Главная » Просмотр файлов » численное решение уравнения Лапласа продольно-поперечная схема

численное решение уравнения Лапласа продольно-поперечная схема (1181174)

Файл №1181174 численное решение уравнения Лапласа продольно-поперечная схема (численное решение уравнения Лапласа продольно-поперечная схема)численное решение уравнения Лапласа продольно-поперечная схема (1181174)2020-08-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Представьте алгоритм численного решения уравнения Лапласа с помощью итерационногометода расщепления (продольно-поперечная схема). Оцените количество арифметическихдействий, необходимое в случае использования сетки 10 3  10 3 с точностью   10 4 . 2u  2 u f  x, y  , u     x, y  можно считатьx 2 y 2Стационарную краевую задачупредельной для эволюционной начально-граничной задачи2u 2u 2  u a  2  2   F  x, y  , u     x, y  , u x, y,0  u 0  x, y  .ty  xЗная, что одним из эффективнейших методов решения задач теплопроводности с двумяпространственными переменными, является метод переменных направлений(Писмэна-Речфорда), запишем соответствующие этому двухслойному методу формулыприменительно к рассматриваемой задаче Дирихле для уравнения Пуассона:на первом этапе находится промежуточное значение uуравненийu 1k  2mnk  u mn  xx u 1k  2mn 1k  2mnкак решение системыk   yy u mn Fmn ;(1)на втором этапе решается система уравнений k 1u mn  u 1 k  2mn  xx u 1k  2mnk 1   yy u mn Fmn .(2)Замечание 1.

Главной особенностью, отличающей применение метода переменныхнаправлений к стационарным задачам, является то, что здесь шаги по времени(которое в записи стационарного уравнения явно отсутствует) следует расцениватькак итерационные шаги, т.е. индекс k означает не номер слоя пространственновременной сетки, а интерпретируется как номер итерации (чтобы подчеркнуть это,заключаем его в скобки).

В связи с этим к такому методу применяют названиеитерационный метод переменных направлений.Записывая уравнения (1), (2) в видеE   xx uE   uyy 1 k  2mnk 1mnk  E   yy u mn Fmn ,  E   xx u 1 k  2mn Fmn ,k 1убеждаемся в том, что для нахождения u mn(3)(4)необходимо решить две системы уравнений:первую с матрицей  E   xx  ивторую с матрицей E   yy .Замечание 2.

Таким образом метод (1), (2) целесообразно применять лишь тогда, когдаматрицы  E   xx  и E   yy гораздо легче обратить, чем исходную матрицуxx  yy  .В нашем случае – случае разностных аппроксимаций уравнений эллиптического типа –системы (3), (4) можно решить последовательным применением одномерных прогоноксначала по направлению x , затем по направлению y .Для оценки количества арифметических действий проведем исследование сходимостипродольно-поперечный метода (3), (4).Погрешности z 1k  2mn k 1 k 1u u mn и z mn u mn umn , где u mn решение сходной  yy u mn  f mn , удовлетворяют уравнениямсистемы  xx u mnE   xx zE   zyy 1 k  2mnk 1mn 1 k  2mnk  E   yy z mn, E   xx z 1 k  2mn(5),(6)из которых можно легко исключить промежуточное значение zk  1k  2mnи получить k 1уравнение, связывающее только z mn и z mn : 1.Уравнение для погрешности запишем в виде: k 1z mn E   yy  E   xx 11k E   xx E   yy z mnилиk 1k z mn Szmn,гдеS  E   yy  E   xx 1Оператор1E   xx E   yy  .S является самосопряженным, т.к.

 xx и  yy - самосопряженныеперестановочные операторы.Любое собственное число оператора S можно представить в виде pq гдеE    E    ,E    E    pxxqyypxxqyy p  xx  собственные числа оператора  xx , а q  yy  3 соственные числа оператора2 yy , т.е. E  pq E qh y 442 phx 2sinEsin222 X 2Y hxhyqh y 442 phx 2sinEsin222 X 2Y hxhy xx  yy   yy  xxphx42 p  xx  =  2 sin 22Xhxqhy43q  yy  =  2 sin 2.2Yhy1.(7)Из (7) видно, что при  0 все собственные числа  pq не превосходят по модулюединицу. Следовательно, S  max  pq <1 и метод (1), (2) сходится.p ,qДля собственных чисел оператора Лапласа справедливы оценки:24 0  l         L  2 .hX1  Введем обозначение     max.l ,L  1  Чтобы обеспечить наиболее быструю сходимость надо минимизировать коэффициент   : найдем оптимальное значение параметра  , обеспечивающее min    . Для этого1 x1      arg min max.Т.к.функцияyмонотонна4, тоl ,L  1   1 x(простойграфическийанализфункцииyприводиткрезультату)1   1  l 1  L max max , .

При этом минимум    достигается приl , L  1   1  l 1  L 1   ol1oL.Откуда1   o l 1   o L    o L  11   o l  ,т.е.1   ol1oL112221   o L  l    o lL  1   o  L  l    o lL или  o и o .lLlLрешим задачуlLlL1 При этом0=1 1 2l.L2S    0    02l  , так что z  k 1   0 z k  - погрешность за одну (двухэтапную) итерацию 1  2L l2убывает в  0    0   1  4раз; кроме того, справедлива оценкаLkkz  k 1   0 z 0  . Для достижения заданной точности    0 , прологорифмируемll    k 4, откуда числоLL1lnL итераций, необходимое для достижения заданной точности k .l 4последнее выражение: ln   k ln  04y = k ln 1  4 1  1  x   1  x   1201  x 21  x 22Для рассматриваемой задачи   10 4 .

Допустив, что X  Y  1 , получаем l   , при12  10 3 4 ln 10 2  10 3L 33 2==ln 10  1466.M  N  10 L  4  10  и k 4l 43За одну итерацию совершается примерно ( 2  5  10 операций умножения и деления)2  8  10 3 арифметических действий, т.е. всего 23453939 арифметических действий.ln.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
190,39 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее