численное решение уравнения Лапласа продольно-поперечная схема (1181174)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Представьте алгоритм численного решения уравнения Лапласа с помощью итерационногометода расщепления (продольно-поперечная схема). Оцените количество арифметическихдействий, необходимое в случае использования сетки 10 3  10 3 с точностью   10 4 . 2u  2 u f  x, y  , u     x, y  можно считатьx 2 y 2Стационарную краевую задачупредельной для эволюционной начально-граничной задачи2u 2u 2  u a  2  2   F  x, y  , u     x, y  , u x, y,0  u 0  x, y  .ty  xЗная, что одним из эффективнейших методов решения задач теплопроводности с двумяпространственными переменными, является метод переменных направлений(Писмэна-Речфорда), запишем соответствующие этому двухслойному методу формулыприменительно к рассматриваемой задаче Дирихле для уравнения Пуассона:на первом этапе находится промежуточное значение uуравненийu 1k  2mnk  u mn  xx u 1k  2mn 1k  2mnкак решение системыk   yy u mn Fmn ;(1)на втором этапе решается система уравнений k 1u mn  u 1 k  2mn  xx u 1k  2mnk 1   yy u mn Fmn .(2)Замечание 1.

Главной особенностью, отличающей применение метода переменныхнаправлений к стационарным задачам, является то, что здесь шаги по времени(которое в записи стационарного уравнения явно отсутствует) следует расцениватькак итерационные шаги, т.е. индекс k означает не номер слоя пространственновременной сетки, а интерпретируется как номер итерации (чтобы подчеркнуть это,заключаем его в скобки).

В связи с этим к такому методу применяют названиеитерационный метод переменных направлений.Записывая уравнения (1), (2) в видеE   xx uE   uyy 1 k  2mnk 1mnk  E   yy u mn Fmn ,  E   xx u 1 k  2mn Fmn ,k 1убеждаемся в том, что для нахождения u mn(3)(4)необходимо решить две системы уравнений:первую с матрицей  E   xx  ивторую с матрицей E   yy .Замечание 2.

Таким образом метод (1), (2) целесообразно применять лишь тогда, когдаматрицы  E   xx  и E   yy гораздо легче обратить, чем исходную матрицуxx  yy  .В нашем случае – случае разностных аппроксимаций уравнений эллиптического типа –системы (3), (4) можно решить последовательным применением одномерных прогоноксначала по направлению x , затем по направлению y .Для оценки количества арифметических действий проведем исследование сходимостипродольно-поперечный метода (3), (4).Погрешности z 1k  2mn k 1 k 1u u mn и z mn u mn umn , где u mn решение сходной  yy u mn  f mn , удовлетворяют уравнениямсистемы  xx u mnE   xx zE   zyy 1 k  2mnk 1mn 1 k  2mnk  E   yy z mn, E   xx z 1 k  2mn(5),(6)из которых можно легко исключить промежуточное значение zk  1k  2mnи получить k 1уравнение, связывающее только z mn и z mn : 1.Уравнение для погрешности запишем в виде: k 1z mn E   yy  E   xx 11k E   xx E   yy z mnилиk 1k z mn Szmn,гдеS  E   yy  E   xx 1Оператор1E   xx E   yy  .S является самосопряженным, т.к.

 xx и  yy - самосопряженныеперестановочные операторы.Любое собственное число оператора S можно представить в виде pq гдеE    E    ,E    E    pxxqyypxxqyy p  xx  собственные числа оператора  xx , а q  yy  3 соственные числа оператора2 yy , т.е. E  pq E qh y 442 phx 2sinEsin222 X 2Y hxhyqh y 442 phx 2sinEsin222 X 2Y hxhy xx  yy   yy  xxphx42 p  xx  =  2 sin 22Xhxqhy43q  yy  =  2 sin 2.2Yhy1.(7)Из (7) видно, что при  0 все собственные числа  pq не превосходят по модулюединицу. Следовательно, S  max  pq <1 и метод (1), (2) сходится.p ,qДля собственных чисел оператора Лапласа справедливы оценки:24 0  l         L  2 .hX1  Введем обозначение     max.l ,L  1  Чтобы обеспечить наиболее быструю сходимость надо минимизировать коэффициент   : найдем оптимальное значение параметра  , обеспечивающее min    . Для этого1 x1      arg min max.Т.к.функцияyмонотонна4, тоl ,L  1   1 x(простойграфическийанализфункцииyприводиткрезультату)1   1  l 1  L max max , .

При этом минимум    достигается приl , L  1   1  l 1  L 1   ol1oL.Откуда1   o l 1   o L    o L  11   o l  ,т.е.1   ol1oL112221   o L  l    o lL  1   o  L  l    o lL или  o и o .lLlLрешим задачуlLlL1 При этом0=1 1 2l.L2S    0    02l  , так что z  k 1   0 z k  - погрешность за одну (двухэтапную) итерацию 1  2L l2убывает в  0    0   1  4раз; кроме того, справедлива оценкаLkkz  k 1   0 z 0  . Для достижения заданной точности    0 , прологорифмируемll    k 4, откуда числоLL1lnL итераций, необходимое для достижения заданной точности k .l 4последнее выражение: ln   k ln  04y = k ln 1  4 1  1  x   1  x   1201  x 21  x 22Для рассматриваемой задачи   10 4 .

Допустив, что X  Y  1 , получаем l   , при12  10 3 4 ln 10 2  10 3L 33 2==ln 10  1466.M  N  10 L  4  10  и k 4l 43За одну итерацию совершается примерно ( 2  5  10 операций умножения и деления)2  8  10 3 арифметических действий, т.е. всего 23453939 арифметических действий.ln.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы