Погрешности (1175217), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Прирасчетах следует предварительно округлять значение x до трёх значащих цифр.Вторая часть проблемы заключается в том, чтобы указать доверительный интервал, в котором с достаточно большой надежностью лежит истинное значение измеряемой величины. В пределах этого интервала должна лежать большая часть6уже проведённых измерений (и измерений, которые мы могли бы провести в будущем).

Следовательно, этот интервал должен быть связан с шириной функциираспределения погрешностей (см. пунктирную кривую на РИС. 1). В математической статистике эта ширина характеризуется параметром, называемым дисперсией случайной величины. Корень квадратный из дисперсии определяет среднеквадратичное отклонение от среднего. Если погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения, который описывается функцией Гаусса, тосреднеквадратичное отклонение можно будет найти по формулеnS( x  x )2ii 1n(n  1).(Заметим, что вопрос о том, можно ли считать данное распределение погрешностей нормальным, требует дополнительных исследований, которые в рамках лабораторного практикума не проводятся.)Так как в лабораторном практикуме проводятся серии с малым числом измерений(n = 3 или n = 5), то в качестве случайной погрешности следует взять погрешность,равнуюnΔxсл  t P ,n( x  x )2i 1in(n  1).Здесь tP, n – коэффициент Стьюдента, который зависит как от числа измеренийn, так и от доверительной вероятности P.

Доверительную вероятность, как правило, принимают P = 0,9; 0,95; 0,99. В рядовых физических экспериментах обычновыбирают P = 0,95.Значения коэффициента Стьюдента можно найти по ТАБЛ. 1.Таблица 1PtP, 2n=2tP, 3n=3tP, 5n=5tP, 7n=7tP, 10n = 100,90,950,996,31412,70663,6672,9204,3039,9252,1322,7764,6041,9432,4473,7071,8332,2623,2504. Суммарная погрешность прямого измеренияЕсли мы определили предельную погрешность измерения хинстр, связанную с использованием того или иного измерительного прибора, а также нашли случайнуюпогрешность Δxсл, то тогда суммарная погрешность прямого измерения даётсяформулойΔx  (Δxсл )2  (Δхинс )2 .При расчётах следует предварительно округлять значения случайной и предельной погрешностей до трёх значащих цифр.Результат прямого измерения следует записать в следующей форме:х  х  Δх , Р = 0,95.7Это означает, что с доверительной вероятностью 0,95 истинное значение х лежитот х  Δх до х  Δх .При записи результатов измерений необходимо пользоваться следующими правилами округления:1.

Число, выражающее суммарную погрешность измерения, округляется до однойзначащей цифры; если же оно начинается цифрой 1 или 2, то округление проводят до двух значащих цифр.2. Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой тогоже порядка, что и числовое значение абсолютной погрешности.3. При округлении целых чисел все отброшенные при округлении цифры заменяются множителем 10m, где m – число отброшенных цифр. (Например, еслиΔх = 1327, то следует записать Δх = 13102, если же Δх = 851, то после округления получим Δх = 9102.)4.

Если при округлении первая отбрасываемая цифра больше или равна пяти, топредыдущая, сохраняемая цифра, увеличивается на единицу. В противномслучае эта цифра не изменяется.ПРИМЕРЕсли после расчётов сказалось, что погрешность измерения равна 0,47; 0,064;0,128; 342, то следует записатьΔx1  0,5 ; Δx2  0,06 ; Δx3  0,13 ; Δx4  3  102 .Если при этом измеряемая величина равна соответственно 3,425; 12,8356; 9,025;8395,7, то результат необходимо представить в формеx1  Δx1  3,4  0,5 ; Р = 0,95;x2  Δx2  12,84  0,06 ; Р = 0,95;x3  Δx3  9,03  0,13 ; Р = 0,95;x4  Δx4   84  3  102 ; Р = 0,95.5.

Погрешности при косвенных измеренияхПри косвенных измерениях искомое значение физической величины вычисляютна основании известной зависимости между этой величиной и величинами, полученными в результате прямых измерений (например, объём куба V = a3). Зная этуфункциональную зависимость F = f(x), можно найти её приращение при маломизменении аргументаdfdF  dx .dx x  xПриближённо считая, что dF  ΔF, a dx  Δx, получимΔF dfdx Δx ,x x(например, для куба ΔV  3a 2  Δa ).Если же искомая величина зависит от многих переменных F = f(x, y, z) (например,объём бруска V = a·b·c), то приращение каждого из аргументов даёт свой вклад вприращение функции8ΔFx FFFΔy ; ΔFz Δz .Δx ; ΔFy yzxF F,и т.

д. – частные производные, которые берутся по тем же правилам,x yчто и обычные производные, но при этом остальные аргументы рассматриваютсякак константы. Так как Fx, Fy и т. д. являются в конечном итоге случайными величинами, то среднеквадратичную погрешность косвенного измерения рассчитывают по той же формуле, что и для прямого измерения:ЗдесьΔF  ΔFx2  ΔFy2  ... ,или222 F  F  F ΔF     Δx 2     Δy 2     Δz 2  ... . x  z  y Так, в случае объёма брускаΔV  (b  c )2  Δa2  (a  c )2  Δb2  (a  b )2  Δc 2 .Особо следует остановиться на погрешностях универсальных констант, трансцендентных и иррациональных величин, справочных данных и данных установки,входящих в расчетные формулы.

Погрешности универсальных констант – это погрешности округления их значений. Например, если для числа π = 3,141593…взять значение π = 3, то его погрешность π = 0,1416; если же принять π = 3,1 топогрешность π = 0,0416 и т. д. При этом возникает вопрос, с каким числом значащих цифр следует взять его значение.Число π и другие иррациональные величины следует выбирать так, чтобы относительная погрешность этих величин, вносимая при их округлении, не влияла насуммарную относительную погрешность, вносимую величинами, полученнымиэкспериментально.В учебной лаборатории при надёжности измерений 0,95 для используемых приборов относительная погрешность, как правило, больше 1%.

В этом случае достаточно указывать в константах 5 значащих цифр, например π = 3,1416;g = 9,8156 м/с2. Относительная погрешность констант в этом случае считаетсяравной нулю.Для справочных данных и для данных установки (если их погрешность не оговорена) погрешность составляет 5 единиц разряда, следующего после последнейзначащей цифры. Так, если на установке задан момент инерции маятникаI0 = 0,12 кгм2, то ΔI0 = 0,005 кгм2.Если в расчётах используются не все значащие цифры справочных данных, то вкачестве погрешности этой величины берётся погрешность округления. Очевидно, что значения справочных данных необходимо брать такими, чтобы их относительной погрешностью можно было пренебречь.9ПРИМЕРЧислоАвогадроNA = (6,022092  0,000006)1023 1/моль.ЕсливзятьNA = 6,01023 1/моль, то погрешность ΔNA = 0,021023 1/моль, её же относительнаяΔNAвеличина 0,003 , т.

е. составит около 3%.NA6. Пример статистической обработки результатов измеренийПусть необходимо найти длину окружности диска. Допустим, мы пять раз измерили его диаметр с помощью штангенциркуля, точность нониуса которого равна0,1 мм. Результаты измерений сведём в ТАБЛ. 2.Таблица 2№Di, мм1234512,812,612,412,612,5Среднее12,58Среднее значение диаметра диска равноDi, мм–0,22–0,020,18–0,020,08—5DDii 1512,8  12,6  12,4  12,6  12,5 12,580 мм .5Зная D , найдём ΔDi  D  Di .

Соответствующие данные занесены в ТАБЛ. 2. Случайную погрешность найдём по формуле Стьюдента. Учитывая, что при n = 5 иР = 0,95 коэффициент Стьюдента t = 2,776, получимnΔDсл  t P ,n(ΔD )i 12in(n  1) 2,7760,222  0,022  0,182  0,022  0,082 0,1841 мм .5(5  1)С учётом округления ΔDсл = 0,18 мм.Так как диаметр измерялся штангенциркулем, то в качестве инструментальнойпогрешности средства измерения возьмём величину ΔDинс = 0,1 мм.В результате суммарная погрешность прямого измерения22ΔD  ΔDсл ΔDинс 0,182  0,12  0,2059 ммили с учётом округления ΔD = 0,21 мм.Окончательный результат прямого измерения представим в видеD  12,58  0,21 мм , Р = 0,95.Длина окружности L  πD.

Погрешность косвенного измеренияΔL  π2ΔD2  D2Δπ 2 ,относительная погрешность этого измерения1022ΔL ΔD   Δπ    .L D   π Относительная погрешность при измерении диаметраΔD 0,21 0,017 .D 12,58Следовательно, число π следует подобрать так, чтобыудовлетворяет значение π = 3,14. При этомΔπΔD. Этому условиюπDΔπ 0,00048 .

ТогдаπL  πD  3,14  12,58  39,5012мм .ΔL ΔD 0,017 , то ΔL  L  0,017  0,672 или с учётом округленияLDΔL = 0,7 мм. Тогда окончательный результат измерения можно представить в видеТак какL  39,5  0,7 мм , Р = 0,95.7. Указания к составлению графиковРезультаты измерения физических величин часто удобно представить в видеграфиков, наглядно показывающих связь между физическими величинами.Для построения графиков удобно пользоваться миллиметровой бумагой, придерживаясь следующей последовательности:1. Выбрать масштабы для откладываемых на осях величин.2.

Характеристики

Список файлов учебной работы