Исследование сходимости (теорема Лакса-Рябенького) (1181166)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Исследуйте по сходимости схему Алена — Чена:u mn +1 − u mnτu mn −1 − 2u mn +1 + u mn +1=h2для численного решения линейного одномерного уравнения теплопроводности.ƒ Схема для уравнения ut –uxx = 0 реализована на шаблоне.ƒ Явными схемами называются такие разностные схемы для эволюционных уравнений,когда данные на следующем слое по времени находятся непосредственно из данных напредыдущем слое без решения алгебраических систем уравнений.n +1ƒ Несмотря на то, что в правую часть входит значение функции u m , вычисляемое наn +1верхнем слое, разностное уравнение разрешается относительно u m :un +1mτ (u mn −1 + u mn +1 ) + h 2 u mn.=(h 2 + 2τ )ƒ Определение 1.

Говорят, что решение uτ сходится к решению и при τ → 0 , еслиu τ − U τ → 0, где U τ — проекция точного решения на разностную сетку; причем, еслиимеет место оценка u τ − U τ ≤ cτ p , c ≠ c(τ ), то сходимость имеет порядок p.ƒ Теорема (П. Лакса – В. С. Рябенького) Решение линейной разностной задачисходится к решению дифференциальной, если разностная задача устойчива иаппроксимирует дифференциальную задачу на ее решении. При этом порядокаппроксимации совпадает с порядком сходимости.Аппроксимация.Определение 2. Говорят, что разностная задача аппроксимирует дифференциальную на еерешении, если норма невязки, возникающей при действии разностного оператора насеточную функцию — проекцию на сетку точного решенияrτ = L τU τ − Fτстремиться к нулю при τ → 0; если выполнена оценкаrτ ≤ ck τ p , ck ≠ c1 ( τ), (константа, входящая в правую часть неравенства не зависит отсеточных параметров), то имеет место аппроксимация порядка p.Для исследования схемы на аппроксимацию разложим проекции точного решения наnсетку в ряд Тейлора в окрестности одного из сеточных узлов, например u m :u mn+1 = u mn + τ (ut′ )m +nτ2(utt′′ )nm + O(τ 3 ) ,2!nh2h3h 4 IVnnnnn′′ )m + (u xxxx )m + O(h 5 ) .u m±1 = u m ± h(u ′x )m + (u ′xx′ )m ± (u ′xxx2!3!4!n +1nnn +1nu m − u m u m−1 − 2u m + u m+1τn′−()(utt′′ )nm + O(τ 2 ) =u+tm2τ2!h⎞⎛ n⎛ n h2nh 4 IVτ2nnn5 ⎞′′′2⎜⎜ u m + (u xx )m + (u xxxx )m + O(h )⎟⎟ − 2⎜⎜ u m + τ (u t )m + (u tt′′ )m + O(τ 3 )⎟⎟2!4!2!⎠ =⎠ ⎝⎝2h(u ′)nm +τ2!(u ′′)nm +τ23!(u ′′′)nm + O(τ 4 )- (u ′′)nm+2h 2 IV n(u )m + O(h 3 )+ τ2 (ut′ )nm + O⎛⎜⎜ τ 2 ⎞⎟⎟ =12h⎝h ⎠O(τ ) + O (h 2 )+ O⎛⎜ τ2 ⎞⎟ - схема является условно аппроксимирующей.⎝h ⎠Устойчивость.Определение 3.

Говорят, что разностная задача является устойчивой, если изсоотношенийL τu τ − Fτ = ξτ , Lτv τ − Fτ = ητ ,следует в смысле выбранной нормыu τ − v τ ≤ c2 ( ξ τ + ητ ) , причем эта оценка равномерная, c2 ≠ c2 (τ).Для исследования устойчивости воспользуемся спектральным признаком. Подставляем вразностное уравнение решение в виде гармоники Фурье, умноженной на коэффициентnn imαперехода u m = λ e . Получаем уравнение для спектра оператора послойного переходаλ − 1 e −iα − 2λ + e iα=.τh2После очевидных преобразований, вводя обозначениеσ=τh2- аналог числа Куранта дляпараболических уравнений (иногда его называют параболическим числом Куранта),получаем:λ=1+ 2τh2cos ατ ⎞⎛⎜1 + 2 2 ⎟h ⎠⎝сходится (абсолютно)..

Имеет место строгая сходимостьОтвет: схема сходится условно, порядок O⎛⎜τ , h 2 , τ ⎞⎟ .h2 ⎠⎝λ (α ) ≤ 1 - схема.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)