А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Äîêàæå� íåðàâåíñòâ� w ≤ v. Ï� îïðåäåëåíè� w äë� ëþáû� y 1 , ..., y m+1 ∈ Y max min x∈X 1≤j≤m+1 F (x, y j ) ≥ w ⇒ 58 6. Èãð� � âîãíóòî� ôóíêöèå� âûèãðûø�⇒ ∃ x ∈ X : F (x, y j ) ≥ w, j = 1, ..., m + 1. Ââåäå� ìíîæåñòâ� Dy = {x ∈ X | F (x, y) ≥ w}, y ∈ Y, ïðåäñòàâëÿþùè� ñîáî� âûïóêëû� êîìïàêò� � E m . È� ïîñëåäíè� íåðàâåíñò� âûòåêàåò, ÷ò� mT+1Dyj =6 ∅ ïð� ëþáû� y 1 , ..., y m+1 ∈ Y. Ñëåäîâàòåëüíî, âûïîëíåí� óñëîj=1 � âè� òåîðåì� 6.1 � Dy =6 ∅, ò.å. y∈Y ∃ x ∈ \Dy ⇒ F (x, y) ≥ w ∀ y ∈ Y ⇒ min F (x, y) ≥ w.
y∈Y y∈Y Îòñþä� v ≥ w ⇒ v = w. Ïîëîæè� Q = {q ∈ E m+1 | m+1Pqj = 1, qj ≥ 0, j = 1, ..., m + 1}. j=1 Òåîðåì� 6.3. Èãð� Γ � âîãíóòî� ôóíêöèå� âûèãðûø� èìåå� ðåøåíè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ� âèä� (x0 , ψ 0 , v), ãä� x0 − ìàêñèìèííà� ñòðàòåãè� ïåðâîã� èãðîêà, ψ 0 = m+1X0 qj 0 Iyj , q 0 = (q10 , ..., q m+1) ∈ Q, j=1 (y j , j = 1, ..., m + 1) ∈ Arg min j max y ∈Y j=1,...,m+1 min x∈X 1≤j≤m+1 F (x, y j ), � q 0 − ìèíèìàêñíà� ñòðàòåãè� � çàäà÷� min max Φ(x, q), q∈Q x∈XΦ(x, q) = m+1XF (x, y j )qj . j=1 Äîêàçàòåëüñòâî.
Ï� òåîðåì� 6.2 � ï� âûáîð� y j , j = 1, ..., m + 1,v = w = max min x∈X 1≤j≤m+1 F (x, y j ). Ôóíêöè� Φ(x, q) íåïðåðûâíà, ëèíåéí� ï� q � âîãíóò� ï� x. Ñëåäîâàòåëüíî, ï� òåîðåì� 2.3 îí� èìåå� ñåäëîâó� òî÷êó. Ïîýòîì� v = max min x∈X 1≤j≤m+1 F (x, y j ) = max min Φ(x, q) = x∈X q∈Q = min max Φ(x, q) = max Φ(x, q 0 ) = q∈Q x∈Xx∈X 59 ÃËÀÂ� I.
ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈ� ÈÃÐ�= max x∈Xm+1XF (x, yj)qj 0 j=1 � F (x, y)dψ 0 (y) = max F (x, ψ 0 ). = max x∈Xx∈X Y Îòñþä� ñëåäóþ� ðàâåíñòâ� max F (x, ψ 0 ) = v = min F (x 0 , y) x∈Xy∈Y � ï� òåîðåì� 4.1 òðîéê� (x0 , ψ 0 , v) − ðåøåíè� èãð� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿõ. Çàìå÷àíèå.
� äîêàçàòåëüñòâà� òåîðå� 5.2 � 5.3 âûïóêëîñò� ìíîæåñòâ� Y í� èñïîëüçîâàëàñü. Y ìîæí� áûë� ñ÷èòàò� êîìïàêòî� ìåòðè÷åñêîã� ïðîñòðàíñòâà. Àíàëîãè÷í� äîêàçûâàåòñ� ñëåäóþùå� óòâåðæäåíèå. n+1PÏîëîæè� P = {p ∈ E n+1 | pi = 1, pi ≥ 0, i = 1, ..., n + 1}. i=1 Òåîðåì� 5.4. Èãð� Γ � âûïóêëî� ôóíêöèå� âûèãðûø� èìåå� ðåøåíè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ� âèä� (ϕ0 , y 0 , v), ãä� y 0 − ìèíèìàêñíà� ñòðàòåãè� ïåðâîã� èãðîêà, 0 ϕ = n+1Xp0i Ixi , p 0 = (p0i , i = 1, ..., n + 1) ∈ P, i=1 (xi , i = 1, ..., n + 1) ∈ Arg max min max F (x i , y), ix ∈X i=1,...,n+1 y∈Y 1≤i≤n+1 � p0 − ìàêñèìèííà� ñòðàòåãè� � çàäà÷� 1max min Φ (p, y), p∈P y∈Y 1Φ (p, y) = n+1Xpi F (x i , y).
i=1 Ïðèìå� 6.1. Ïóñò� X = Y = [0, 1], F (x, y) = 1 − (x − y)2 − èãð� � âîãíóòî� ôóíêöèå� âûèãðûøà. Çäåñ� 31 v = v = max min [1 − (x − y)2 ] = , x 0 = , ψ 0 = q 10 Iy1 + q 20 Iy2 , 0≤x≤1 0≤y≤142q10 + q20 = 1, q 10 , q 20 ≥ 0, 60 0 ≤ y 1 ≤ y 2 ≤ 1.
6. Èãð� � âîãíóòî� ôóíêöèå� âûèãðûø�Íàéäå� âåëè÷èí� w = max min[F (x, y 1 ), F (x, y 2 )]. min 0≤y 1 ≤y 2 ≤1 0≤x≤1 Ïð� ôèêñèðîâàííû� y 1 , y 2 max min[1 − (x − y 1 )2 , 1 − (x − y 2 )2 ] = 1 − 0≤x≤1 y 1 − y 2 2 !2 . Îòñþä� w = min 120≤y ≤y ≤1 1 − y 1 − y 2 2!2 3 = ,4y 1 = 0, y 2 = 1. Íàéäå� òåïåð� q10 , q20 , ðåøà� çàäà÷� min max Φ(x, q) = min max [(1 − x 2 )q1 + (1 − (x − 1)2 )q2 ]. 0≤q1 ≤1 0≤x≤10≤q1 ≤1 0≤x≤1Èìåå� Φ0x (x, q) = −2xq1 − 2(x − 1)q2 = 0.
Îòñþä� ñòðàòåãè� x = q2ìàêñèìèçèðóå� ôóíêöè� Φ(x, q) ï� ïåðåìåííî� x. Ñëåäîâàòåëüíî, max Φ(x, q) = 1 − q1 (1 − q1 ) ⇒ q10 = q20 = 0≤x≤1 1 11 ⇒ ψ 0 = I0 + I1 . 2 22 Îòìåòèì, ÷ò� ïîëó÷åííî� ðåøåíè� èãð� ìîæí� áûë� ïðåäóãàäàò� � ïðîâåðèò� ëèø� óñëîâè� (∗). Óïðàæíåíè� 6.2. Ðåøèò� èãð� � âîãíóòî� ôóíêöèå� âûèãðûø� X = {(x1 , x2 ) | 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2}, Y = X, F (x1 , x2 , y1 , y2 ) = 1 − (x1 − y1 )2 − (x2 − y2 )2 . Øèðîêè� êëàñ� èã� � âûïóêëûì� ôóíêöèÿì� âûèãðûø� îáðàçóþ� ñòàòèñòè÷åñêè� èãðû. Äàäè� íåîáõîäèìû� îïðåäåëåíèÿ.
Ñòàòèñòè� íàáëþäàå� ðåàëèçàöè� zi íåçàâèñèìûõ, îäèíàêîâ� ðàñïðåäåëåííû� ñëó÷àéíû� âåëè÷è� Zi , i = 1, ..., n, èìåþùè� ïëîòíîñò� ðàñïðåäåëåíè� g(zi |x), çàâèñÿùó� î� âåêòîð� íåèçâåñòíû� ïàðàìåòðî� x ∈ X. Çäåñ� X − âûïóêëî� ìíîæåñòâ� åâêëèäîâ� ïðîñòðàíñòâà.
Ïóñò� Z = 61ÃËÀÂ� I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈ� ÈÃÐ�(Z1 , ..., Zn ) − âåêòîðíà� ñëó÷àéíà� âåëè÷èíà, ïðèíèìàþùà� çíà÷åíè� nQz = (z1 , ..., zn ) ∈ Z � èìåþùà� ïëîòíîñò� ðàñïðåäåëåíè� g(z|x) = g(zi |x). i=1 Ñòàòèñòè� îöåíèâàå� âåêòî� x, èñïîëüçó� ðåøàþùó� ôóíêöè� y : Z → A = X. Âåëè÷èí� a = y(z) íàçûâàåòñ� îöåíêî� âåêòîð� x è� ìíîæåñòâ� îöåíî� A. Îøèáê� � îïðåäåëåíè� âåêòîð� x çàäàåòñ� � ïîìîùü� ôóíêöè� ïîòåð� L(x, a). Ìàòåìàòè÷åñêî� îæèäàíè� ýòî� ôóíêöè� Zdef F (x, y) = E[L(x, y(Z))] = L(x, y(z))g(z|x)dz Z íàçûâàåòñ� ôóíêöèå� ðèñêà. Ñòàòèñòè� (âòîðî� èãðîê) èñïîëüçóå� ðåøàþùå� ïðàâèë� (ñòðàòåãèþ) y è� íåêîòîðîã� ìíîæåñòâ� Y � ñòðåìèòñ� ìèíèìèçèðîâàò� ôóíêöè� ðèñêà. Ïðèðîä� (ïåðâû� èãðîê) ñòðåìèòñ� å� ìàêñèìèçèðîâàòü, âûáèðà� x ∈ X.
Ïîñòðîåííà� àíòàãîíèñòè÷åñêà� èãð� Γ = X, Y, F (x, y) íàçûâàåòñ� ñòàòèñòè÷åñêîé. Ïóñò� îöåíèâàåìû� âåêòî� ÿâëÿåòñ� ñëó÷àéíî� âåëè÷èíî� X, ïðèíèìàþùå� çíà÷åíè� x ∈ X � èìåþùå� ïëîòíîñò� ðàñïðåäåëåíè� f. � èãðîâî� òî÷ê� çðåíè� ýò� îçíà÷àåò, ÷ò� ïðèðîä� èñïîëüçóå� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� f ∈ {f }. Îáû÷í� èñïîëüçóåòñ� ñëåäóþùè� ìåòî� ðåøåíè� ñòàòèñòè÷åñêî� èãðû. Ñíà÷àë� ñòðîèòñ� óðàâíèâàþùà� ðèñ� ðåøàþùà� ôóíêöè� ñòàòèñòèê� y 0 : F (x, y 0 ) ≡ const í� X.
Çàòå� ïîäáèðàåòñ� ñòðàòåãè� ïðèðîä� − ïëîòíîñò� ðàñïðåäåëåíè� f 0 , îòíîñèòåëüí� êîòîðî� ðåøàþùà� ôóíêöè� y 0 ÿâëÿåòñ� áàéåñîâñêîé, ò.å. ìèíèìèçèðóþùå� ôóíêöè� ðèñêà: F (f 0 , y 0 ) = min F (f 0 , y). Òîãä� � ñîîòâåòñòâè� � ðåçóëüòàòî� óïðàæíåíè� y∈Y 4.3 f , y − îïòèìàëüíû� ñòðàòåãè� ïðèðîä� � ñòàòèñòèêà. Ïëîòíîñò� ðàñïðåäåëåíè� f 0 íàçûâàåòñ� àïðèîðíîé. Ïîêàæåì, ÷ò� äë� ïëîòíîñò� ðàñïðåäåëåíè� f 0 ïð� êâàäðàòè÷íî� ôóíêöè� ïîòåð� L(x, a) = |x − a|2 áàéåñîâñêà� ðåøàþùà� ôóíêöè� y 0 îïðåäåëÿåòñ� îäíîçíà÷íî.
Îïðåäåëè� àïîñòåðèîðíó� ïëîòíîñò� ðàñïðåäåëåíè� f 0 (x|z) = g(z|x)f 0 (x)/p(z), ãä� Zp(z) = g(z|x)f 0 (x)dx. 00 X Óòâåðæäåíè� 6.1. Ïóñò� y 0 − áàéåñîâñêà� ðåøàþùà� ôóíêöè� îòíîñèòåëüí� ïëîòíîñò� ðàñïðåäåëåíè� f 0 . Òîãä� ïð� êâàäðàòè÷íî� ôóíêöè� 62 6. Èãð� � âîãíóòî� ôóíêöèå� âûèãðûø�ïîòåð� def 0y (z) = E[X|z] = � xf 0 (x|z)dx ∀ z ∈ Z.
(6.1) X Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüê� ìíîæåñòâ� X âûïóêëî, ìîæí� ïîêàçàòü, ÷ò� y 0 (z) ∈ A = X ∀ z ∈ Z. Äë� ïðîèçâîëüíî� ðåøàþùå� ôóíêöè� y ∈ Y Z Z0 F (f , y) = L(x, y(z))g(z|x)dzf 0 (x)dx = X Z Z Z= [ |x − y(z)|2 f 0 (x|z)dx]p(z)dz. ZX Ïð� ôèêñèðîâàííî� z ∈ Z âíóòðåííè� èíòåãðà� ÿâëÿåòñ� êâàäðàòè÷íî� ôóíêöèå� î� a = y(z).
Ïîýòîì� åã� ìèíèìó� äîñòèãàåòñ� ïð� a0 = y 0 (z) è� (6.1). � äàëüíåéøå� áóäå� ñ÷èòàòü, ÷ò� ôóíêöè� ðàñïðåäåëåíè� g êàæäî� ñëó÷àéíî� âåëè÷èí� Zi çàâèñè� òîëüê� î� îäíîã� íåèçâåñòíîã� ïàðàìåòð� − ìàòåìàòè÷åñêîã� îæèäàíè� x. Äèñïåðñè� ñëó÷àéíî� âåëè÷èí� Zi îáîçíà÷è� ÷åðå� D(x). Äë� ìàòåìàòè÷åñêîã� îæèäàíè� ÷àñò� èñïîëüçónPåòñ� íåñìåùåííà� îöåíê� z = zi /n. Ñâîéñòâ� íåñìåùåííîñò� îçíà÷àåò, i=1÷ò� E EZ =nPZi i=1= x. n Ïîýòîì� åñòåñòâåíí� ðàññìîòðåò� ìíîæåñòâ� ðåøàþùè� ïðàâè� âèä� Y = {y | y(z) = c1 z + c2 , c1 , c2 ≥ 0}.
Ôóíêöè� ïîòåð� áóäå� ïðåäïîëàãàò� êâàäðàòè÷íîé: L(x, a) = (x − a)2 . Ïîëîæè� c = (c1 , c2 ). Òîãä� ôóíêöè� ðèñê� def 2 F (x, c) = F (x, y) = E(x − c1 Z − c2 )2 = c21 EZ + 2c1 (c2 − x)EZ + (x − c2 )2 = !D(x)D(x) = c2 1+ x 2 + 2c1 (c2 − x)x + (x − c2 )2 = c2 1+ (c1 x − x + c2 )2 nn âûïóêë� ï� c. 63 ÃËÀÂ� I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈ� ÈÃÐ�Ðàññìîòðè� êîíêðåòíû� ïðèìåð� ñòàòèñòè÷åñêè� èãð. Ïðèìå� 6.2. Ïóñò� ñëó÷àéíû� âåëè÷èí� Zi èìåþ� áèíîìèàëüíî� ðàñïðåäåëåíèå: � x, zi = 1, g(zi |x) = 1 − x, zi = 0; D(x) = x(1 − x), x ∈ X = [0, 1]. nPÏîëîæè� k = zi = nz.
Òîãä� i=1 g(z|x!) = xk (1 − x)n−k , � F (x, c) = c21 = x(1−x) n + x2 − 2c1 x2 + 2c1 c2 x + x2 − 2c2 x + c22 = !!2 n − 1 2 c1c1 − 2c1 + 1 x 2 + + 2c1 c2 − 2c2 x + c2 2 . nn Íàéäå� âûðàâíèâàþùó� ðåøàþùó� ôóíêöè� y 0 (z) = c01 z+c0 2 . Äë� ýòîã� ðåøè� ñèñòåì� óðàâíåíè� n − 1 2c2 c 1 − 2c1 + 1 = 0, 1 + 2c1 c2 − 2c2 = 0 nn � ïîëó÷è� (6.2) √c01 = √n 1, c0 2 = √.n + 12( n + 1) Âòîðî� ðåøåíè� √c1 = √n 1 , c2 = √n − 12( n − 1) îòáðîñèì. Ðàññìîòðè� í� îòðåçê� X = [0, 1] áåòà-ðàñïðåäåëåíè� � ïëîòíîñòü� f 0 (x) = ãä� B(p, q) = R1xp−1 (1 − x)q−1 ,B(p, q) q−1xp−1dx1 − áåòà-ôóíêöèÿ, � ïàðàìåòð� p � q 1 (1 − x1 )0 ïîëîæèòåëüíû.
Èíòåãðèðó� ï� ÷àñòÿì, íåòðóäí� âûâåñòè, ÷ò� Z1 EX = xf 0 (x)dx = 0 64p. p + q 6. Èãð� � âîãíóòî� ôóíêöèå� âûèãðûø�Ïîêàæåì, ÷ò� ïð� ïîäõîäÿùå� âûáîð� ïàðàìåòðî� p � q ðåøàþùà�ôóíêöè� y 0 ÿâëÿåòñ� áàéåñîâñêî� îòíîñèòåëüí� áåòà-ðàñïðåäåëåíè� f 0 .
Íàéäå� Z1 p(z) = g(z|x)f 0 (x)dx = 0 Z1 = xk (1 − x)n−k xp−1 (1 − x)q−1 B(k + p, n + q − k) dx = . B(p, q) B(p, q) 0 Îòñþä� óñëîâíà� ïëîòíîñò� f 0 (x|z) = g(z |x)f 0 (x) xk+p−1 (1 − x)n−k+q−1 = p(z)B(k + p, n + q − k) çàäàå� áåòà-ðàñïðåäåëåíè� � ïàðàìåòðàì� p∗ = k + p � q ∗ = n + q − k. Áàéåñîâñêà� ðåøàþùà� ôóíêöè� Zp∗ k + pnz + pE[X|z] = xf 0 (x|z)dx = ∗ = = ∗ p + qn + p + q n + p + q X √ñîâïàäàå� � âûðàâíèâàþùå� ôóíêöèå� y 0 ïð� p = q = 2 n .
Èòàê, äîêàçàíî, ÷ò� äë� îöåíê� ïàðàìåòð� áèíîìèàëüíîã� ðàñïðåäåëåíè� √nz + 0.5 0y (z) = √n + 1 − ìèíèìàêñíà� ðåøàþùà� ôóíêöèÿ. Èíòåðåñí� ñðàâíèò� çíà÷åíè� ôóíêöè� ðèñê� ïð� ìèíèìàêñíî� y 0 � êëàññè÷åñêî� z ðåøàþùè� ôóíêöèÿõ. Èìåå� F (x, y 0 ) ≡ v = 1 x(1 − x) √ 2 , F (x, z) = . n 4(1 + n)Íåðàâåíñòâ� F (x, y 0 ) < F (x, z) âûïîëíåí� ëèø� ïð� p√1 1 + 2 ndef √ .x − < ε = 2 2(1 + n) Åñë� n âåëèêî, ò� ìèíèìàêñíà� îöåíê� ëó÷ø� êëàññè÷åñêî� ëèø� ïð� çíà÷åíèÿ� x, ïðèíàäëåæàùè� ìàëî� ε-îêðåñòíîñò� òî÷ê� 1/2. Îäíàêî, 65 ÃËÀÂ� I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈ� ÈÃÐ�ïð� ìàëû� n èíòåðâà� çíà÷åíè� x, ãä� ìèíèìàêñíà� îöåíê� ëó÷øå, çíà÷èòåëüí� óâåëè÷èâàåòñÿ. Â� ìíîãè� çàäà÷à� í� ñóùåñòâóå� âûðàâíèâàþùå� ðåøàþùå� ôóíêöè� � óêàçàííû� âûø� ìåòî� ðåøåíè� ñòàòèñòè÷åñêî� èãð� èñïîëüçîâàò� íåëüçÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
