Ответы 190 страниц (1184228), страница 39
Текст из файла (страница 39)
A = 110111 --> [A]пр = 00110111
A = -110111 --> [A]пр = 10000000 - (-110111) = 10110111
В ЭВМ прямой код применяется только для представления положительных двоичных чисел. Для представления отрицательных чисел применяется либо дополнительный, либо обратный код, так как над отрицательными числами в прямом коде неудобно выполнять арифметические операции.
Формула для образования дополнительного кода дроби:
[A]доп = 10 + A.
Формула для образования обратного кода дроби:
[A]обр = 10 - 10-(n-1) + A.
Например, при n = 8, для A = -0,1100001
[A]доп = 10 + (-0,1100001) = 1,0011111
[A]обр = 10-10-7+(-0,1100001) = 1,1111111-0,1100001 = 1,0011110.
Формула для образования дополнительного кода целого числа:
[A]доп = 10n + A.
Формула для образования обратного кода целого числа:
[A]обр = 10n - 1 + A.
Например, при n = 8, для A = -1100001
[A]доп = 100000000 + (-1100001) = 10011111
[A]обр = 100000000-1+(-1100001) = 11111111-1100001 = 10011110.
Таким образом, правила для образования дополнительного и обратного кода состоят в следующем:
- для образования дополнительного кода отрицательного числа необходимо в знаковом разряде поставить единицу, а все цифровые разряды инвертировать (заменить 1 на 0, а 0 - на 1), после чего прибавить 1 к младшему разряду;
- для образования обратного кода отрицательного числа необходимо в знаковом разряде поставить единицу, а все цифровые разряды инвертировать.
Примечание: при данных преобразованиях нужно учитывать размер разрядной сетки.
Прямой код можно получить из дополнительного и обратного по тем же правилам, которые служат для нахождения дополнительного и обратного кодов.
Замена вычитания двоичных чисел A1 - A2 сложением с дополнениями [A1]пр + [-A2]доп или [A1]пр + [-A2]обр позволяет оперировать со знаковыми разрядами так же, как и с цифровыми. При этом перенос из старшего знакового разряда, если он возникает, учитывается по разному для обратного и дополнительного кодов:
- при использовании дополнительного кода единица переноса из знакового разряда отбрасывается;
- при использовании обратного кода единица переноса из знакового разряда прибавляется к младшему разряду суммы (осуществляется так называемый циклический перенос).
Пример: складываем числа A1=0,10010001 и A2= -0,01100110
При использовании обратного кода получим:
[A1]пр = 0,10010001
+
[A2]обр = 1,10011001
-------------
10,00101010
|__________1
-------------
Результат: 0,00101011
При использовании дополнительного кода получим:
[A1]пр = 0,10010001
+
[A2]доп = 1,10011010
--------------
Результат: 0,00101011
Если знаковый разряд результата равен нулю, то в получено положительное число, которое представлено в прямом коде. Если в знаковом разряде единица, то результат отрицательный и представлен в обратном или дополнительном коде.
Для того, чтобы избежать ошибок при выполнении бинарных операций, перед переводом чисел в обратные и дополнительные коды необходимо выравнивать количество разрядов прямого кода операндов.
При сложении чисел, меньших единицы, в машине быть получены числа, по абсолютной величине большие единицы. Для обнаружения переполнения разрядной сетки в ЭВМ применяются модифицированные прямой, обратный и дополнительный коды. В этих кодах знак кодируется двумя разрядами, причем знаку "плюс" соответствует комбинация 00, а знаку "минус" - комбинация 11.
Правила сложения для модифицированных кодов те же, что и для обычных. Единица переноса из старшего знакового разряда в модифицированном дополнительном коде отбрасывается, а в модифицированном обратном коде передается в младший цифровой разряд.
Признаком переполнения служит появление в знаковом разряде суммы комбинации 01 при сложении положительных чисел (положительное переполнение) или 10 при сложении отрицательных чисел (отрицательное переполнение). Старший знаковый разряд в этих случаях содержит истинное значение знака суммы, а младший является старшей значащей цифрой числа. Для коррекции переполнения число нужно сдвинуть в разрядной сетке на один разряд вправо, а в освободившийся старший знаковый разряд поместить цифру, равную новому значению младшего знакового разряда. После корректировки переполнения мантиссы результата необходимо увеличить на единицу порядок результата.
Система вещественных чисел, применяемая при ручных вычислениях, предполагается бесконечной и непрерывной, т.е. не существует никаких ограничений на диапазон используемых чисел и точность их представления.
Однако в компьютерах реализация такой системы на аппаратном уровне была бы нецелесообразной, хотя программно может быть реализована любая точность вычислений. Нецелесообразность аппаратной реализации вычислений с произвольной точностью вызвана тем, что такие вычисления требуют неоправданно большого расхода основных машинных ресурсов: памяти и процессорного времени.
Во всех компьютерах размеры регистров и ячеек памяти фиксированы, что ограничивает систему представления чисел. Ограничения касаются как диапазона, так и точности представления чисел, т.е. система машинных чисел оказывается конечной и дискретной.
В любой универсальной ЭВМ существует несколько различных форматов представления как для чисел с фиксированной, так и для чисел с плавающей запятой. На некоторые из форматов имеются международные стандарты, и поэтому такие форматы являются общими для ЭВМ, построенных различными фирмами на различной элементной базе.
Следует отметить, что нестандартные форматы обычно являются неявно специализированными для определенных областей применения, причем разработчики аппаратуры могут не указать в документации, для чего был предназначен тот или иной формат.
С точки зрения программиста важно, какие из форматов данных обрабатываются аппаратными средствами данной ЭВМ, а какие - только программными средствами. Операции над данными любого формата, который не поддерживается аппаратурой, выполняются очень медленно. Любой формат данных, который превышает размер регистров процессора, не пригоден для быстрых вычислений.
Для представления целых чисел в ЭВМ обычно применяются 8-,16-, 32- и 64-битовый стандартные форматы, причем интерпретация чисел как знаковых или без знаковых обычно возлагается на программиста или на компилятор с языка высокого уровня.
Для представления чисел с плавающей запятой также существует несколько стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:
n-1 n-2 0 ...
знак мантиссы смещенный порядок модуль мантиссы
Порядок p задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка прибавляют смещение, равное (2k-1 - 1). Использование смещенной формы позволяет производить операции над порядками, как над без знаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков. Кроме того, использование смещенного порядка упрощает операцию сравнения нормализованных чисел с плавающей запятой, сводя ее к операции сравнения целых чисел.
Следует отметить, что вещественный формат с m-разрядной мантиссой позволяет абсолютно точно представлять m-разрядные целые числа, т.е. любое двоичное целое число, содержащее не более m разрядов, может быть без искажений преобразовано в вещественный формат.
Арифметика машинных чисел.
Множество чисел ограниченной разрядности является моделью расширенной числовой прямой, т.е. числовой прямой с тремя абстракциями (потенциальной осуществимости): нуль, положительная бесконечность, отрицательная бесконечность.
Целые числа (в математике) и их аналоги в n - разрядных арифметиках тождественны (по отражаемым им количествам) в рамках их представления в этой разрядности. При этом можно отметить основные отличия представления чисел в поле памяти человека и в поле памяти n - разрядной арифметики (компьютера):
бесконечное и счётное (нумеруемое) множество целых чисел Z представляется отрезком [—N;+N], где N - максимальное число, представимое в этой арифметике (многоточие - общее число единиц равное n): N=(111 . . . 1)2;
бесконечное и несчётное множество действительных чисел (—¥ ;+¥ ), располагающееся на числовой оси равномерно и плотно, представляется в n-разрядной арифметике множеством с неравномерной плотностью (сгущение у нуля и сжатость со стороны меньших чисел);
нуль во множестве действительных чисел R в любой своей окрестности имеет множество чисел, а нуль в n-разрядной арифметике представлен изолированно: в окрестности с радиусом равным наименьшему представимо в этой арифметике числу нет других чисел.
С точки зрения обычной арифметики, например, в интервале (—1;1) имеется бесконечное множество “плотно” расположенных точек, причем в любой окрестности каждой такой точки имеется хотя бы одна точка из этого множества. Такую арифметику называют часто регулярной арифметикой.
Машинная же арифметика нерегулярна - точки интервала сгущаются около нуля. Кроме того, в этом интервале точка х “изолирована” - если взять её любую окрестность (х—а; х+а), где а - число, которое не превосходит машинного нуля (наименьшего представимого в машине числа), то в этом интервале нет других точек (отличных от х). Говоря языком теории вероятностей, плотности распределения чисел в регулярной и нерегулярной арифметике - различны, как, впрочем, плотности распределения целых и вещественных чисел в одной и той же арифметике. Множество вещественных чисел в машинной арифметике представляется как подмножество множества рациональных чисел, определяемое разрядностью арифметики.
Есть и другие особенности этих множеств (связанные, например, с выполнением операций), но указанные выше особенности - основные.
Различия в представлении чисел в обычной и в машинной (n-разрядной) арифметике ограничивают как “арифметические возможности” компьютера, так и “компьютерные возможности” арифметики, математики, использование математических методов, алгоритмов в компьютерах.
Нужно всегда иметь в виду, что точность в теоретической математике - понятие абстрактное и в практической математике может возникать иллюзия точности там, где её на самом деле нет, - если не произведена достаточно корректная интерпретация научно-практической точности т.е. нет корректной договорённости о пределах возможных значений неизбежных погрешностей в рамках рассматриваемых вычислительных ресурсов, например, трудоёмкости и времени, а также не оговорена стратегия и тактика управления этой погрешностью.
Так как диапазон n-разрядных чисел системы счисления с основанием p находится в пределах |(x)p|£ pn—1, то для представления дробных чисел этот диапазон ещё уменьшается, так как часть разрядов необходимо отвести под изображение мантиссы. Таким образом, имеются так называемые “зоны нечувствительности” форм представления чисел в n-разрядных арифметиках.
В 1937 году немецким учёным Конрадом Цузе (разработавшим, кстати говоря, не только ряд положений арифметических основ цифровых машин, но и прототипы ЦВМ – машины “Ц-1”, “Ц-2”) для увеличения диапазона чисел, представимых в арифметике двоичных чисел, а также для повышения точности этого представления чисел было предложено представление чисел в плавающей, нормализованной форме.
Число x представляется в нормализованном виде: x=m´ pk, где m - мантисса числа, k - целый порядок числа, p—1£ |m|<1.
Пусть даны два числа x=m´ pk и y=n´ pl (k>l). Тогда можно проверить, что результаты выполнения операций будут равны:
x+y=(m+n´ pl—k)´ pk ,
x—y=(m—n´ pl—k)´ pk ,
x´ y=(m´ n)´ pk+l ,
x/y=(m/n)´ pk—l ,
Если из n разрядов, отводимых под изображение чисел, m двоичных разрядов отвести под мантиссу, k - под порядок, один разряд - под знак числа и один разряд - под знак порядка (например, 0 - плюс, 1 - минус), то диапазон представимых в форме с плавающей запятой чисел резко увеличивается (m+k+2=n):
—(0.111 . . . 1)2´ (10)2+(111 . . . 1)2£ x£ +(0.111 . . . 1)2´ (10)2+(111 . . . 1)2
(многоточие соответствует k единицам).
Числа, меньшие нижней границы положительных чисел и большие верхней границы отрицательных чисел, считаются равными нулю, не различаются между собой. Числа, большие верхней границы положительных чисел полагаются равными положительной бесконечности, а меньшие нижней границы отрицательных – отрицательной бесконечности. Сравнение двух разных по величине чисел в арифметике с ограниченной разрядностью может приводить, поэтому, к неверному результату, как и сравнение двух равных в таких системах чисел с точки зрения математической.
Такое представление очень удобно для хранения в ЭВМ, так как на самом деле необходимо хранить не само число, а его знак, мантиссу, порядок и знак порядка и все операции с числами сводятся к операциям с этими, более “компактными”, объектами. Операции с этими объектами достаточно просты: сравнение знаков, увеличение, уменьшение порядка, сложение мантисс, нормализация, т.е. в конечном итоге сводятся к достаточно просто реализуемым операциям сдвига, выравнивания, сравнения разрядов. Это упрощает аппаратную их реализацию и является основой для различных архитектур – микропрограммных, RISC и др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
