Ответы 190 страниц (1184228), страница 34
Текст из файла (страница 34)
o o o X - останется, x - погибнет
Пример игры реализован в качестве заставки на дисплее в системе OpenWindows на ЭВМ фирмы SUN.
В игре "жизнь" реализуется простейшая модель "взаимодействия" пустых и живых ячеек с соседями, определяющая эволюцию всей системы. Но вот пример из физики, который по способу построения модели идентичен этой игре. Модель магнетиков Изинга представляет собой набор спинов (элементарных магнитов), расположенных в узлах решетки и взаимодействующих только с ближайшими соседями. Вычислительный интерес представляют трех- и четырехмерные модели. Двумерные Изинговские магнетики с анизотропными (зависящими от направления) дальними взаимодействиями (т.е. не только с ближайшими, но и через один узел) также нельзя исследовать аналитически, а только с помощью компьютерных экспериментов. Очевидно, что алгоритм построения эволюции Изинговских магнетиков будет во многом идентичен алгоритму игры.
Многие молекулярные модели сплошных сред в статистической физике также строятся по принципу узлов (или ячеек) в кубической решетке. Молекулы могут располагаться только в ячейках. Взаимодействия молекул в соседних ячейках определяют их ориентацию (для несферических молекул) и предпочтительность (вероятность) переходов в соседние пустые ячейки.
В задачах по динамике сплошных сред (аэро- и гидродинамика) также применяется метод разбиения всего пространства на маленькие объемы и моделирование перемещения этих объемов при движении твердых тел или при обтекании средой неподвижных предметов.
Инженерные расчеты по распределению нагрузок в сложных конструкциях также могут проводиться в рамках сеточных моделей. Всю конструкцию можно рассматривать как сетку, в которой каждое соединение узлов имеет определенные силовые коэффициенты и предельные нагрузки на сжатие и растяжение. Таким образом можно моделировать деформацию конструкции и предельную нагрузочную способность при приложении силы в любой точке конструкции.
Видно, что класс задач, использующих сеточные методы довольно широк и крайне важен. В следующем параграфе мы рассмотрим алгоритмы решения таких задач.
Алгоритмы преобразования программ методом координат.
Одним из методов распараллеливания программ является метод координат, обеспечивающий векторизацию циклов для синхронных ЭВМ (ОКМД - SIMD архитектуры). Семантика синхронных циклов следующая: для каждой итерации цикла назначается процессор; вычисления должны производиться всеми процессорами (процессорными элементами) параллельно и синхронно. Операторы тела цикла выполняются по очереди, но каждый оператор выполняется всеми процессорами одновременно. При выполнении оператора присваивания сначала вычисляется правая часть, затем одновременно выполняется операция присваивания для всех элементов массива левой части.
Теоретическое обоснование классического метода координат предложено Лэмпортом. Метод применим для канонических ("чистых") циклов, тела которых состоят только из операторов присваивания, причем управляющая переменная заголовка цикла (параметр цикла) должна входить в индексные выражения операторов тела цикла линейно. Метод предназначен для синхронной векторизации одномерных циклов (многомерные циклы можно рассматривать по каждому параметру отдельно). Идея данного метода состоит в том, что для индексов, содержащих параметры цикла, рассматривается порядок следования, который и определяет очередность выборки/записи соответствующего элемента массива. Так как рассматриваются только линейные индексные выражения, порядок следования определяется значениями соответствующих алгебраических выражений. Строится граф характеристических множеств всех индексов, и при отсутствии в графе петель делается заключение о возможности векторизации всего цикла.
В некоторых случаях (устранимая векторная зависимость) векторизация возможна лишь в случае переупорядочивания - перестановки операторов цикла или путем введения временной переменной (массива), куда будут копироваться элементы вектора для защиты перед их изменением для последующего использования в исходном виде. Итак, метод координат:
- позволяет определить возможность выполнения цикла в синхронном режиме;
- содержит алгоритмы преобразования тела цикла к синхронному виду.
Например, по Лэмпорту, цикл:
DO 24 I=2,M
DO 24 J=2,N
21 A(I,J) = B(I,J)+C(I)
22 C(I) = B(I-1,J)
23 B(I,J) = A(I+1,J) ** 2
24 CONTINUE
преобразуется в цикл:
DO 24 J=2,N
DO 24 SIM FOR ALL I {i:2<=i<=M}
C SIM - SI Multeneusly (одновременно)
TEMP(I) = A(I+1,J)
21 A(I,J) = B(I,J)+C(I)
23 B(I,J) = TEMP(I) ** 2
22 C(I) = B(I-1,J)
24 CONTINUE
Конструктивный алгоритм реализации метода координат.
Пусть, цикл одномерный, все операторы тела - операторы присваивания, в левых частях которых - переменные с индексом - параметром цикла. Индексы линейные, т.е. имеют вид i+/-b,где b - константа. Определяются отношения следования для всех пар одноименных переменных с индексами: генерируемых переменных (переменные в левой части операторов присваивания - f) и используемых переменных (входящих в формулы правых частей - q). Отношение следования для одной пары зависит от порядка обращения к одному и тому же элементу массива при выполнении цикла. Так, для A(I) = A(I+1) отношение можно кодировать: f<q . Для многомерных циклов для всех пар (f,q) определяются направляющие вектора, элементы которых состоят из символов (=, >, <) в позиции соответствующего индекса, которая определяется порядком индексов в гнезде цикла. В примере Лемпорта (исходном) для А вектор имеет вид: (<,=).
Для тела цикла, состоящего из одного оператора, отношения, и соответственно, семантика выполнения, могут быть: < > = и их сочетание. Например, тело цикла: A(I) = (А(I)+A(I+1))/2 допускает векторное выполнение; оно невозможно при наличии в операторе хотя бы одного соотношения: f>q. Для тела цикла: A(I) = A(I+C))/2 при С>0 возможно синхронное выполнение, при С=0 кроме синхронного, возможно параллельное асинхронное; а при С<0 параллельное выполнение невозможно.
Для многомерных (тесногнездовых) циклов такое исследование может проводиться для каждого параметра, а для распараллеливания выбираться наиболее оптимальный вариант. Для самого внутреннего цикла определение следования можно проводить, считая его одномерным. Для любого другого цикла, исследование можно проводить по такой же схеме, если семантика цикла допускает перестановку его на позицию самого внутреннего. Перестановка допустима, если для всех новых направляющих векторов крайне левый, отличный от = , элемент сохранил направление. Например, для двумерного цикла, наличие вектора (<,>) делает перестановку некорректной. Так для цикла:
DO 99 J=2,M
DO 99 K=2,M
99 U(J,K) = (U(J+1,K)+U(J,K+1)+U(J-1,K)+U(J,K-1)) .25
направляющие вектора:
1 <U(J,K),U(J+1,K)> = (<,=)
2 <U(J,K),U(J,K+1)> = (=,<)
3 <U(J,K),U(J-1,K)> = (>,=)
2 <U(J,K),U(J,K-1)> = (=,>)
Отсюда:
- операторы циклов по I и J можно менять местами,
- часть оператора, включающая вхождения из векторов 1 и 2, можно вынести в отдельный оператор, который векторизуется как по I так и по J.
Для двух операторов тела цикла отношения следования переменных с индексами можно систематизировать и кодировать так (qi в общем случае, список - информационные поля q и f) : А - независимые отношения В - (qi>qj) , C - (qi<qj) , K - (qi=qj) G - B+K,B+C,B+K+C , Н - неоднозначные отношения. Тогда по координатам приводимой ниже таблице можно определить типы связей и метод выполнения цикла для этих операторов. Если объединить информационные поля двух операторов , то таблицу можно использовать для анализа третьего оператора и т.д.
* Таблица решений для метода координат
* Оператор 1 O1 = I1 Oi,Ii - список переменных с индексами
* Оператор 2 O2 = I2 -> - порядок анализа отношений
*---------------------------------------------------------------------
* . O2 -> I1 .
* . A . B . K . C . G . H .
* . HEЗАВ. . O > I . O = I . O < I . O <=>I * .
* I2 -> O1 . . . . . . .
*----------------------------------------------------------------------
* . . . . . . .
* A HEЗАВ. . P . R . S . M . R(K,C). T .
*______________________________________________________________________
* . . . . . . .
* B I > O . R . R . M(B) . M(B) . R(K,C). T .
*______________________________________________________________________
* . . . . . . .
* K I = O . S . T . S . M . T . T .
*______________________________________________________________________
* . . . . . . .
* C I < O . M . T . M . M . T . T .
*______________________________________________________________________
* . . . . . . .
* G I <=> O. M(B) . T . M(B) . M(B) . T . T .
*______________________________________________________________________
* . . . . . . .
* H * . T . T . T . T . T . T .
*______________________________________________________________________
* Кодировка отношений следования
* А - независимые отношения
* В - (qi>qj) , C - (qi<qj) , K - (qi=qj)
* G - B+K,B+C,B+K+C
* Н - неоднозначные отношения
* TИПЫ CBЯЗEЙ
* P - независимые операторы
* M - SIMD , M(EA) - SIMD с защитой EA
* R - SIMD с реверсом, R(EA) - и с защитой EA
* S - PAR (асинхронная параллельность)
* T - запрет векторизации
* Защита ЕА - копирование массивов ЕА перед
В общем случае, алгоритм векторизации методом координат с использования данной таблицы следующий.
Обработка тела цикла начинается с анализа на возможность векторного выполнения каждого оператора тела в отдельности. Затем к первому оператору добавляется второй и проводится анализ на возможную их векторизацию. Пара получает тип, определяющий возможность векторизации ее компонент, информационные поля операторов сливаются, и на следующем шаге применения процедуры векторизации пара рассматривается как единый супероператор. Таким образом из всех операторов тела цикла образуется один супероператор и, если его тип есть Т, то векторизация тела цикла невозможна. Для всех других типов производится обратный анализ полученного графа (супероператора). Если при этом связки имели тип R или R(EA),M(EA), то хотя они и допускают асинхронное параллельное выполнение, но необходимы преобразование тела цикла. Связки типа Т дают операторы, векторизация которых невозможна. Интерпретация остальных типов связок очевидна. В процессе формирования супероператоров к связкам типа Т могут применяться процедуры поиска минимальных границ области типа Т и чистки области Т.
Примеры векторизации
Исходные тела циклов Преобразованные тела циклов
A(I) = B(I) C(I) = A(I+1)
C(I) = A(I+1) A(I) = B(I)
A(I) = B(I) D(I) = A(I)
C(I) = A(I) + A(I+1) A(I) = B(I)
C(I) = A(I) + D(I+1)
A(I) = B(I) + B(I+1) D(I) = B(I)
B(I) = A(I+1) B(I) = A(I+1)
A(I) = D(I) + B(I+1)
A(I) = B(I) + B(I-) Векторизация невозможна
B(I) = A(I)
Дополнение
Наибольшим внутренним параллелизмом, который можно использовать для векторизации программ, являются циклические участки, так как на них приходится основное время вычислений, и в случае распараллеливания вычисления в каждой ветви производится по одному и тому же алгоритму. В методах распараллеливания циклов используется довольно сложный математический аппарат. Наиболее распространенными
методами распараллеливания являются: метод параллелепипедов, метод координат, метод гиперплоскостей. Объектами векторизации в этих методах являются циклы типа DО в Фортране. При постановке в общем виде задачи распараллеливания циклов вводится понятие “пространство итераций” — n-мерное целочисленное пространство с координатными осями I1,K,In, соответствующими индексным переменным исходного цикла. Каждая итерация (повторение тела цикла при различных значениях индек-
сов) представляет собой точку в этом пространстве и характеризуется значением вектора (i1,K,in), где ij — номер выполнения итерации на j-м уровне вложенности. Исходный тесногнездовой цикл имеет вид
DO 1 I1 = 1, M1
. . .
DO 1 In = 1, Mn
S(i1, ..., in)
1 CONTINUE
Шаг изменения цикла предполагается равным единице. Тело цикла S i in ( 1,K, ) состоит из последовательности пронумерованных по порядку операторов. На тело цикла, как правило, накладываются некоторые ограничения, зависящие от типа ЭВМ и метода распараллеливания: все индексные выражения должны быть линейными функциями от параметров цикла; не допускаются условные и безусловные переходы из тела цикла за его пределы, а внутри цикла передача управления может осуществляться только вперед, т. е. операторы IF и GO TO нельзя применять для организации цикла. Не допускается использование в теле цикла операторов ввода-вывода и обращений к подпрограммам.