Частные случаи гипотезы для независимых бернуллиевских случайных величин ai и вектора x единичной длины (1162487)
Текст из файла
Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåòèìåíè Ì.Â. ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊóðñîâàÿ ðàáîòà×àñòíûåP ñëó÷àè ãèïîòåçûP (|ni=1 ai xi |6 1) >12äëÿ íåçàâèñèìûõ áåðíóëëèåâñêèõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ai è âåêòîðà kxk = 1.Âûïîëíèë ñòóäåíò 405 ãðóïïûØíóðíèêîâ È.Í.ïîä ðóê. àêàäåìèêà ÐÀÍÔîìåíêî À.Ò.14 àïðåëÿ 20081Îáçîð ðàáîòû: ñòàòüå 2001 ãîäà À.Áåí-Òààë, À.Íåìèðîâñêèé è Ê.Ðîñ äîêàçàëè, ÷òî äëÿ âñÿêîãî âåêòîðà(x1 , x2 , .
. . , xn ) åäèíè÷íîé äëèíû x21 + x22 + · · · + x2n = 1 è âñÿêèõ íåçàâèñèìûõ â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûõ áåðíóëëèåâñêèõ âåëè÷èí a1 , a2 , . . . , an (ò.å. P (ai = 1) = P (ai = −1) = 12 ) âåðíî íåðàâåíñòâîP (|nXi=1ai xi | 6 1) >13è âûäâèíóëè ãèïîòåçóP (|nXai xi | 6 1) >i=11.2 íàñòîÿùåé ðàáîòå äîêàçàíû:Òåîðåìà 1 ãèïîòåçà äëÿ n = 4, 5, 6.Òåîðåìà 2 ãèïîòåçà äëÿ x1 = x2 = · · · = xn = √1n äëÿ ëþáîãî n > 3.Ïðèâåäåíà ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ãèïîòåçû è òåîðåì.Ê ñîæàëåíèþ, ìåòîä ëèíåéíûõ è êâàäðàòè÷íûõ îöåíîê â Ò.1 è àíàëîã öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîéòåîðåìû â Ò.2 äàëüíåéøèõ ïðîäâèæåíèé â ãèïîòåçå íå äàþò.Ôîðìóëèðîâêè è äîêàçàòåëüñòâà:Òåîðåìà 1. Ïóñòü n = 4, 5 èëè 6.
Ïóñòü a1 , a2 , . . . , an íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû ñ ðàñïðåäåëåíèåì P (ai = 1) = P (ai = −1) = 21 , ãäå i = 1, 2, . . . n. Òîãäà äëÿ âñÿêèõ÷èñåë x1 , x2 , . . . , xn ñî ñâîéñòâîì x21 + x22 + · · · + x2n = 1 âåðíî íåðàâåíñòâîP (|nXai xi | 6 1) >i=11.2¤ Ïðè n = 4, 5 äîáàâèì ôèêòèâíûå ÷èñëà x5 = x6 = 0, x6 = 0 è ñâåäåì Ò.1 ê ñëó÷àþ n = 6. Çàìåíèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íà âñåâîçìîæíûå íàáîðû èç 6 ÷èñåë +1 èëè -1 êàæäîå. Ñôîðìóëèðóåì,ê ÷åìó ñâåëàñü Ò.1:Óòâåðæäåíèå 1. Äëÿ âñÿêèõ 6 ÷èñåë x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ñî ñâîéñòâîì x21 +x22 +x23 +x24 +x25 +x26 = 1êîëè÷åñòâî N (x) íàáîðîâ 6 ÷èñåë a1 , .
. . , a6 , êàæäîå èç êîòîðûõ +1 èëè -1, íå ïðåâîñõîäèò 16.Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 1 ñîñòîèò â ôèêñèðîâàíèè è óïîðÿäî÷èâàíèè ÷èñåë x1 > x2 > x3 >x4 > x5 > x6 , è â ïîñëåäîâàòåëüíîì ðàññìîòðåíèè òðåõ ñëó÷àåâ:Ñëó÷àé à). Âåðíî −x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 6 1, òîãäà äëÿa1 , . .
. , a6 , ÷òî³P âñÿêîãî´ íàáîðà³´P6P6P66ax>1âåðíîa=1èx+(−a)x<1,ò.ê.2>2x=ax+x+(−a)x.ii11ii1ii1iii=1i=2i=1i=2Ïîýòîìó ÷èñëî N (x) íå ïðåâîñõîäèò ïîëîâèíû îò êîëè÷åñòâà âñåâîçìîæíûõ íàáîðîâ èç 5 ÷èñåë +1èëè -1 êàæäîå, ò.å. N (x) 6 16.Òåïåðü, èñõîäÿ èç −x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 > 1, ïîëó÷èì ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà.qx2 +x2 +x2 +x23 +x41234Ïî íåðàâåíñòâó Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî äëÿ ÷èñåë x1 , x2 , x3 , x4 : x1 +x2 +x66 12 ,44ïîýòîìó x1 + x2 + x3 + x4 6 2 è x2 + x4 6 1. Ïðåäïîëîæèâ x1 + x2 − x3 + x4 − x5 − x6 > 1 è ñëîæèâñ −x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 > 1, ïîëó÷èì ïðîòèâîðå÷èå ñ x2 + x4 6 1, îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òîx1 + x2 − x3 + x4 − x5 − x6 < 1 Pè ÷òî ñóùåñòâóåò íå áîëåå îäíîãî íàáîðà a1 , . . .
, a6 , ñîñòîÿùåãî èç íå6ìåíåå ÷åì òðåõ -1, òàêîãî ÷òî i=1 ai xi > 1. Îòìåòèì, ÷òî òàêèõ íàáîðîâ ai ñ íå áîëåå, ÷åì îäíîé-1, ðîâíî 7, è äëÿ îöåíêè N (x) îñòàëîñü ðàññìîòðåòü íàáîðû ñ äâóìÿ -1.Ñëó÷àé á). Âåðíî −x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 > 1 è −x1 + x2 + x3 + x4 + x5 − x6 6 1.
Ïðåäïîëîæèâäîïîëíèòåëüíî x1 − x2 + x3 − x4 + x5 + x6 > 1 è îãðóáèâ ïðåäïîëîæåííîå äî x1 + x6 > 1, ïåðåìíîæèìäâà íåðàâåíñòâà, x6 > 1 − x1 è x2 + x3 + x4 + x5 + x6 > 1 + x1 :1 − x21 = x22 + · · · + x26 > x6 (x2 + · · · + x6 ) > 1 − x21 .Ïðîòèâîðå÷èå ïðèâåëî ê ñîâîêóïíîñòè −x1 +x2 +x3 +x4 +x5 −x6 6 1 è x1 −x2 +x3 −x4 +x5 +x6 6 1,îòêóäà èñêîìûõ íàáîðîâ ai ñ äâóìÿ -1 íå áîëåå 8, è òîãäà N (x) 6 7 + 8 + 1 = 16.Ñëó÷àé â). Âåðíî −x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 > 1 è −x1 + x2 + x3 + x4 + x5 − x6 > 1. Ïðåäïîëîæèâx1 + x2 − x3 + x4 − x5 + x6 > 1 è ñëîæèâ ñ −x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 > 1, ïîëó÷èì ïðîòèâîðå÷èåñ x2 + x4 6 1.
Ïîýòîìó èñêîìûõ íàáîðîâ ai ñ äâóìÿ -1 íå áîëåå 6, è òîãäà N (x) 6 7 + 6 + 1 = 14 ¥Òåîðåìà 2. Ïóñòü n > 3 íàòóðàëüíîå ÷èñëî è x1 = x2 = · · · = xn =√1 .nÏóñòü a1 , a2 , . . . , aníåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ðàñïðåäåëåíèåì P (ai = 1) = P (ai = −1) = 12 ,ãäå i = 1, 2, . . .
n. Òîãäà âåðíî íåðàâåíñòâî2P (|nXai xi | 6 1) >i=11.2¤ Çàìåíèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íà âñåâîçìîæíûå íàáîðû ai èç n ÷èñåë √+1 èëè -1 êàæäîå. ÅñëèPn√√â íàáîðå ai ðîâíî k ÷èñåë -1 è i=1 ai > n, òî (n − k) − k > n, ò.å. k < n−2 n . Êîëè÷åñòâî íàáîðîâkai ñ ðîâíî k ÷èñëàìè -1 ðàâíî Cn , ïîýòîìónX√ai > n) =2n · P (X√06i< n−2 ni=1Cni .Ñôîðìóëèðóåì, ê ÷åìó ñâåëàñü Ò.2:Óòâåðæäåíèå 2. Äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ n > 3 âåðíî íåðàâåíñòâî:XCni < 2n−2√n06i< n−2Ïëàí äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 2: Äëÿ 3 6 n 6 15 âû÷èñëèì îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà ÿâíî.Äëÿ n > 16 ïåðåïèøåì íåðàâåíñòâî ÷åðåç ñóììó ”öåíòðàëüíûõ” Cnk , îöåíèì ïîñëåäíèå ïî ôîðìóëåt2RÑòèðëèíãà, à èõ ñóììó ÷åðåç e− 2 dt.Øàã 1.
Ñîñòàâèì òàáëèöó èç îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà è êîëè÷åñòâà ó÷àñòâóþùèõ â ñóììèðîâàíèè Cni äëÿ 3 6 n 6 15 :n√3 4 5 6 7 8910 1112131415d n− n e 1 1 2 2 3 33445566 P2iCn1 1 6 7 29 37 46 176 232 794 1093 3473 49442n−22 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192√nÄëÿ n > 16 ïîëüçóÿñü Cni = Cnn−i è n − d n−2b√e = b n+2√n+ nc2Xnc, ïåðåïèøåì òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî:Cni > 2n−1√n− nei=d2√θnØàã 2. Îöåíèì Cni , èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ñòèðëèíãà n! = ( ne )n · ( 2πne 12n ), ãäå 0 6 θn 6 1, èôóíêöèþ ýíòðîïèè H(x) = −x log2 x − (1 − x) log2 (1 − x) :!µ¶ Ãsθn−iθiθnn!nn2πn−−iCn == i·· e 12n 12i 12(n−i) >i!(n − i)!2πi2π(n − i)i · (n − i)(n−i)Ãrµ³´!r³ ´¶1ni2n− 3 4i(n−i)nH n> 2···e.π4i(n − i)Ââåäåì âåëè÷èíó t =44i(n − i)=n¡n2in− 12 , âûðàçèì ÷åðåç íå墡¢+ nt n2 − nt= n(1 − 4t2 )nÎïðåäåëèì ôóíêöèþîòðåçîê ïîëó÷èëñÿ èç |i − n2 | 6´³1nH t+ 2 −n2=2f (t) :=√n2 .è îöåíêó´³1nH t+ 2 −n2·eCni >12nt2 − 3n(1−4t2 )√1−4t2³´r12nH t+ 22π1− 3n(1−4t2 )e·pn(1 − 4t2 ).1íà îòðåçêå |t| 6 √ ,2 nÏðåîáðàçóåì³ ³´³´´11n − 2 +t log2 (1+2t)− 2 −t log2 (1−2t)=e3³´n1+2t− 2 ln(1−4t2 )−ntln 1−2t,äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè1h(t) := ln(f (t)) = 2nt −− ntln3n(1 − 4t2 )µ21 + 2t1 − 2t¶−n+1ln(1 − 4t2 ),2ïðè1|t| 6 √ .2 n1Ôóíêöèÿ h(t) ÷åòíàÿ è h(0) = − 3n, ïîêàæåì h0 (t) > 0 ïðè 0 6 t 6 2√1 n , ñãðóïïèðîâàâ ñëàãàåìûåè ðàçëîæèâ âòîðóþ ãðóïïó â ðÿä ïî ñòåïåíÿì 2t :µ¶ µ¶2t8t2t1 + 2t=h0 (t) =−+4nt−nln()+1 − 4t23n(1 − 4t2 )21 − 4t21 − 2t! µµµ¶ ÃX¶ ÃX¶!∞∞∞2l+12X2t(2t)2t2n(2t)441(1 −) +(2t)2k+1 − 2n>+(2t)2k+1 1 −> 0,1 − 4t23n(1 − 4t2 )2l + 11 − 4t2 452k + 3k=0òàê êàê n > 16, 0 6 t 618l=1k=0è n(2t)2 6 1.
Èç ÷åòíîñòè h(t) è íåîòðèöàòåëüíîñòè h0 (t),06t61√2 n11ïîëó÷èì h(t) > h(0) = − 3nè f (t) > f (0) = e− 3n äëÿ |t| 6 2√1 n , îòêóäà ñëåäóåòr√n2 −2nt2 − 1nin3nCn > 2e, ïðè n|t| = |i − | 6.πn22x2x2x2Øàã 3. Èç (e− 2 )00 = (x2 − 1)e− 2 ïîëó÷èì âûïóêëîñòü ââåðõ ôóíêöèè e− 2 ïðè |x| < 1. ÄëÿRbx2e− 2−(a+b)28dx 6 (b−a)e, ïîñêîëüêó êðèâîëèíåéíàÿëþáîãî îòðåçêà [a, b], ãäå −1 6 a < b 6 1, âåðíîaµ¶2xòðàïåöèÿ (x, y)|a 6 x 6 b, 0 6 y 6 e− 2â ñèëó âûïóêëîñòè ñîäåðæèòñÿ â òðàïåöèè, îòñåêàåìî鵶(a+b)2x2−8êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó y = e− 2 â òî÷êå a+b,eîò ïîëóïîëîñû (a 6 x 6 b, 0 6 y) .
Àíà2(a+b)2R 1 − x22 dx 6 (b − a)e−8ëîãè÷íî ïîëó÷èì äëÿ −1 6 a < a+b<1<bíåðàâåíñòâî. Îáîçíà÷èìe2a√√n− nn+ nìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë îòðåçêà [d 2 e, b 2 c] çà In è äëÿ êàæäîãî i ∈ In îáîçíà÷èì ÷èñëî√2 n( ni − 12 ) çà xi , òîãäà ïî øàãó 2 ïîëó÷èì:r2X2 − 1 X − xiine 3nCn > 2e 2.πni∈Inx2ie− 2Îöåíèâàÿ1min(xi + √ ,1)Z n√n2ñíèçó ÷åðåçXi∈Ine−x221max(xi − √ ,−1)nrCnin>2i∈InZ1 −1e 3n2πe−e−12711 ,ïîýòîìóPi∈In227Z42x2dx >−1+ √1n>dx.1è n > 16 ïîëó÷èì: e− 3n > 1 −3Z√12πx22−1+ √1n1− √1nè22çàìå÷àÿ maxi∈In xi > 1− √ , mini∈In xi < 1+ √ :nn1− √1nØàã 4.
Èñïîëüçóÿ e−x > 1 − x ïðè 0 > x > 1, π <qdx,Cni > 2n−1q1−3−477 8781 8087x2dx =264> 2n−1¥Çàìå÷àíèå 1. Ïðè n → ∞ âåðíî2−nX√06i< n−2Cnin1→√2πZ−1t2e− 2 dt ≈ 0.158 < 0.25−∞413n>4445èÇàìå÷àíèå 2.  êíèãå À.Í. Øèðÿåâà ”Âåðîÿòíîñòü” òîì 1, ïàð. 11 çàäà÷à 2: Ïóñòü ak íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ Eak = 0, Dak = σ 2 , E|ak |3 < ∞. Òîãä௯¯¯Zx23¯ a1 + · · · + an¯t1−2¯P (¯ 6 √cE|a1 |√√)−edt¯¯33σ n2π¯¯ σ n(1 + |x|)−∞×òî äîêàçûâàåò òåîðåìó 2 ïðè óñëîâèè ìàëîé êîíñòàíòû c.Ïåðåôîðìóëèðîâêà ãèïîòåçû:Îïðåäåëåíèå.
Äàí n-ìåðíûé êóá ñ êîîðäèíàòàìè âåðøèí (±1, ±1, . . . , ±1) ∈ Rn è âïèñàííàÿ âíåãî åäèíè÷íàÿ ñôåðà x21 + x22 + · · · + x2n = 1. Áóäåì ïèñàòü, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê ñôåðå ãèïåðïëîñêîñòüα îòñåêàåò âåðøèíó A êóáà, åñëè òî÷êà A è öåíòð ñôåðû íàõîäÿòñÿ ñòðîãî ïî ðàçíûå ñòîðîíû îòãèïåðïëîñêîñòè α.√√√Ïðèìåð. Ãèïåðïëîñêîñòü x1 + x2 = 2, êàñàþùàÿñÿ ñôåðû â òî÷êå ( 22 , 22 , 0, . . . , 0), îòñåêàåò2n−2 âåðøèíû, â òî÷íîñòè òå, ó êîòîðûõ ïåðâûå äâå êîîðäèíàòû ðàâíû 1.Óòâåðæäåíèå 1(Ôîëüêëîð). Äàíà òî÷êà x = (x1 , .
. . , xn ) íà åäèíè÷íîé ñôåðå kxk = 1.Ïóñòü ai íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû ñ ðàñïðåäåëåíèåì P (ai = 1) = P (ai = −1) = 12 , ãäåPni = 1, 2, . . . , n. Òîãäà P (| i=1 ai xi | 6 1) > 12 ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ãèïåðïëîñêîñòü â òî÷êå x âïèñàííîé ñôåðû îòñåêàåò íå áîëåå ÷åì 2n−2 âåðøèí n-ìåðíîãî êóáà.Pn¤ Óñëîâèå îòñå÷åíèÿ èìååò âèä i=1 ai xi > 1, ãäå ai êîîðäèíàòû îòñåêàåìîé âåðøèíû. Èçñèììåòðèè ìíîæåñòâà âåðøèí êóáà îòíîñèòåëüíî çàìåíû çíàêà âñåõ êîîðäèíàò âåðøèíû, ïîëó÷èìP (|nXnXai xi | 6 1) = 1 − 2P (ai xi > 1).i=1i=1Îòñå÷åíèå íå áîëåå ÷åì 2n−2 âåðøèí n-ìåðíîãî êóáà ðàâíîñèëüíî 2P (Pni=1ai xi > 1) 612¥Ñëåäñòâèå 1(óòâåðæäåíèÿ 1).
Ïóñòü ai , ãäå i = 1, . . . , n íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûåPn âåëè÷èíû ñðàñïðåäåëåíèåì P (ai = 1) = P (ai = −1) = 12 , ãäå i = 1, 2, . . . , n. Òîãäà óñëîâèå P (| i=1 ai xi | 6 1) >12 äëÿ ëþáîãî âåêòîðà x òàêîãî, ÷òî kxk = 1, ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî ëþáàÿ êàñàòåëüíàÿãèïåðïëîñêîñòü ê âïèñàííîé ñôåðå îòñåêàåò íå áîëåå ÷åì 2n−2 âåðøèí n-ìåðíîãî êóáà.Ñëåäñòâèå 2(òåîðåì 1,2).à) Ëþáàÿ êàñàòåëüíàÿ ãèïåðïëîñêîñòü ê âïèñàííîé â 6-ìåðíûé êóá ñôåðå îòñåêàåò íå áîëåå 16åãî âåðøèí.√á) Ãèïåðïëîñêîñòü x1 + x2 + · · · + xn = n, êàñàþùàÿñÿ ñôåðû â òî÷êå ( √1n , √1n , . . .
, √1n ), îòñåêàåòíå áîëåå, ÷åì 2n−2 âåðøèí êóáà.√Óòâåðæäåíèå 2(Äèëüìàí Ãëåá). Ãèïåðïëîñêîñòü x1 + x2 + · · · + xPn, êàñàþùàÿñÿ âïèn =ñàííîé â êóá åäèíè÷íîé ñôåðû â òî÷êå ( √1n , √1n , . . . , √1n ), îòñåêàåò ðîâíî√i< n−2nCni âåðøèí êóáà.¤ Ïóñòü êîîðäèíàòû îòñåêàåìîé âåðøèíûêóáà ñîñòîÿò èç k åäèíèö è n − k ìèíóñ åäèíèö, òîãäà√√k − (n − k) > n, òî åñòü n − k < n−2 n .
Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ñóùåñòâóåò Cnn−k âåðøèí êóáà ñðîâíî n − k îòðèöàòåëüíûìè êîîðäèíàòàìè. ¥Òàêèì îáðàçîì, ãèïîòåçà è òåîðåìû 1 è 2 èìåþò ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.Ëèòåðàòóðà.1) À.Í. Øèðÿåâ ¾Âåðîÿòíîñòü¿2) Æóðàâëåâ Þ.È. ¾Îá îòäåëèìîñòè ïîäìíîæåñòâ âåðøèí n-ìåðíîãî êóáà.¿ Òðóäû ÌÈÀÍÑÑÑÐ (51) Ì.1958 ñ 143-1573) A. Ben-Tal, A. Nemirovski, C. Ros, 11.06.2001.
¾¿5.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
