Учебник - Квантовая механика 1 - Барабанов (1183798), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Очевидно, чтоmmin = −mmax . Пустьmmax ≡ j,mmin = −j.б) ĵ+ и ĵ− – операторы повышения и понижения. Действительно,³´ĵz (ĵ± |jmi) = ĵ± (ĵz ± 1)|jmi = (m ± 1) ĵ± |jmi .Поэтому:ĵ+ |j(m − 1)i = αm |jmi,ĵ− |jmi = βm |j(m − 1)i.Однако, поскольку ĵ+ |jji = 0, то αj+1 = 0. Аналогично β−j = 0.4) Воспользовавшись оператором понижения ĵ− , запишем:ĵ− |jji ∼ |j(j − 1)i,(ĵ− )2 |jji ∼ |j(j − 2)i,...(ĵ− )N |jji ∼ |j(j − N )i,N ∈ Z.Предположим, что таким образом мы осуществляем переход от состояния с максимальной проекцией |jji к состоянию с минимальнойпроекцией |j − ji. Тогдаj − N = −j,83то естьN.2Следовательно j может принимать либо целые, либо полуцелые значения.j=Замечание. Ранее было показано, что проекции m орбитальногомомента на ось z принимают только целые значения.
Орбитальныймомент – это угловой момент, связанный с движением частицы в пространстве. Если же речь идет о собственном (внутреннем) угловоммоменте частицы (классический аналог - вращение тела вокруг собственной оси), то нет причин отказываться от полуцелых значенийуглового момента.
Собственный угловой момент частицы обычно называют спином (от английского ”to spin” – ”вращаться”).Число j называют угловым моментом. Для любого j существуютследующие проекции углового момента:m = −j,−j + 1,...j,то есть всего 2j + 1 состояний |jmi при определенном угловом моменте j.5) Найдем λ(j). Для этого запишем:ĵ2 |jmi = λ(j)|jmi.Поскольку λ(j) не зависит от m, то положим m = mmax ≡ j. Тогда:jˆ2 |jji = λ(j)|jji.Ноjˆ2 |jmi = (ĵ+ ĵ− + ĵ− ĵ+ + ĵz2 )|jji = (2ĵ− ĵ+ + ĵz + ĵz2 )|jji == |так как ĵ+ |jji = 0| = (ĵz (ĵz + 1))|jji = j(j + 1)|jji.Поэтому λ(j) = j(j + 1).6) Вычислим αm и βm .
Заметим, что∗.αm = hjm|ĵ+ |j(m − 1)i = hĵ− jm|j(m − 1)i = hj(m − 1)|ĵ− |jmi∗ = βm84Поэтому требуется определить следующие ненулевые коэффициенты:β−j+1 , β−j+2 , . . . βj .Имеем, с одной стороны,ĵ+ ĵ− |jmi = βm ĵ+ |j(m − 1) = |βm |2 |jmi,с другой стороны,ĵ+ ĵ− |jmi =1 21(ĵ − ĵz2 + ĵz )|jmi = (j(j + 1) − m2 + m)|jmi.22Выберем фазы векторов состояний |jmi так, чтобы αm = βm былидействительными неотрицательными числами. Тогдаrrj 2 + j − m2 + m(j + m)(j − m + 1)== αm .βm =22То естьrĵ− |jmi =(j + m)(j − m + 1)|j(m − 1)i,2r(j − m)(j + m + 1)|j(m + 1)i,2p(ĵx ± iĵy )|jmi = (j ∓ m)(j ± m + 1)|j(m ± 1)i.ĵ+ |jmi =илиСпиновый моментСобственный угловой момент частицы называют спиновым моментом или, просто, спином. Спин обычно обозначают буквой s, тогда ŝ – оператор спина.1Рассмотрим частицу с s = .
Проекция спина σ на выделенную2111 1ось может принимать значение либо − , либо + . Векторы |iи222 21 1| − i образуют полный базис в пространстве спиновых состояний2 2частицы. Соответственно произвольное спиновое состояние частицыпредставимо в виде суперпозицииX 11|Ψi =| σih σ|Ψi.221σ=± 2851По общему правилу коэффициент разложения h σ|Ψi – это ампли2туда вероятности того, что измерение проекции спина на ось z всостоянии |Ψi даст значение σ. Набор таких амплитуд (в данномслучае – набор из двух амплитуд) – это спиновая волновая функцияили, иначе, спинор:°°1 1°°|Ψi ° °° h°22° ° α °°1+∗ ∗°°°°Ψ(σ) ≡ h σ|Ψi = °° = ° β ° , Ψ (σ) = kα β k.2° 1 1°° h − |Ψi °2 2Условие нормировки имеет вид:Ψ+ Ψ = |α|2 + |β|2 = 1.Найдем вид спиновых операторов в пространстве базисных век1торов | σi. По общему правилу операторы принимают вид матриц:211ŝx → (ŝx )σσ0 = h σ|ŝx | σ 0 i,2211ŝy → (ŝy )σσ0 = h σ|ŝy | σ 0 i,2211ŝz → (ŝz )σσ0 = h σ|ŝz | σ 0 i.22Напомним, что базисные векторы |sσi, где s =ными векторами операторов ŝ2 и ŝz : sˆ2 |sσi = s(s + 1)|sσi,1, являются собствен2ŝz |sσi = σ|sσi.Тогда для матричного оператора ŝz получаем:°°11 01°1 0 °°° ≡ 1 σ̂z .ŝz = h σ|ŝz | σ i = °222 0 −1 ° 2Аналогичным образом, пользуясь полученными выше соотношениями для операторов повышения ŝ+ и понижения ŝ− , для матричных86операторов ŝx и ŝy находим:111 ŝ+ + ŝ− 1 0| σi=ŝx = h σ|ŝx | σ 0 i = h σ| √22222°1 111 111° 0= √ h σ|ŝ+ | σ 0 i + √ h σ|ŝ− | σ 0 i = °222° 12 22 2°1 °° ≡ 1 σ̂ ,0 ° 2 x11 ŝ+ − ŝ− 1 01| σi=ŝy = h σ|ŝy | σ 0 i = h σ| √222i 2 2°1 111 111 ° 0 −i= √ h σ|ŝ+ | σ 0 i − √ h σ|ŝ− | σ 0 i = °222° i 0i 2 2i 2 2Матрицы σ̂x , σ̂y , σ̂z называются матрицами Паули.°° 1° ≡ σ̂y .° 2Лекция №14.
Квазиклассическое приближениеОписание движения в классической механике6U (x)Ep22m6?6U?x1x2xРассмотрим одномерное движение частицы с полной энергией Eв потенциальной яме U (x). Имеем:p2+ U (x),2mпоэтому для зависимости импульса от координаты получаем:pp(x) = ± 2m(E − U (x)), U (x) 6 E.E=87Знаки ”±” соответствуют движению вдоль и против оси Ox междуточками поворота x1 и x2 (x1 6 x 6 x2 ). Точки поворота определяются условием:U (x1 ) = U (x2 ) = E.Описание движения в квантовой механикеСтационарное уравнение Шредингера имеет вид:−~2 00ψ (x) + U (x)ψ(x) = Eψ(x),2mψ 00 (x) +p(x)2ψ(x) = 0,~2гдеp(x) ≡p2m(E − U (x)).Пусть U = const, тогда p = const, а волновая функция выглядитследующим образом:ψ(x) ∼ e±iиψ(x) ∼ e±px~|p|x~,еслиU < E,,если U > E.Описание движения в квантовой механике в квазиклассическом приближенииНаблюдение: чем больше E, тем больше имеется осцилляцийψ(x).
Рассмотрим характерную длину осцилляции (если p = const,то λ – длина волны де Бройля):λ=2π~,pилиλ≡λ~= .2πpУсловие применимости квазиклассического приближения: λ ¿ a, гдеa – характерная длина изменения потенциала U (x). Если это условиевыполненно, то потенциал слабо меняется на расстояниях порядка λи его можно считать постоянным. Если записать волновую функциюв формеψ(x) ∼ eiσ(x) ,88тоpxpaa∼= À 1.~~λРассмотрим три этапа построения решения в квазиклассическомприближении.1) Ищем ψ(x) в виде ψ = Ceiσ(x) . Тогдаσ(x) ∼ψ 0 = iσ 0 Ceiσ ,ψ 00 = −(σ 0 )2 Ceiσ + iσ 00 Ceiσ(x) .Подставляя ψ 00 в уравнение Шредингера и сокращая Ceiσ(x) , получаем уравнение на σ(x):−(σ 0 )2 + iσ 00 +p2= 0,~2илиp(x)2.~22) Выше уже было замечено, что в пределе λ ¿ a имеем: σ ∼aÀ 1.
Тогдаλσ1aσ0 ∼ ∼,aaλσ1 aσ 00 ∼ 2 ∼ 2 .aa λaПоэтому, в силу того что À 1, имеем:λ1 ³ a ´21 a(σ 0 (x))2 ∼ 2À 2 ∼ σ 00 (x).a λa λiσ 00 (x) − (σ 0 (x))2 = −Следовательно в пределе λ ¿ a в точном уравнении для σ(x) в левойчасти доминирует второе слагаемое.3) Ищем решение уравнения для σ(x) методом разложения в рядλпо малому параметру ¿ 1:aσ(x) = σ0 (x) + σ1 (x) + σ2 (x) + . . . ,гдеσ0 (x) ∼89a,λσ1 (x) ∼ 1 ,λ¿ 1,a...σ2 (x) ∼Подставляя это разложение в уравнение, находим:iσ000 (x) + iσ100 (x) + iσ200 (x) + . . .
−− (σ00 (x) + σ10 (x) + σ20 (x) + . . .)2 = −p(x)2.~2Заменяя слагаемые этого уравнения порядковыми оценками, получаем:µ¶ µ¶ µ¶1 a11 λ∼ 2+ ∼ 2 + ∼ 2+ ... −a λaa a·µ¶ µ¶ µ¶ ¸21a11λp2− ∼+ ∼+ ∼... ∼ − 2.aλaaa~Возводя выражение в квадратных скобках в квадрат и собирая члены одинакового порядка малости, находим: ³ ´µ¶2p(x)a 202:−(σ(x))=−, уравнение на σ0 (x),0 λ~³a´: iσ000 (x) − 2σ00 (x)σ10 (x) = 0, уравнение на σ1 (x),λ...a) решаем уравнение на σ0 (x):σ00 (x) = ±p(x),~Zxσ0 (x) = ±x0p(x0 ) 0dx + C1 ;~90б) решаем уравнение на σ1 (x):2σ00 (x)σ10 (x) = iσ000 ,σ10 (x) =µ q¶0iσ000 (x)i000 (x)|=(ln|σ(x)|)=iln|σ,002σ00 (x)2rσ1 (x) = i ln|p(x)|+ C2 .~λПолучаем, что с точностью до малых поправок σ2 ∼ ¿ 1 волноваяaфункция имеет вид:ψ(x) ' Ceiσ0 (x)+iσ1 (x)xR±i= Cex0p(x0 )0~ dx +C1qe− ln|p(x)|+C2~.U (x)6ψ1ψ2ψ3E123x1x2Окончательно в квазиклассическом приближении получаем:±iCψ(x) = p|p(x)|exRx0p(x0 )0~ dxx.Пусть имеется произвольная потенциальная яма U (x).
Рассмотрим процедуру построения в квазиклассическом приближении волновой функции ψ(x) состояния с энергией E. В классически запрещенной области x < x1 (левее левой точки поворота) имеем:ψ1 (x) = pA|p(x)|91e−xR1x|p(x0 )|dx0~,в классически разрешенной области x1 < x < x2 имеем:ψ2 (x) = pBp(x)−iexRx1p(x0 )0~ dx+pCp(x)xRiex1p(x0 )0~ dx,наконец, в классически запрещенной области x > x2 (правее правойточки поворота) имеем:−ψ3 (x) = pD|p(x)|exRx2|p(x0 )|dx0~.Ясно, что в области x1 < x < x2 амплитуды слагаемых волновойфункции, отвечающих движению вдоль и против оси Ox, по модулюодинаковы, т.е. |B| = |C|.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
