Контрольная (2) (1182387)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Теория игрКонтрольная работа 2015 года – РешенияЗадача 1. Рассмотрим приведенную ниже игру в нормальной форме, в которой игрок 1выбирает строки, а игрок 2 – столбцы.LC RU 3,0 0,0 3,5M 2,5 1,3 1,4D 1,2 4,4 0,3а. Проведите процесс последовательного исключения строго доминируемых чистыхстратегий с использованием чистых и смешанных стратегий.Подчеркнем сначала наилучшие ответы обоих игроков, что нам пригодится для поискаРН, а также укажет на возможные строго доминируемые стратегии. У игрока 2 каждаястратегия является наилучшим ответом на какую-то стратегию игрока 1, поэтому никакаястратегия игрока 2 не может быть строго доминируемой.

У игрока 1 только стратегия Mникогда не является наилучшим ответом, значит она кандидат на строго доминируемуюстратегию. Но в чистых стратегиях ее никто не доминирует. Рассмотрим смешаннуюстратегию  игрока 1:   x  U  (1  x)  D, 0  x  1 . Запишем ожидаемые выигрышиигрока 1 этой смешанной стратегии против чистых стратегий игрока 2 в дополнительнуюстрокуLCRU 303M 211D 140 3x  1  (1  x) 0  x  4(1  x) 3x  0  (1  x)Стратегия  будет строго доминировать стратегию M при выполнении условий:3 x  (1  x)  2  x 4(1  x)  1  x 3x  1  x 1.33,41,213 x  cтратегия  будет строго доминировать стратегию M.

После24удаления M получим игруLC RU 3,0 0,0 3,5D 1,2 4,4 0,3Теперь стратегия R строго доминирует стратегию L. Исключив L, получаемC RU 0,0 3,5D 4,4 0,3Итак, приБольше ничего исключить нельзя, поскольку оставшиеся стратегии несравнимы подоминированию.б. Найдите все равновесия Нэша (РН) в чистых стратегиях.Из пункта а. видно, что есть два РН в чистых стратегиях (U,R) и (D,C).в. Найдите все РН в смешанных стратегиях.Отметим, что строго доминируемая стратегия не может быть наилучшим ответом налюбую чистую или смешанную стратегию, поэтому исключение строго доминируемыхстратегий не влияет на поиск РН в смешанных стратегиях.C RpU 0,0 3,5D 4,4 0,31 pq1 qПоскольку нас интересует случай 0  p  1, 0  q  1 (РН в чистых стратегиях мы нашли, адругих РН в смешанных стратегиях в этой игре быть не может), то должен быть выполненпринцип уравниванияu2 ( pU  (1  p )D,C)  u2 ( pU  (1  p )D,R)  4(1  p)  5 p  3(1  p )  p u1 (U,qC  (1  q )R)  u1 (D,qC  (1  q)R)  3(1  q )  4q  q 3.71,61 53 4В исходной игре получили РН в смешанных стратегиях {( ,0, ), (0, , )} .6 67 7Задача 2.

Рассмотрим дуополию Курно с обратной функцией спроса P (Q)  1  Q , гдеQ  q1  q2 – суммарный выпуск продукции, поставляемой на рынок фирмами 1 и 2. Фирма1 имеет нулевые затраты, а затраты фирмы 2 на выпуск продукции q2 описываются1 2 q2 .2а. Постройте игру в нормальной форме для данной дуополии Курно, считая, что выигрышфирмы определяется ее прибылью.Естественно считать, что1Si  [0,1], i  1, 2 , u1 (q1 , q2 )  (1  q1  q2 )q1 , u2 (q1 , q2 )  (1  q1  q2 )q2  q22 .2Можно считать, что Si  [0, ) , но сразу видно, что при qi  1 выигрыш ui (q1 , q2 )  0 прифункцией c2 (q2 ) любом выпуске q j , j  3  i , поэтому стратегии qi  1 можно исключить, как строгодоминируемые (их строго доминирует стратегия qi  0 с нулевым выигрышем).б. Изобразите графически функции наилучших ответов для обеих фирм.Легко проверить, что наилучшие ответы задаются функциями1  q21  q1R1 (q2 ) , R2 (q1 ) .

Отметим, что при qi  [0,1] эти функции имеют значения23также из отрезка [0,1] .q21315R1 (q2 )R2 (q1 )2512q1в. Найдите все равновесия Нэша (РН) в данной игре.1  q21  q12 1Из решения системы q1 , q2 находим РН: ( , ) .235 5г. Проведите процесс последовательного исключения строго доминируемых стратегий.Из рисунка наилучших ответов следует, что чем дальше мы от жирной линии в обестороны по горизонтали при фиксированном q2 , тем меньше выигрыш игрока 2.Аналогично, чем дальше мы от жирной линии в обе стороны по вертикале при1фиксированном q1 , тем меньше выигрыш игрока 1.

Значит, стратегии q1  являются21строго доминируемыми стратегиями для фирмы 1 (их строго доминирует ), а стратегии21q2  являются строго доминируемыми стратегиями для фирмы 2 (их строго доминирует31). После исключения этих стратегий появятся новые строго доминируемые стратегии31 11 1q1  R1 ( )  и q2  R2 ( )  и так далее. В итоге последовательного исключения строго3 32 6доминируемых стратгеий в пределе останется РН.

Такие игры называют разрешимыми подоминированию.Задача 3. Два партнера по бизнесу A и B решают изменить права собственности на общуюфирму, которой они владеют в равных долях, но оценивают ее по-разному. A считает, чтофирма стоит 10, а B считает, что фирма стоит 6 (например, миллионов долларов). СначалаA называет цену p половины фирмы ( p {1, 2,3,4,5} ). B может либо продать своюполовину по цене p , либо купить принадлежащую A половину фирмы по той же цене p .Тот, кто купил вторую половину фирмы, становится ее полным владельцем, новыплачивает бывшему партнеру p .

Выигрыш нового полного владельца равен его оценкестоимости фирмы минус p . Выигрыш того, кто продал фирму, равен p .а) Изобразите эту ситуацию в виде игры в развернутой форме.Из начальной позиции, в которой право хода принадлежит игроку А, нужно нарисоватьпять дуг к пяти следующим (за начальной) вершинам, в каждой из которых право ходаимеет игрок В, причем он может выбрать одну из двух следующих финальных вершин,соответствующих действиям: купить и продать.Надеюсь, каждый сможет изобразить такой рисунок самосиоятельно, подставив вфинальные позиции соответствующие выигрыши игроков.Однако удобнее представить эту игру эквивалентным образом, как двухходовую игру наоснове статической игрыцена B купил B продал1(1,5)(9,1)3(3,3)(7,3)(5,1)(5,5)245(2,4)(4,2)(8,2)(6,4)Игрок А выбирает строку, после чего игрок В, зная этот выбор, выбирает столбец.

Вклетках стоят соответствующие выигрыши.б) Сколько стратегий у каждого из игроков в этой игре?Игрок А имеется 5 стратегий, а у игрока В их 25  32 . Напомним, стратегия это пландействий, который составляется до начала игры. Он должен быть полным, чтобы егоможно было передать автомату или адвокату. В этой динамической игре с совершеннойинформацией у игрок В имеется 5 вершин с правом хода и бинарным выбором в каждойвершине. В двухходовой игре число стратегий игрока В равно числу слов длины 5 с 0 или1 в каждой позиции, или числу отображений из пятиэлементного множества вдвухэлементное.в) Найдите все совершенные по подыграм РН (СПРН).Подчеркнем в каждой строке наилучший ответ за игрока В. При p  3 оба ответаравноценны, поэтому возникает два варианта: доброжелательный, когда В продает по цене3 и недоброжелательный, когда В покупает по цене 3.

В результате возникают два СПРН:1) А предлагает цену 3, В продает по цене не меньше 3 и покупает по остальным ценам, свыигрышами (7,3);2) А предлагает цену 4, В продает по цене не меньше 4 и покупает по остальным ценам, свыигрышами (6,4).г) Ответьте на вопросы а)-б) при условии, что цену называет партнер B.Дерево будет таким же, только порядок ходов и выигрыши изменятся. Теперь у В пятьстратегий, а у А их 32.

Опять представим эту игру как двухходовую, но теперь Ввыбирает строки, а А – столбцы (порядок выигрышей в скобках мы оставили прежним).цена A купил A продал1(9,1)(1,5)3(7,3)(3,3)245(8,2)(6,4)(5,5)(2,4)(4,2)(5,1)д) Ответьте на вопросы в) при условии, что цену называет партнер B.Теперь неоднозначность возникает после предложения цены 5. Из-за этого возникает дваСПРН:1) А покупает по любой предлагаемой цене, В предлагает цену 5, с выигрышами (5,5);2) А покупает, если цена не больше 4 и продает по цене 5, В предлагает цену 4, свыигрышами (6,4).е) Может ли при изменении порядка ходов сохраниться размер выигрышей в СПРН?Обоснуйте свой ответ.Из предыдущего следует, что выигрыши (6, 4) соответствуют СПРН при любом порядкеходов и при недоброжелательном партнере.Задача 4.

Рассмотрим игру G (,  ) с бесконечным повторением статической игры G :Stop GoStop 3,3 1,4Go4,1 0,0а. Найдите все РН в чистых и смешанных стратегиях в статической игре G .Не вдаваясь в подробности, скажем, что в статической игре есть два равновесия в чистыхстратегиях (Go, Stop) и (Stop, Go), а также РН в смешанных стратегиях: Go свероятностью ½ для обоих игроков. В РН в смешанных стратегиях ожидаемые выигрышиигроков равны 2.б. При каких значениях коэффициента дисконтирования  повторение выигрышей (3,3)будет соответствовать траектории СПРН в игре G (,  ) с использованием смешанныхстратегий?Поскольку нет такого РН в чистых стратегиях, которое годится для применения релейныхстратегий из Народной теоремы, то будем пользоваться смешанным РН: Stop покапартнер играет Stop и 0.5Stop+0.5Go, иначе. Надо проверить условие только невыгодностиотклонения,321 4  ,11 2поскольку сыграв Go, отклонившийся игрок вынужден будет в дальнейшем играть0.5Stop+0.5Go.в.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)