Ответы на 3 основных вопроса (1162569)
Текст из файла
1×èñëåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà â ïðÿìîóãîëüíèêåàññìîòðèì ðàçíîñòíóþ çàäà÷ó ñ îäíîðîäíûìè (íóëåâûìè) ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè:vi1;j+2vv +1ijhi21+;jv1i;jv0 = v+2vijh22vi;j+1=f ;i;j(1)= 0; v 0 = v 2 = 0;i = 1; 2; : : : ; N1 1; j = 1; 2; : : : ; N2 1:N1 jjÇäåñüiiNh1 = l1 =N1 ; h2 = l2 =N2 .Ïðåîáðàçóåì ðàçíîñòíóþ çàäà÷ó (1) ê îïåðàòîðíîé îðìå. Îáîçíà÷èì ÷åðåçv = v (ih1 ; jh2 )0 6 i 6 N1 ; 0 6 j 6 N2 è ñîîòâåòñòâóþùóþ ðåøåíèþ(1), ò.å. v (ih1 ; jh2 ) = v . Àíàëîãè÷íî ÷åðåç f = f (ih1 ; jh2 ) îáîçíà÷èì ñåòî÷íóþ óíêöèþ,ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðàâîé ÷àñòè (1), ò.å.
f (ih1 ; jh2 ) = f . Ïðè ýòîì ïîòðåáóåì, ÷òîáû íêöèÿf îáðàùàëàñü â 0 íà ãðàíèöå ïðÿìîóãîëüíèêà : f0 = f 1 = 0; f 0 = f 2 = 0. ×åðåç ñåòî÷íóþ óíêöèþ, îïðåäåëåííóþ ïðèijijjN jiiNkîáîçíà÷èì îïåðàòîðû8>>><u +1 + 2 uh21i(1u) = >ij;jij>>:i1;j,ui;j+1+2u(2u) = >h>>:1 6 i 6 N1 1,1 6 j 6 N2 1,08>>><ijuâ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ;ij21ui;j1,1 6 i 6 N1 1,1 6 j 6 N2 1,0â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.Òîãäà ðàçíîñòíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à (1) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â îïåðàòîðíîé îðìåBv 1 + 2 v = f:(2)Îáîçíà÷èì ÷åðåç H0 ïðîñòðàíñòâî ñåòî÷íûõ óíêöèé, îáðàùàþùèõñÿ â 0 íà ãðàíèöå ïðÿìîóãîëüíèêà.
Ââåäåì â H0 ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåv;v =122 1X1 NXN1i=1jv 1 (ih1 ; jh2 ) v 2 (ih1 ; jh2 ) h1 h2 :=11àññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ñåòî÷íûõ óíêöèée 1 2 (ih1 ; jh2 ) =k ;k2 sin k1ih1 sin k2jh1 2 sin k1i sin k2j ;l1 l2l1l2l1 l2N1N21 6 k1 6 N1 1; 1 6 k2 6 N2 1:Êàæäàÿ óíêöèÿ ek1 ;k2 ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé óíêöèåé îïåðàòîðà A, à ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáñòâåííîåçíà÷åíèå1k ;k2Áîëåå òîãî, óíêöèèfek1 ;k2k h4k h4= h2 sin2 12 l 1 + h2 sin2 22 l 2 :11g îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó:e 1 2; en1 ;n2k ;k1; (k ; k ) = (n ; n );= 0; (k1; k2) 6= (n1 ; n2):1 212Òàêèì îáðàçîì, îíè îáðàçóþò áàçèñ â ïðîñòðàíñòâåè ðåøåíèå22H0 è ëþáàÿ ñåòî÷íàÿ óíêöèÿ, â òîì ÷èñëåv îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ (2), ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â ñëåäóþùåì âèäå:2 1X1 NXN1v ih1 ; jh2 =v~ 1 2 e 1 2 (ih1 ; jh2 );k kk1=1k2k k=11 6 i 6 N1 1; 1 6 j 6 N2 1;v~ 1ãäå âåëè÷èíûk k2 åå êîåèöèåíòû Ôóðüå.
Ïðè ýòîìv~ 1k ;k2= u; e 1k ;k2=2 1X1 NXN1v (ih1 ; jh2 ) e 1 2 (ih1 ; jh2 ) h1 h2 ;k k=1ji=11 6 k1 6 N1 1; 1 6 k2 6 N2 1:Ñåòî÷íàÿ óíêöèÿ f , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðàâîé ÷àñòüþ ñèñòåìû (1) òàêæå ìîæåò áûòü ðàçëîæåíàâ ðÿä:f ih1 ; jh2 =2 1X1 NXN1k kk1à åå êîýèöèåíòû Ôóðüå2 1X1 NXN1=1jk2k k=1f~ 1k k2îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî.vèfðàçëîæåíèÿ â óðàâíåíèå (2) è ïîëó÷èì: 1 2 v~ 1 2 e 1 2 (ih1 ; jh2 ) = f (ih1 ; jh2 ) =k ki=11 6 i 6 N1 1; 1 6 j 6 N2 1;Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå äëÿBv =f~ 1 2 e 1 2 (ih1 ; jh2 );k k2 1X1 NXN1k k=1k k=1i1 6 k1 6 N1 1; 1 6 k2 6 N2 1:2f~ 1 2 e 1 2 (ih1 ; jh2 );j=1k kÈç ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè óíêöèév~ 1 2 =k ke1k k2ñëåóåò, ÷òîf~ 1 2; 1 6 k1 6 N1121; 1 6 k2 6 N2 1:k kk kÎòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è (2) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â ñëåäóþùåì âèäå:v ih1 ; jh2 =2 1X1 NXN1f~ 1 2e (ih ; jh );12 12 1 2k kk kk1=1k2=1k k1 6 i 6 N1 1; 1 6 j 6 N2 1:Ñîðìóëèðóåì ýòàïû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (2) ïî îïèñàííîìó àëãîðèòìó.
Ïðè ýòîì 2 (ih1 ); 1öåëåñîîáðàçíî ââåñòè ñëåäóþùèå âñïîìîãàòåëüíûå âåëè÷èíû:kk k2èv 2 (ih1 ).kÒîãäàâû÷èñëåíèÿ ìîæíî îðãàíèçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:IÂû÷èñëåíèå (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ) êîýèöèåíòîâ Ôóðüå ñåòî÷íîé óíêöèè f (ïðÿìîåïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå): 2 (ih1 ) =X1N2kjf (ih1 ; jh2 ) sin=1k2 j;N21 6 k2 6 N2 1; 1 6 i 6 N1 1;12=X1N1k k 2 (ih1 ) sink=1ik1 i;N11 6 k1 6 N1 1; 1 6 k2 6 N2 1:IIÂîññòàíîâëåíèå ñåòî÷íîé óíêöèèÔóðüå):X1k1 isin;4k4kN1 h12 h2122sin+ sin1 =1h212 l1 h222 l21 6 i 6 N1 1; 1 6 k2 6 N2 1;2 1X4k jv (ih ; jh ) =v (ih ) sin 2 ;v 2 (ih1 ) =kv ïî åå êîýèöèåíòàì Ôóðüå (îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå1N1k k2kN12N1 N2k2k2=11N21 6 i 6 N1 1; 1 6 j 6 N2 1:32Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâííèÿ ñïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè ïðÿìîóãîëüíèêå = f(x; y); 0 < x < l1 ; 0 < y < l2gðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ êðàåâóþ çàäà÷ó:uk11 (x; y )xxuk12 (x; y )xyuk21 (x; y )yxuk22 (x; y )yy= f (x; y); (x; y) 2 (3)u(x; y ) = 0; (x; y ) 2 :Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîýèöèåíòû óðàâíåíèÿ îòâå÷àþò óñëîâèþ ýëëèïòè÷íîñòè:12X2i=1iè ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå62Xi;ji;j6 2k (x; y ) ij=12X 2 ; (x; y ) 2 i=1i1 ; 2 íå çàâèñÿò îò òî÷êè (x; y ).Äëÿ àïïðîêñèìàöèè ñòîÿùèõ â (3) ïðîèçâîäíûõ ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñåòî÷íûå îïåðàòîðû:1 v = 2 k11v v = 1 k22v 2 v = 1 k12v 2 v = 12 k21 vxxxyyyxyyyxx4+ k11vy+ k22vx+ k12v xyx;;x yy yx;+ k21v xy:Ïðèâåäåì ÿâíûé âèä îïèñàííûõ îïåðàòîðîâ.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé óíêöèè u=u(x + h1 ; y )u = u(x; y ) èìååì:k11 (x; y ) + k11 (x + h1 ; y )2k (x; y ) + k11 (x + h1 ; y ) + k11 (x; y ) + k11 (x h1 ; y )u(x; y ) 112 +u(x h1 ; y) k11 (x; y) + k11(x h1 ; y) h21;2 u = u(x; y + h2) k22(x; y) + k22(x; y + h2)2k (x; y ) + k22 (x; y + h2 ) + k22 (x; y ) + k22 (x; y h2 )u(x; y ) 222 k (x; y ) + k22 (x; y h2 )+u(x; y h2 ) 22h22 ;2xxyyÎáîçíà÷èìAv = ( + + + ) v:xxxyyxyyÏîñòðîåííûé îïåðàòîð àïïðîêñèìèðóåò äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð çàäà÷è (3) ñî âòîðûìïîðÿäêîì.àññìîòðèì çàäà÷ó î ðåøåíèè ñèñòåìûAv = f:(4)Åñëè ìàòðèöà K (x; y ) ñèììåòðè÷íà, ò.å. k12 (x; y ) = k21 (x; y ), òî îïåðàòîð A ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûìè âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà:1 Bv; v6 Av; v 6 2 Bv; v :Ýòî ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (4) èòåðàöèîííûé ïðîöåññ:Bvv+1nn+ Av = fn+1n53Èòåðàöèîííûå ìåòîäû ñî ñïåêòðàëüíîýêâèâàëåíòíûìè îïåðàòîðàìè.Ïóñòü äàíà ìàòðèöàB,vòàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ âåêòîðîââûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ:èç ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîñòðàíñòâàm1 (Bv; v ) 6 (Av; v ) 6 M1 (Bv; v );Bu = è, êðîìå òîãî, ñèñòåìà óðàâíåíèéìîæåò áûòü ðåøåíà ñ îòíîñèòåëüíî íåáîëüøèìèM1 =m1 M=m äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìûâû÷èñëèòåëüíûìè çàòðàòàìè.
 ñëó÷àå, êîãäàAv = b(5)ìîæåò îêàçàòüñÿ öåëåñîîáðàçíûì ïðèìåíåíèå èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà âèäàBvv+1nn+ Av = b: n = 0; 1; 2; : : :(6)n+1nÈòåðàöèîííûå ìåòîäû òàêîãî òèïà ïðèíÿòî íàçûâàòü èòåðàöèîííûìè ìåòîäàìè ñî ñïåêòðàëüíîýêâèâàëåíòíûìè îïåðàòîðàìè,à ìàòðèöàA.Bíàçûâàåòñÿïåðåîáóñëàâëèâàòåëåìäëÿ ìàòðèöûÎòìåòèì, ÷òî íà êàæäîì øàãå èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (6) ñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèå ìîæåòáûòü íàéäåíî èç ñîîòíîøåíèÿv=vB1Ïðè ýòîì íåò íåîáõîäèìîñòè âû÷èñëÿòü ìàòðèöó B1äîñòàòî÷íî ðåøèòü ñèñòåìó+1nBy = Avn+1nb.n(A vb) :n. Äëÿ íàõîæäåíèÿ âåêòîðà y= B 1 (A vnàññìîòðèì íåêîòîðûå êîíêðåòíûå ïðèìåðû ðåàëèçàöèè îáùåãî èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà(6). Âñå îíè îòëè÷àþòñÿ òîëüêî âûáîðîì ïàðàìåòðîâ n .
Ïðè ýòîì îöåíêó ïîãðåøíîñòè óäîáíååïðîèçâîäèòü íå âk k2-íîðìå, à â ýíåðãåòè÷åñêîé íîðìå kvk = (Av; v)1 2 .Ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè.=A ýòîì ñëó÷àå = 2=(M1 + m1 )nïîãðåøíîñòè ìåòîäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà: n+1 zA6M1 m1M1 + m16kz k :nAïðè âñåõ çíà÷åíèÿõn.Äëÿb)×åáûøåâñêèé äâóñëîéíûé ìåòîä.Ôèêñèðóåòñÿ ÷èñëî èòåðàöèé n, à â êà÷åñòâå èòåðàöèîííûõïàðàìåòðîâ áåðóòñÿ =jM1 + m1Îöåíêà ïîãðåøíîñòè ÷åðåç2+M12m1osn øåãîâ:kz k 6 2 q2nnA 0z AÌåòîä ñêîðåéøåãî ãðàäèåíòíîãî ñïóñêà.
(2j2n1)1; j = 1; 2; : : : ; n:ppmM11; q1 = p:pM + m11Íà êàæäîì øàãå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà n+1 âûáèðàåòñÿòàêèì, ÷òîáû ïðè äàííîì çíà÷åíèè v n ìèíèìèçèðîâàòü âåëè÷èíó kz n+1 kA . Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå(r ; B 1r ) +1 =(AB 1 r ; B 1r ) ;nnnnnïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà îöåíêà: n+1 zA6M1 m1M1 + m17kz k :nA.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
