Гидравлический удар в трубе постоянного поперечного сечения (1163112)
Текст из файла
ЛВЛИЧЕСЖЯ У Р В ТРУБЕ ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ Цель задачи: Ознакомиться с явлением г авлического а а и его приближенной теорией. О е елить зкспе иментально око ость волны повышенного авления и вели- чин повышения авления. С авнить пол ченные зкспе- иментальные анные с ассчетными. Оп е елить место пов е ения т боп ово а. Гидравлическим ударом называется явление, возникающее в трубопроводе, по которому течет вода, и быст ом пе ек ытии его задвижкой. Вблизи задвижки из-за внезапной остановки воды образуется область повышенного давления. Вода вследствие сжимаемости останавливается не сразу во всем трубопроводе, а слой за слоем; поэтому область повышенного давления не сразу заполняет всю трубу, а распространяется по ней, захватывая все новые и новые.
частицы воды. В трубе существует область, где все еще продолжается течение со скоростью И. и давлением р, , и область, где течение уже прекратилось и К = О , а о=р~~/~ . Если перекрытие задвижкой трубопровода произошло "мгновенно," то граница между этими областями представляет собой поверхность, при переходе через которую частицы скачком меняют значения своих параметров ( И на И=О на Я и уо на ~0, ) /~о ). Эта пове хность называется пове хностью азвыва.
Она перемещается по трубопроводу от задвижки навстречу потоку с некоторой скоростью ~~о . За ней давление и плотность больше, чем перед ней. Такая пове хность аз ыва называетсях а ной волной или волной сжатия. Если стенки трубы могут деформироваться, то под действием повышенного давления они расширятся, а если давление возрастет очень сильно, то труба может разрушиться. Поэтому расчет трубопровода на прочность следует вести с учетом давлений, которые могут возникнуть в нем при гидравлическом ударе. Величины повышения давления ~ударного давления) и скорости ударной волны ~- можно рассчитать теоретически. Метод рассчета был предложен Н.ЕЛуковским в 1899 г., и изложен в его работе "О гидравлическом ударе в водопроводных трубах".
Основываясь на его идеях, изложим кратко теорию гидравлического удара и получим формулы для рассчета повышения давления р — Р:. и скорости фронта волны Й.. У авнения не аз ывности и вижения. Для любого состоящего все время из одних и тех же частиц жидкости объема ук итхеальнст ххиакости нри отсутствии вненник нассо- Полагая последовательно 4 равным ~ и ~~И. и замечая, что поверхностный интеграл в правой части уравнения движения можно по формуле Гаусса-Остроградского преобразовать в объе1иый, получим х,Ц ярГ ~заик ') ( д э~ зх / ,у,(с л,й3 Отсюда, ввиду произвольности ~д~ Я и Хл ® , следует ~3У~ р~:'Щ ~уГи М~ ~А ' РХ С помощью уравнения неразрывности (1) уравнение движения легко привести к обычному виду ~Ъ ра -~ Я/) (2) — ~~ъ У авнение состояния Уравнение состояния имеет вообще вид /з-- р® 1 ) ,где — абсолютная температуоа, или Р =- ~О~~~,.
5'/ , где Я вЂ” энтропия ( лЗ= -- — , осу'- — внешний приток тепла, подводимый к единице при обратимом процессе). Переход частиц через сильную ударную волну с большим перепадом давления и плотности является необратимым адиабатическим .Г ( сс~ --С ) процессом и энтропия частиц за фронтом сильной ударной волны у5~~ больше их энтропии д5'„ перед ним. аОднако вода является слабосжимаемой жидкостью, даже значительные изменения давления вызывают в ней незначительные изменения плотности При распространении ударных волн не слишком большой интенсивности в воде, ~как показывают екопериментаквные данные, ~ (( а поэтому переход частиц через волну с не очень большим перепадом ДаВЛЕНИИ В ВОДЕ МОЖНО СЧИтатЬ ИЗЭНтРОПИЧЕСКИМ (УС~~ ~лиС~Р ~="~Р ~"УУ-'Фб волну — слабой, а течение при наличии такой волны непрерывным.
(На фронте слабой волны терпят разрыв не сами характеристики движения, а их производные). Уравнение состояния воды в применении к задаче о гидравлическом ударе можно взять в виде или в виде /Э-/Э,= К где К=~~ф( — модуль обьемного адиабатического сжатия. Для воды и й="атмосферном давлении и температуре 20 С к= — 2г-~0';5 . Три уравнения (1), (2), (3) содержат в общем случае четыре неизвестные функции У ,,Ь , Я , Я от Хк (. . Если труба абсолютно жесткая, то уравнения (1), (2), (3) составляют замкнутую систему, если же нет, то систему (1)-(3) — необходимо дополнить уравнением,,определяющим изменение поперечного сечения Я трубы в зависимости от давления, действующего на ее стенки~ У авнение оп е еляю~ ее гейо м ию т бы.
При выводе этого уравнения будем предполагать, что материал трубы находится ~в авновесии под действием внутреннего давления Р (давление за волной) и внешнего атмосферного давления у~0р„~, которое примем пщблияенно равным давление ,Дт, перед волной. Выделим элемент турбы в виде полукольца (см. рис.2) и будем считать, что при деформации он испытывает простое удлинение, сле- дуя закону Гука, (4) где б — напряжения на торцах, ~. — модуль Юнга, Š— относительное удлинение ОК-.~~ О Я. Яд Я" К.
а. Ж Установим приближенно связь между силами от разности давлениИ ~Ь- О„ ; стремящимися разорвать трубу (~о> /эо ), и упругими напряжениями 0 , возникающими в материале трубы и препятствующими разрыву. Труба длинная (ее длина 42м), до деформации имеет постоянное поперечное сечение ( ЛЙ-О = 25,4 мм), давления ,Р и ~О действуют по нормали к ее поверхности и при равновесии постоянны, поэтому по принципу Сен-Вензна все сечения трубы, расположенные на некотором удалении от задвижки и фронта волны, находятся в одинаковых напряженно-деформиРис.2 руемых состояниях. Если ф — лобов севелы~нов давление, Л вЂ” тобой ~~~~н еый контур, ограничивающий поверхность 2 ' и плоскости поперечного сечения, то всегда верно равенство ~р и ЫЛ = фй~ в -~й.
К ) б = й Следовательно, сумма сил давления Р по внутренней полуокрмжнос- ти полукольца АСВ (см. рис.2) уравновешивается силами давления б распределенными по диаметру АВ или погонной (отнесенной к единице длины трубы) силой ~ОГЯ. , а суъвяа сил давления Р,„= ~О по внешней полуокружности — погонной силой -/Ъ2Ж+д) ), где Я вЂ” толщина стенок трубы. Силы упругих напряжений Я(ГР равны разности и по закону Рука (4) ,,е -р. ф+ ~'~ у.~- + 1 ° Или, так как — ф— ~Яс ~.
(р .р ) ~IТ бй ]'. р. 1Е Отсюда (5) 9 ае иа"еле (Х = Оу у еедеикки, и будем считать, кек уке укаеыеелссь выше, что давление во всей трубе в начальный момент времени постоянно, равно б и мало отличается от атмосферного давления, т.е. пренебрежем давлением ~о~А. в баке. Начало отсчета времени выберем в момент закрытия задвижки. В этом случае начальные условия будут следующими: при ~.=О (или 6 = О ) для всех Х('0(-"с'4.Х или всех У (о С~'(4~~ ) 1) Р-~(~., (или Р=~) ), 2) и.= — Р (или Й=- — ), а краевые следующими: 1) на задвижке, т.е.
при А'= 0 (или Я = О ), при любых 1. (или1) и=О (или У=О ); 2) в конце трубы, постоянно сообщающимся с атмосферой, при любых1 (или любых Г ) ~О = ~0 (или У= О ). На основании этих условий, пользуясь свойством (12 а) системы ( ), легко получить полное решение задачи.
На рис. 3 в плоскости (12) ( Я' (, ) пунктиром нарисованы характеристики системы (12), отмечены комбинации искомых функций % и Я , сохраняющие вдоль них свои значения, штрихпунктирной линией проведена прямая (конец трубы, имеющий свободную поверхность) и выписаны начаньные и краевые условия. Ноно, что если Клюбая точка в области Ойб,то, т,к. на I~М ~+~~=~бги1~ а в И'У=О и 6!=- —" то на Р1ру' ~~~+У-=- —, аналогично вдольРМ РМ+у ~/, (в /~~~ ~Я О и Я о) точке Л Й= - — У= 0 .
~сли взять Я„ точки в других областях, то одна или обе характеристики, проходящие через эти точ ки, могут не попасть на ось Я ,где заданы начальные данные, а попадут либо на линию ~.* = —,либо на ось ~= О Я В этих случа4 для определения постоянных„ которым равны инварианты Римана вдоль соответствующих характеристик, следует использовать краевые условия и серию характеристик, пересекающих ось и" \Ф ,Я С или линию у= — и попадающих в ууу ь Я конце-концов а ось ~; в области заданных е Рис.З 10 начальных денных антов Римана на жя.
Например, для точки // /~ в БАС вдольйй'Я~-2 равно неизвестной постоянной, но вдоль К"'К" О~Р=ж Ф"=- — ~ в д"' Я>- т е в Лl У=- —" и следовательно, на уу"-~+Я=+ ", вдоль/Ь У~-О= — В (по начальным данным) и, следовательйо, для любой точки М в ВАС, как ив ОАЭИ~~--О, а Й -— Г ьг / Для точки ~ в САД имеем: на:~" ~ по начальным данным ./ М ~Д~ ~/, с ~ 'З~~ в ~~ имеем / = © и ос--О . Определяя таким образом с-) постоянные во всех необходимых областник ~см. рис.4),получим: Сб) Рис. 4 в области 1 ~~+ У= —— 0~ Я..
У~ Р-6=— Й., /'/" д т.к ~~= а ~~ Ь"=~О~~ ~ У = ~о у ф — ~р Д= — — или „т,е. е,Я~р ~=Ь или / ~ *'~ в области 2 ~-~ д ~А р ц К в области 3 Р6=~ й.. Я Я Оо , т.е. У= — Ц .= 0 или /о ' ~'-' =У 4. 11 в области 4 д~ жл у~+У=- '~- ~пли,о-~». = — ~~. ~~ б~ ~'» = ~ ' » Ы :".е Р= — -— а. с в области 5 повторяются значения области 1 и т.д., так ьак построенное решение задачл имеет период ~В/~ в переменных ~-2 7: и ф~ в переменных »~ ~-.
. На правом рис.4 отмечены области решения и проведены характеристикл -Х'+4„1 = 6~1М~- в плоскости Ху С .. С помошью полученного решения легко ответить на вопрос: как будет меняться течение в данном месте трубы, например в точке Я (см. рис.4) с течением времени. ((ля ответа на зтот вопрос доста- Л »1! точно прОВ8стл прямую /м ч и проследить по ней знач8нля И» ~ в последовательности областей, соответствукщей росту Ч.
, Лз того же пештения легко пол аются Йо м лы Н Е "' для ско- рости распространения ударной волны и максимального повьппения дав- ления при гидравлическом ударе (перепада даВлений В ударной Волне). )'ейлствительно, сразу видно, что максимальный перепад давлений ра- вен /-~ /.~о ~~(у С ~~" С (13) где Я . определяется формулой (10) и представляет собой скорость распространения ударнол вольи, идущей от задвижки к баку, перед которой и.
= — и„, р =р и за которой (л =О и р=/э +(3ь/,й,, так как в любой месте трубы .4 на расстоянлл Лд от задвижки (см. рис. 4б) до момента времени ,,=;~ ~ =-,(Я)„; —..'— ." наблюдается невозмуцеыное движение, а в момент ~-у параметры те,хд у чения меняются скачком ( '~ = ~у'~~ , где ~~ — момент прихода в .Хд ударной волны). Ьиюетик также, ито толкование вели'лины Ы„.
как скорости рао- лростронении слабни вовыуи(евший (скорости ввука в Лефорт1ируеыой тру- бе, заполненной водой), легко получить сразу из системы уравнений (11). Если первое уравнение проди~ференцировать по Х' , и вы- честь из второго, предварительно продифференцированного по то для И-(Х» С) получится волновое уравнение ф ~ -~2(, ~я'= а. Р1' точке А) устанавливается постоянное давление /5 =/Э +ф44.и скорость и= О .
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
