Например, единичная матрица размерности диагонализируема, но она имеет только одно собственное значение кратности В этом случае матрица имеет базис из собственных векторов, но все они отвечают собственному значению

Докажем теперь следующий важный результат.

Теорема 5. Все подобные квадратные матрицы одной и той же размерности имеют одинаковый спектр.

Доказательство. Пусть матрицы и подобны. Тогда существует невырожденная матрица такая что Поэтому Используя теорему об определителе произведения матриц, отсюда получаем, что

Учитывая, что получаем отсюда равенство которое показывает, что характеристические уравнения матриц и совпадают, поэтому они имею одинаковый спектр. Теорема доказана.

Лекция 7. Евклидовы и метрические пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Существование ортонормированного базиса

В теории квадратичных форм важную роль играют евклидовы пространства и самосопряжённый оператор. Перейдем к описанию этих понятий.

1. Евклидовы и метрические пространства

Пусть линейное пространство над множеством действительных чисел

Определение 1. Пространство называется евклидовым пространством, если в нем для любой пары векторов и определено число называемое скалярным произведением и , удовлетворяющее следующим свойствам:

1. П.О. 2. С. 3. Л.

(здесь произвольные векторы, произвольные числа).

Например, обычное скалярное произведение в геометрическом пространстве трехмерных векторов удовлетворяют свойствам 1-3, поэтому - евклидово пространство. Очевидно, что пространство ( мерных векторов-столбцов) также является евклидовым пространством со скалярным произведением

также является евклидовым пространством. Обычно евклидовы пространства обозначают буквой и мы будем пользоваться этим обозначением.

Если линейное пространство над множеством комплексных чисел и если в нем введено скалярное произведение удовлетворяющее аксиоме 1 и аксиомам

то пространство называется унитарным пространством (здесь черта вверху означает комплексное сопряжение: ). Мы будем рассматривать в основном евклидовы пространства. Однако все приводимые ниже понятия и утверждения почти дословно переносятся и на унитарные пространства.

Определение 2. Два вектора называются ортогональными, если

Имеет место следующее утверждение: любая система попарно ортогональных векторов в линейно независима. Действительно, пусть . Умножая это равенство скалярно на будем иметь

Таким образом, равенство выполняется тогда и только тогда, когда все числа одновременно равны нулю. Это означает, что векторы линейно независимы.

Определение 3. Базис пространства называется ортонормированным, если

Например, базис в пространстве является ортонормированным.

Введем теперь в рассмотрение понятие метрического пространства.

Определение 4. Линейное пространство называется метрическим пространством, если в нем для любых векторов и определено число называемое расстоянием между и (или метрикой в ), обладающее следующими свойствами:

4. П.О. 5. С. 6. Т.

Характеристики

Список файлов лекций