В.В. Рыжиков - Программа экзамена курсу ЕНС - Прикладные вопросы ТФФА (Эргодическая теория) (1184390)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Программа экзамена курсу ЕНС«Прикладные вопросы ТФФА» («Эргодическая теория»)Лектор — В. В. РыжиковIX семестр, 2006 г.Программа курса1. Примеры автоморфизмов пространства Лебега. Лемма Рохлина – Халмоша для эргодических автоморфизмов. Общие конструкции косые произведения, индуцированные (и интегральные) автоморфизмы.2. Свойства автоморфизмов, эквивалентных эргодичности. Теорема Биркгофа.3.

Эргодические теоремы: слабая, фон Неймана, Крыгина – Аткинсона.4. Спектральная теорема для унитарных операторов с циклическим вектором.5. Изоморфизм эргодических преобразований с одинаковым дискретным спектром.6. Слабое перемешивание и эквивалентные ему свойства.7. Автоморфизм с тривиальным централизатором и тривиальной структурой факторов. Аппоксимация самоприсоединений автоморфизма ранга 1.

Минимальные самоприсоединения перемешивающих автоморфизмов ранга 1.8. Пример T 6≡ T −1 .9. Кратные перемешивания, самоприсоединения с парной независимостью (у которых проекции на двумерныеграни стандартны) и свойства T Sn . Теорема T S4 ⇒ T Sn .10. Некоммутативные действия, не обладающие свойством T S4 , но обладающие свойством T S3 (если кто придумает коммутативное действие, сразу всем зачёт).11. Автоморфизмы, обладающие свойством T Sn (было два примера).12. Тривиальность сплетений унитарных операторов U и U ⊗ U при условии U ni → 12 (U + I), U mi → 0.Задачи (продолжение списка)8.

Доказать строгую эргодичность поворотов окружности на иррациональный угол.Указание. Пустькто-то инвариантен относительно поворотов. Возьмём эту меру ν и усредним по всейRокружности. νβ dβ. Получится мера Лебега. А теперь усредним её на интервале [0, ε]. А поскольку всеповороты коммутируют, то получается, что ν абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.9. Доказать строгую эргодичность косого сдвига на T2 .Указание.

Та же идея. Но сдвиги на торе коммутируют с Rα (x, y) = (x, y + α). Тогда по задаче 8 проекцияэтой меры будет совпадать с Лебегом. Если их все размазать, то опять получится мера Лебега. Ну и потомможно усреднить на интервал, получится как в задаче 8.10. а) Индуцированный автоморфизм эргодического преобразования является эргодическим. б) существуетперекладывание трёх отрезков, не являющееся перекладыванием двух (надо просто взять поворот окружности и тройное перекладывание).в)** То же, что в б), но придумать перекладывание четырёх, не являющееся перекладыванием трёх.11.

а) Эргодические теоремы для действий Z2 .f ∈ L1 ,N −11 Xf (T1i T2j x) → . . .N 2 i,j=0(попытка перенести это утверждение с одномерного случая не принесет успеха).′б)∗ Лемма Рохлина – Халмоша для Z2 -действий. (для почти всех x имеем если T1i T2j x = T1i T2j x, то i = i′ ,j = j′.′1Для всех ε > 0 для всех N > 1 существует E такое чтоe⊔X=ENG−1i,j=0e < ε.T1i T2j E, где µ(E)в) Есть свободная группа F2 с образующими a, b, a−1 и b−1 Заданы преобразования Ta и Tb — сдвиги наэлементы. Вообще крестами можно замостить всю группу, но вот что известно относительно леммы РХ —очень мало.12.

Аналог теоремы фон Неймана для Zn -действий.13. Каждый унитарный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения на функцию.14. H ⊕ H не является циклическим пространством для U ⊕ U .Комментарий. Это задачка про ТФФА. ПочемуR оператор умножения на x2 не имеет циклического вектора? Допустим, что он есть. Тогда заметим, что xx2n h(x)h(−x)dx = 0. Тогда вылазит ортогональность,а откуда ж ей быть?w15. Есть поток {Tt }, t ∈ R. Имеем Tt −→ I при t → 0.

Пусть T1 ∈ WMix. Тогда для всех t > 0 верно то жесамое, то есть WMix.16. Пусть T ∈ rk(1). Пусть T ∈ α-Mix, и пусть α > 21 , тогда централизатор тривиален. Определение α-Mixтаково:∀ A, B lim µ(A ∩ T n B) > αµ(A)µ(B).n17.18.19.20.Найти пример эргодического T , такого что T 6≡ T 2 .Пусть {Tt }, T1 кратно перемешивает. Тогда для всех t > 0 Tt кратно перемешивает.Если T ∈ T Sn то для любого m 6= 0 имеем T m ∈ T Sn .К вопросу 12. Пусть T ni 12 I + 12 T + 14 T 2 + .

. . . T mi → 0, тогда T и T ⊗ T не имеют нетривиальныхсплетений.2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов вопросов/заданий