численное решение уравнения Лапласа продольно-поперечная схема (1181174)
Текст из файла
Представьте алгоритм численного решения уравнения Лапласа с помощью итерационногометода расщепления (продольно-поперечная схема). Оцените количество арифметическихдействий, необходимое в случае использования сетки 10 3 10 3 с точностью 10 4 . 2u 2 u f x, y , u x, y можно считатьx 2 y 2Стационарную краевую задачупредельной для эволюционной начально-граничной задачи2u 2u 2 u a 2 2 F x, y , u x, y , u x, y,0 u 0 x, y .ty xЗная, что одним из эффективнейших методов решения задач теплопроводности с двумяпространственными переменными, является метод переменных направлений(Писмэна-Речфорда), запишем соответствующие этому двухслойному методу формулыприменительно к рассматриваемой задаче Дирихле для уравнения Пуассона:на первом этапе находится промежуточное значение uуравненийu 1k 2mnk u mn xx u 1k 2mn 1k 2mnкак решение системыk yy u mn Fmn ;(1)на втором этапе решается система уравнений k 1u mn u 1 k 2mn xx u 1k 2mnk 1 yy u mn Fmn .(2)Замечание 1.
Главной особенностью, отличающей применение метода переменныхнаправлений к стационарным задачам, является то, что здесь шаги по времени(которое в записи стационарного уравнения явно отсутствует) следует расцениватькак итерационные шаги, т.е. индекс k означает не номер слоя пространственновременной сетки, а интерпретируется как номер итерации (чтобы подчеркнуть это,заключаем его в скобки).
В связи с этим к такому методу применяют названиеитерационный метод переменных направлений.Записывая уравнения (1), (2) в видеE xx uE uyy 1 k 2mnk 1mnk E yy u mn Fmn , E xx u 1 k 2mn Fmn ,k 1убеждаемся в том, что для нахождения u mn(3)(4)необходимо решить две системы уравнений:первую с матрицей E xx ивторую с матрицей E yy .Замечание 2.
Таким образом метод (1), (2) целесообразно применять лишь тогда, когдаматрицы E xx и E yy гораздо легче обратить, чем исходную матрицуxx yy .В нашем случае – случае разностных аппроксимаций уравнений эллиптического типа –системы (3), (4) можно решить последовательным применением одномерных прогоноксначала по направлению x , затем по направлению y .Для оценки количества арифметических действий проведем исследование сходимостипродольно-поперечный метода (3), (4).Погрешности z 1k 2mn k 1 k 1u u mn и z mn u mn umn , где u mn решение сходной yy u mn f mn , удовлетворяют уравнениямсистемы xx u mnE xx zE zyy 1 k 2mnk 1mn 1 k 2mnk E yy z mn, E xx z 1 k 2mn(5),(6)из которых можно легко исключить промежуточное значение zk 1k 2mnи получить k 1уравнение, связывающее только z mn и z mn : 1.Уравнение для погрешности запишем в виде: k 1z mn E yy E xx 11k E xx E yy z mnилиk 1k z mn Szmn,гдеS E yy E xx 1Оператор1E xx E yy .S является самосопряженным, т.к.
xx и yy - самосопряженныеперестановочные операторы.Любое собственное число оператора S можно представить в виде pq гдеE E ,E E pxxqyypxxqyy p xx собственные числа оператора xx , а q yy 3 соственные числа оператора2 yy , т.е. E pq E qh y 442 phx 2sinEsin222 X 2Y hxhyqh y 442 phx 2sinEsin222 X 2Y hxhy xx yy yy xxphx42 p xx = 2 sin 22Xhxqhy43q yy = 2 sin 2.2Yhy1.(7)Из (7) видно, что при 0 все собственные числа pq не превосходят по модулюединицу. Следовательно, S max pq <1 и метод (1), (2) сходится.p ,qДля собственных чисел оператора Лапласа справедливы оценки:24 0 l L 2 .hX1 Введем обозначение max.l ,L 1 Чтобы обеспечить наиболее быструю сходимость надо минимизировать коэффициент : найдем оптимальное значение параметра , обеспечивающее min . Для этого1 x1 arg min max.Т.к.функцияyмонотонна4, тоl ,L 1 1 x(простойграфическийанализфункцииyприводиткрезультату)1 1 l 1 L max max , .
При этом минимум достигается приl , L 1 1 l 1 L 1 ol1oL.Откуда1 o l 1 o L o L 11 o l ,т.е.1 ol1oL112221 o L l o lL 1 o L l o lL или o и o .lLlLрешим задачуlLlL1 При этом0=1 1 2l.L2S 0 02l , так что z k 1 0 z k - погрешность за одну (двухэтапную) итерацию 1 2L l2убывает в 0 0 1 4раз; кроме того, справедлива оценкаLkkz k 1 0 z 0 . Для достижения заданной точности 0 , прологорифмируемll k 4, откуда числоLL1lnL итераций, необходимое для достижения заданной точности k .l 4последнее выражение: ln k ln 04y = k ln 1 4 1 1 x 1 x 1201 x 21 x 22Для рассматриваемой задачи 10 4 .
Допустив, что X Y 1 , получаем l , при12 10 3 4 ln 10 2 10 3L 33 2==ln 10 1466.M N 10 L 4 10 и k 4l 43За одну итерацию совершается примерно ( 2 5 10 операций умножения и деления)2 8 10 3 арифметических действий, т.е. всего 23453939 арифметических действий.ln.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.