Введение в теорию игр (сторонняя методичка) (1184510), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Îáîçíà÷èì ÷åðåçy(k), k = 1, ..., |A| − 1, äåëåæè, ïîëó÷åííûå èç y(0) öèêëè÷åñêèì ñäâèãîìíà k êîìïîíåíò âïðàâî. Òîãäà äåëåæ|A|−1z=Xy(k)/|A| = (v|A| /|A|, ..., v|A| /|A|)k=0ïðèíàäëåæèò ÿäðó è, ñëåäîâàòåëüíî,Xa∈Kza =|K|v|A|≥ v|K| ∀ K ⊂ A ⇒ (15.5).|A|253 22.Ðåøåíèå óïðàæíåíèéÄîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà (15.5). Òîãäà óêàçàííûéâåêòîð z ïðèíàäëåæèò ÿäðó C.P15.8. Ïðîâåðèì ðàâåíñòâî a∈A ϕa ==X X (|K| − 1)! (|A| − |K|)!(v(K) − v(K\{a})) = v(A).|A|!a∈A K:a∈K(22.6)Âîçüìåì êîàëèöèþ K 6= A è ïîäñ÷èòàåì â ïîñëåäíåé äâîéíîé ñóììåKKêîýôôèöèåíò cK = cK+ + c− ïðè v(K).
Îí âêëþ÷àåò ñóììó c+ ïîëîæèòåëüíûõ ñëàãàåìûõ, âñòðå÷àþùèõñÿ ïðè âêëàäàõ â êîàëèöèþ K è ñóììócK− îòðèöàòåëüíûõ ñëàãàåìûõ, âñòðå÷àþùèõñÿ ïðè âêëàäàõ â êîàëèöèþK ∪ {a}, ãäå a ∈/ K. Ïîñêîëüêó êàæäûé èç èãðîêîâ êîàëèöèè K èìååòñâîé âêëàä â K,cK+ = |K|(|K| − 1)! (|A| − |K|)!|K|= C|A| .|A|!Àíàëîãè÷íî,cK− = −(|A| − |K|)|K|! (|A| − |K| − 1)!|K|= −C|A| .|A|!|A|Îòñþäà cK = 0. Åñëè K = A, òî cA+ = C|A| = 1 è ðàâåíñòâî (22.6) äîêàçàíî.Îñòàëîñü ïðîâåðèòü óñëîâèå ϕa ≥ v(a), ∀ a ∈ A. Äåéñòâèòåëüíî, èçñâîéñòâà ñóïåðàääèòèâíîñòè õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè è ðàâåíñòâà(15.6)ϕa =X (|K| − 1)! (|A| − |K|)!(v(K) − v(K\{a})) ≥|A|!K:a∈K≥X (|K| − 1)! (|A| − |K|)!v(a) = v(a).|A|!K:a∈K15.9.1111ϕ1 = (v(123) − v(23)) + (v(12) − v(2)) + (v(13) − v(3)) + v(1),36631111ϕ2 = (v(123) − v(13)) + (v(12) − v(1)) + (v(23) − v(3)) + v(2),3663254 22.Ðåøåíèå óïðàæíåíèé1111ϕ3 = (v(123) − v(12)) + (v(13) − v(1)) + (v(23) − v(2)) + v(3).3663 èãðå "äæàç-îðêåñòð"âåêòîð Øåïëè ϕ = (350, 475, 175).
Åñëè v(123) =997, òî ϕ = (349, 474, 174) è ϕ2 + ϕ3 < v(23) = 650.15.10.  ñèììåòðè÷íîé èãðå âñå êîìïîíåíòû âåêòîðà Øåïëè ðàâíûìåæäó ñîáîé.16.1. Íå ó÷òåíû çàòðàòû íà õðàíåíèå ïðîäóêöèè. Ïóñòü, íàïðèìåð,ïðåäïðèÿòèå äîëæíî ïîñòàâëÿòü åæåäíåâíî 5 èçäåëèé. Çàòðàòû íà õðàíåíèå âîçíèêàþò, åñëè ÷åðåç äåíü èñïîëüçóåòñÿ òåõíîëîãèÿ, äàþùàÿ 10èçäåëèé.0,0 ≤ p < 1,[0, 1], p = 1,16.2. S a (p) =1,1 < p ≤ 2,p/2, p > .17.1. Ôóíêöèÿ ñïðîñà D(p) = 3/p2 è ôóíêöèÿ ïðåäëîæåíèÿ S a (p) (ðèñ.16.5) ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå p̃ = 1.
Ïîýòîìó ôóíêöèÿ ïðèáûëè èìååò âèä(p3/p − (3/p2 − 1), 1 ≤ p ≤ 3/2,pW (p) = pD(p) − C(D(p)) =3/p − 3/(2p2 ),p > 3/2.Åå ìàêñèìóì íà ïîëóèíòåðâàëå [1, ∞) äîñòèãàåòñÿ ïðè p∗ = 1.17.2. Ôóíêöèÿ pD(p) ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé íà îòðåçêå [p1 , p2 ], ïîñêîëüêó åå ïðîèçâîäíàÿ D(p) + pḊ(p) = D(p)(1 − e(D(p))) ≥ 0. Ïîýòîìó ôóíêöèÿ ñïðîñà D(p) − ìåäëåííî óáûâàþùàÿ. Ôóíêöèÿ ïðèáûëèW (p) = pD(p) − C(D(p)) âîçðàñòàåò è îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ìîíîïîëèèíà îòðåçêå [p1 , p2 ] ðàâíà p∗ = p2 .19.1. ÈìååìD(p) = K/pα , D−1 (V ) = K 1/α /V 1/α , Ḋ(D−1 (V )) = −αV 1+1/α /K 1/α .Ïóñòü v − ñèòóàöèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Ïî óòâåðæäåíèþ 19.1 v a > 0 ∀ a ∈ A.Îòñþäà ïî ëåììå 19.1 âûïîëíåíû íåðàâåíñòâàu0va (v) ≥ 0 ∀ a ∈ A èëè (ñì. ôîðìóëó 19.5) X 1/α X 1+1/α K 1/α /vb− c − K 1/α v a / αvb≥ 0 ∀ a ∈ A.b∈Ab∈AÑêëàäûâàÿ ýòè íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì X 1/α 1/αK (mα − 1)/ αvb− cm ≥ 0,b∈A255 22.Ðåøåíèå óïðàæíåíèé÷òî íåâîçìîæíî ïðè 0 < α ≤ 1/m.19.2. Âûïèøåì âòîðóþ ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè âûèãðûøàau (v) ïî ïåðåìåííîé v a : X 2+1/α X001/αbavb.uva va (v) = K− 2(v ) + (1 + 1/α)v / αb∈Ab∈AÎòñþäà âèäíî, ÷òî ïðè α ≥ 1 ôóíêöèÿ ua (v) âîãíóòà, à ïðè1/m < α < 1 îíà èìååò åäèíñòâåííóþ òî÷êó ìàêñèìóìà ïî ïåðåìåííîé v aíà ïîëóïðÿìîé [0, +∞) ( ïðè ôèêñèðîâàííûõ ïåðåìåííûõ v b , b ∈ A\{a}).Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ äëÿ ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ v,ñôîðìóëèðîâàííûå â ëåììå 19.1, ÿâëÿþòñÿ òàêæå è äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè.1. Åñëè V ≥ K/(cα m), òîdefp̃ = c, ṽ a = K/(cα m), p∗ = αcm/(mα − 1), v a ≡ v ∗ = K/(m(p∗ )α ).Åñëè K/(cα m) > V > v ∗ , òîp̃ = K/(mV α ), ṽ a ≡ V, p∗ = αcm/(mα − 1), v a ≡ v ∗ .Åñëè V ≤ v ∗ , òî p̃ = p∗ = K/(mV α ), ṽ a = v a ≡ V.mP2.
Ïîëîæèì c̃ = c/K, tl =V a , l = 0, 1, ..., m − 1, tm = 0.a=l+1Ïóñòü íàéäåòñÿ öåëîå k ∈ {1, ..., m}, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþtk < 1/c̃ ≤ tk−1 . Òîãäà èç óðàâíåíèÿ 19.6 00 íàõîäèìpv ∗ (k) = k − 1 − 2c̃ktk + (k − 1)2 + 4c̃ktk /(2c̃k 2 ).Ïîñêîëüêó c̃tk < 1 (≤ c̃tk−1 , òî v ∗ (k) < (k − 1 − 2c̃ktk + k + 1)/(2c̃k 2 ) ≤ V k .V a,a > k,Ïîýòîìó v : v a =− ñèòóàöèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ñîîòâåòñòâó∗v (k), a ≤ k.þùàÿ åé öåíà ðàâíàpp∗ = K/(tk + kv ∗ (k)) = 2c̃kK/(k − 1 + (k − 1)2 + 4c̃ktk ) > c = p̃.Ïóñòü 1/c̃ ≥ t0 . Òîãäà v a = V a ∀ a ∈ A è p∗ = p̃ = K/t0 .kP3. Ïîëîæèì η = K(k − 1)/cb .
Òîãäà ñèòóàöèÿ ðàâíîâåñèÿ v èìååòâèäb=1(η − η 2 ca /K, a = 1, ..., k,va =0,a = k + 1, ..., m,256 22.ãäå k = max{l |lPÐåøåíèå óïðàæíåíèécb > (l − 1)cl }. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé öåíà ðàâíàb=1p∗ =kPcb /(k − 1) > p̃ = c1 .b=119.3. 1. Îáúåìû Ṽp0 , ãäå p0 < p, ïðèîáðåòàþò ñíà÷àëà ïîòðåáèòåëèñ ðåçåðâíîé öåíîé r ≥ p. Äëÿ ïîêóïêèòîâàðà ïîi öåíå p ÷èñëî òàêèõhïîòðåáèòåëåé ñòàíåò ðàâíûì max 0, D(p) − maxVp0 .0p <p2. Ïóñòü P (s) = {pi } − óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî öåí p1 < p2 <...
< pk < p ≤ pk+1 < .... Ïîñêîëüêó D(p1 ) ïîêóïàòåëåé òîâàðà ïî öåíåp1 ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû â î÷åðåäè, ÷èñëî ïîêóïàòåëåé ïî öåíå p1 ,èìåþùèõ ðåçåðâíóþ öåíó r ≥ p, ñîñòàâèò âåëè÷èíó Ṽp1 D(p)/D(p1 ), ààíàëîãè÷íîå èõ ÷èñëî ñ r ∈ [p1 , p) ðàâíî Ṽp1 (D(p1 ) − D(p))/D(p1 ). Ïîýòîìó ïîñëå ïðîäàæè òîâàðà ïî öåíå p1 ÷èñëî ïîêóïàòåëåé ïî öåíå p2 ,èìåþùèõ ðåçåðâíóþ öåíó r ≥ p, ñòàíåò ðàâíûì D(p)(1 − Ṽp1 /D(p1 )), ò.å.îíî óìåíüøèòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî êîýôôèöèåíòó 1 − Ṽp1 /D(p1 ). Àíàëîãè÷íîå óìåíüøåíèå ïðîèçîéäåò è ñ ïîêóïàòåëÿìè, èìåþùèìè ðåçåðâíóþöåíó r ≥ p2 .
Ïðîäîëæàÿ ðàññóæäåíèÿ, ïðèäåì ê âûâîäó, ÷òî ïîñëå ïîêóïêè òîâàðà ïî öåíå p2 ÷èñëî ïîêóïàòåëåé ïî öåíå p3 , èìåþùèõ ðåçåðâíóþöåíó r ≥ p, ñîñòàâèò âåëè÷èíó!Ṽp1 Ṽp2Ṽp1Ṽp2 D(p) 1 −1−= D(p) 1 −−ṼD(p1 )D(p1 ) D(p2 )D(p )(1 − p1 )2D(p1 )è ò.ä.3. Ïóñòü P (s) = {pi } − óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî öåí p1 < p2 < ... <pk < p ≤ pk+1 < .... Òîãäà íåòðóäíî âèäåòü, ÷òîD(p1 , Ṽ ) = D(p1 ), D(p2 , Ṽ ) = max[min[D(p2 ), D(p1 ) − Ṽp1 ], 0],D(p3 , Ṽ ) = max[min[D(p3 ), D(p2 ) − Ṽp2 , D(p1 ) − Ṽp1 − Ṽp2 ], 0]è ò.ä.19.4.  ñèëó ñëåäñòâèÿ ê óòâåðæäåíèþ 19.3 äëÿ ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøós âûïîëíåíî p(s) = p̃.
PÏóñòü íàéäåòñÿ ïðîèçâîäèòåëü b, äëÿ êîòîðîãîb+V > S (p̃) − D(p̃) =V a − D(p̃) è cb = p̃. Òîãäà ïðè ìàëîì ε > 0aa:c ≤p̃Pâûïîëíåíî D(p̃ + ε) −V a > 0 è ïî (19.13) îñòàòî÷íûé ñïðîña:ca ≤p̃,a6=bïî öåíå p̃ + ε áóäåò ïîëîæèòåëüíûì. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâîäèòåëþ bâûãîäíî îòêëîíèòüñÿ è âûáðàòü öåíó sb = p̃ + ε (ïðîòèâîðå÷èå).257 22.Ðåøåíèå óïðàæíåíèé20.1. Äëÿ àêöèçíîãî íàëîãàte = S −1 (D1 + D2 )(D2 − K)/(D1 + K), p̃(te ) = te + S −1 (D1 + D2 ),äëÿ íàëîãà íà ïðèáûëüp̃(tpr ) = S −1 (D1 + D2 ), tpr = p̃(tpr )(D2 − K)/P r,ãäå âåëè÷èíà ïðèáûëè ðàâíàp̃(tZ pr )(D1 + D2 − S(p))dp.Pr =020.2.
Ïî óñëîâèþe(D(p)) = −p(Ḋ1 (p) + Ḋ2 (p) − K/p2 )/(D1 (p) + D2 (p) + K/p) < 1.ÎòñþäàQ̇1 (p) + Q̇2 (p) = D1 (p) + D2 (p) + p(Ḋ1 (p) + Ḋ2 (p)) > 0.20.3. Ôóíêöèÿ K(p) íåïðåðûâíà è íà îòðåçêàõ, ãäå îíà äèôôåðåíöèðóåìà, åå âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ K̈(p) = D̈1 (p)(q(p) − p) − 2Ḋ1 (p) − Q̇2 (p)íåîòðèöàòåëüíà. Ôóíêöèÿ K̇(p) â òî÷êàõ ñâîåãî ðàçðûâà èìååò ïîëîæèòåëüíûå ñêà÷êè. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ K(p) âûïóêëà íà âñåì îòðåçêå[pD , ps ].21.1. Çàìåòèì, ÷òîlim R(p) = T (qF − c)/F = qT − T c/F < R(p̂) = qT − T (1 − q)c/F.p→p̂−Åñëè qF > (1 − q)c, òî R(p̂) > 0, R∗ = max R(p) = R(p̂), p∗ = p̂.0≤p≤1Åñëè qF ≤ (1 − q)c, òî R(p̂) ≤ 0, R∗ = p∗ = 0.21.2.
1) Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî F q > c. Ïîýòîìó ôóíêöèÿ R(p) âîçðàñòàåò íà ïîëóèíòåðâàëå [0, p̂) è ïîñòîÿííà íà îòðåçêå [p̂, 1]. Èç R(p̂) > 0ïîëó÷àåì p∗ ∈ [p̂, 1].2) Èìååì F = c/q < F = (qm + 1 − q)c/(qm). Ïîýòîìó ôóíêöèÿR(p) ðàâíà íóëþ íà ïîëóèíòåðâàëå [0, p̂) è óáûâàåò íà îòðåçêå [p̂, 1]. ÈçR(p̂) > 0 ïîëó÷àåì p∗ = p̂.258ÏðèëîæåíèåÏ1. Òåîðåìà îá îòäåëÿþùåé ãèïåðïëîñêîñòèÏóñòü A è B − äâà âûïóêëûõíåïåðåñåêàþùèõñÿêîìïàêòà â E . Òîãäà íàéäåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòü a, x = b, ñòðîãî îòäåëÿþùàÿ ìíîæåñòâà A è B, ò.å.
a, x < b < a, y ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.Òåîðåìà Ï.1.mÄîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì íà A × B ôóíêöèþ |x − y|2 , ãäåx ∈ A, y ∈ B, è ïóñòü ïàðà (x0 , y 0 ) − òî÷êà ååÒîãäà ìèíèìóìà.00|x − y | > 0. Ïîêàæåì, ÷òî ãèïåðïëîñêîñòü a, x = b ïðè0 20 2a = y 0 − x0 , b = 12 (|y | − |x | ) ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé.Äîêàæåì, ÷òî a, x < b ∀x ∈ A. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå.
Òîãäàíàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà x0 ∈ A, ÷òî a, x0 ≥ b. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþg(t) = |y 0 − (1 − t)x0 − tx0 |2 , t ∈ [0, 1]. Èìååìg 0 (0) = 2 y 0 − x0 , x0 − x0 = 2 y 0 − x0 , x0 − 2 a, x0 ≤≤ 2 y 0 , x0 − 2|x0 |2 − 2b = 2 y 0 , x0 − |x0 |2 − |y 0 |2 = −|x0 − y 0 |2 < 0.Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ïîëîæèòåëüíûõ è áëèçêèõ ê íóëþ tg(t) < g(0), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ ïàðû (x0 , y 0 ). Âòîðîå íåðàâåíñòâî b < a, y ∀y ∈ B äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.Ï2. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 6.1Òåîðåìà î÷åâèäíà äëÿ E 0 . Ïóñòü îíà âåðíà äëÿ E m−1 . Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî âûïóêëûõ êîìïàêòîâ Dα , α ∈ L èç E m , êàæäûå m+1 èç êîòîðûõèìåþò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå.Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ëþáîå êîíå÷íîå ïîäñåìåéñòâî ñåìåéñòâàDα , α ∈ L èìååò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå.
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Òîãäàíàéäåòñÿ ìèíèìàëüíîå öåëîå k > m + 1, äëÿ êîòîðîãî íàéäåòñÿ òàêîåkk−1TTïîäñåìåéñòâî Dαi , i = 1, ..., k, ÷òîDαi = ∅,Dαi 6= ∅. Ïîëîæèìi=1A = Dα k , B =k−1Ti=1Dαi . Âûïóêëûå êîìïàêòû A è B íå ïåðåñåêàþòñÿ èi=1íàéäåòñÿ ñòðîãî îòäåëÿþùàÿ èõ ãèïåðïëîñêîñòü H (ñì. Ï1.) Ïóñòü C −ïåðåñå÷åíèå êàêèõ-ëèáî m ìíîæåñòâ èç Dα1 , ..., Dαk−1 . Òîãäà B ⊆ C èïî óñëîâèþ C ∩ A 6= ∅. Âîçüìåì x0 ∈ C ∩ A è y 0 ∈ B.
Òîãäà îòðåçîê259Ïðèëîæåíèå[x0 , y 0 ] ïðèíàäëåæèò C è ïåðåñåêàåòñÿ ñ H. Ñëåäîâàòåëüíî, C ∩ H 6=∅. Èòàê, ëþáûå m ìíîæåñòâ èç Dα1 ∩ H, ..., Dαk−1 ∩ H èìåþò íåïóñòîåk−1Tïåðåñå÷åíèå. Ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþDαi ∩ H = B ∩ H 6= ∅,i=1÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïîñòðîåíèþ ãèïåðïëîñêîñòè H.T Çàâåðøèì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Ïðåäïîëîæèì , ÷òîDα = ∅. Ïóñòü X = Dα0 − íåêîòîðûé êîìïàêò èç ñåìåéñòâàα∈LDα , α ∈ L. Îïðåäåëèì íîâîå ñåìåéñòâî Dα0 = Dα ∩ X, α ∈ L. ÒîãäàT 00Dα = ∅ è ìíîæåñòâà Dα = E m \Dα0 îáðàçóþò îòêðûòîå ïîêðûòèå êîìα∈L00ïàêòà X, èç êîòîðîãî ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå Dα1 , ..., Dαp .ppTTÎòñþäà âûòåêàåò, ÷òîDα0 i =Dαi ∩ Dα0 = ∅. Ïî äîêàçàííîìó ëþáîåi=1i=1êîíå÷íîå ïîäñåìåéñòâî ñåìåéñòâà Dα , α ∈ L èìååò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå(ïðîòèâîðå÷èå).Ï3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
