Несобственные интегралы (1177101), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Приведённые примеры показывают, что переход от к и применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от расходится, решение задач значительно усложняется. Пример: исследовать на сходимость интеграл .

1. Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по частям: .

Для последнего интеграла , т.е. он сходится абсолютно, следовательно, исходный интеграл сходится.

2. Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что расходится. Так как , то , для последнего интеграла, по доказанному выше, существует конечный предел при , для предыдущего - нет, следовательно, расходится.

Вывод - исходный интеграл сходится условно.

Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака:

признак сходимости Абеля: пусть функции и определены в промежутке , причём 1. интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл сходится (условно или абсолютно);

2. монотонна и ограничена: .

Тогда интеграл сходится.

признак сходимости Дирихле: 1. пусть функция интегрируема в любом конечном промежутке , и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела ): ;

2. монотонно стремится к нулю при : .

Тогда интеграл сходится.

Применим, например, признак Дирихле к . Здесь , , условия признака выполнены, поэтому интеграл сходится условно.

12.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций

(несобственные интегралы второго рода).

12.2.1. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции.

12.2.1.1. Особенность на левом конце промежутка интегрирования. Пусть функция определена на полуинтервале , интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при . Несобственным интегралом от по отрезку называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится. Примеры:

17. - интеграл расходится;

18.

- интеграл сходится.

12.2.1.2. Применение формулы Ньютона-Лейбница. Если для функции на полуинтервале существует первообразная , то , и сходимость интеграла определяется наличием или отсутствием конечного предела . Будем писать просто , имея в виду, что если соответствующий предел конечен, то интеграл сходится, в противном случае - расходится. Примеры:

19.

20. (интеграл расходится).

В следующих дальше случаях неограниченности функции будем поступать аналогично.

12.2.1.3. Особенность на правом конце промежутка интегрирования. Пусть функция определена на полуинтервале , интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при . Несобственным интегралом от по отрезку называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.

1
2.2.1.4. Особенность во внутренней точке промежутка интегрирования. Пусть функция определена на отрезке , имеет бесконечный предел при стремлении аргумента к какой-либо внутренней точке этого отрезка: , интегрируема по любому отрезку, не содержащему точку . Несобственным интегралом от по отрезку называется . Интеграл сходится, если оба эти пределы существуют и конечны, в противном случае интеграл расходится.

12.2.1.5. Несколько особенностей на промежутке интегрирования. Этот случай сводится к предыдущим. Пусть, например, функция имеет бесконечные пределы при стремлении аргумента к внутренним точкам отрезка ( ) и правому концу , и интегрируема по любому отрезку, не содержащему эти точки. Тогда несобственный интеграл определяется как

. Здесь - произвольные точки, удовлетворяющие неравенствам .

Пример: 21.

, и интеграл расходится, так как все три предела бесконечны. Решение с применением формулы Ньютона-Лейбница: - расходится, так как первообразная обращается в бесконечность в точке .

12.2.3. Признаки сравнения для неотрицательных функций. Как и для несобственных интегралов первого рода, для интегралов второго рода вводится понятие абсолютной сходимости, позволяющее в ряде случаев свести исследование сходимости интегралов от произвольных функций к исследованию сходимости интегралов от неотрицательных функции, и рассматриваются признаки сравнения для таких интегралов. Ввиду того, что принципиальная сторона вопроса изучена на случае интегралов первого рода, кратко перечислим основные факты. Будем предполагать, что подынтегральная функция имеет особенность на левом конце промежутка интегрирования.

12.2.3.1. Признак сравнения. Пусть функции и интегрируемы по любому отрезку и при удовлетворяют неравенствам . Тогда:

если сходится интеграл , то сходится интеграл ;

если расходится интеграл , то расходится интеграл

В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, и в этом случае обычно берётся интеграл от степенной функции типа . Этот интеграл сходится, если , и расходится, если :

12.2.3.2. Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции и интегрируемы по любому отрезку и пусть существует конечный . Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Сравнение интеграла со "стандартным" интегралом в предельной форме даёт правило: если при неотрицательная функция - бесконечно большая порядка роста ниже первого по сравнению с , то сходится; если имеет порядок роста единица или выше, то интеграл расходится. Примеры:

22. . Так как при , и интеграл от большей функции сходится, то данный интеграл сходится;

23. . При  , , интеграл расходится;

24. . При  , , интеграл расходится;

25. . При  , интеграл расходится.

12.2.4. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций определяется аналогично тому, как это было сделано для несобственных интегралов по бесконечному промежутку ( 12.1.4) , а именно: несобственный интеграл от неограниченной функций называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл , и условно сходящимся, если интеграл сходится, а интеграл расходится (если сходится , то тоже обязательно сходится). Пример: Исследовать на сходимость интеграл:

26. Так как , то исходный интеграл сходится абсолютно.

При отсутствии абсолютной сходимости установить условную сходимость можно с помощью признаков Абеля и Дирихле:

Признак Дирихле. Интеграл сходится, если: 1).функция непрерывна и имеет ограниченную первообразную на ; 2).функция непрерывно дифференцируема и монотонна на , причём .

Признак Абеля. Интеграл сходится, если: 1).функция непрерывна на и интеграл сходится; 2).функция ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на , то есть имеет конечный предел: .

136

Характеристики

Список файлов лекций