Главная » Просмотр файлов » Т. Кормен, Ч. Лейсерзон, Р. Риверст, К. Штайн - Алгоритмы. Построение и анализ (2013)

Т. Кормен, Ч. Лейсерзон, Р. Риверст, К. Штайн - Алгоритмы. Построение и анализ (2013) (1162189), страница 223

Файл №1162189 Т. Кормен, Ч. Лейсерзон, Р. Риверст, К. Штайн - Алгоритмы. Построение и анализ (2013) (Т. Кормен, Ч. Лейсерзон, Р. Риверст, К. Штайн - Алгоритмы. Построение и анализ (2013)) 223 страницаТ. Кормен, Ч. Лейсерзон, Р. Риверст, К. Штайн - Алгоритмы. Построение и анализ (2013) (1162189) страница 2232019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 223)

Теперь докажем, что если процедура %1тНЕЗЗ(а,п) возвращает значение ткие, то с помощью величины а можно доказать, что число и — составное. Если процедура %батыеве(а, и) возвращает значение ткпе в строке 8, значит, она обнаружила, что справедливо соотношение хз = а" ' щи п ~ 1. Однако если число п — простое, то согласно теореме Ферма (теорема 31.31) для всех а 6 Ц выполняется равенство а" ' ьв 1( (щи и)). Поэтому п не может быть простым, и неравенство а" ~ шод п нб 1 доказывает этот факт. Если процедура 1И~тыезе(а, п) возвращает в строке 6 значение тите, значит, она обнаружила, что значение ач з является нетривиальным квадратным корнем 1 по модулю п, поскольку выполняется соотношение хз, р1 ~1 (шоб п), но при этом хч ев хз,: — 1 (шод зз). В следствии 3!.35 утверждается, что нетривиальный квадратный корень из 1 по модулю и может существовать лишь тогда, когда и — составное.

Таким образом, тот факт, что ач з — нетривиальный квадратный корень из 1 по модулю и, доказывает, что и — составное. На этом доказательство корректности процедуры ЖтЫЕЗЕ завершено. Если при вызове процедуры %1тыеее(а, п) выдается значение ткие (в строке 6 или 8), то и — гарантированно составное; доказательство этого факта легко провести, пользуясь значениями а и п. Сейчас будет представлено краткое альтернативное описание поведения алгоритма %зтмеез как функции от последовательности Х = (хо, хм..., хз).

Зто описание окажется полезным впоследствии, в ходе анализа эффективности работы проверки простоты Миллера-Рабина. Заметим, что если при неюторых значениях 0 < з < ~ выполняется равенство яч = 1, то остальная часть последовательности в процедуре %1тыеез может не вычисляться. В таком случае все значения х;.ьы я,.ьз,..., яз равны 1, и мы считаем, что в последовательности Х на этих позициях находятся единицы. Имеем четыре различных случая. 1. Х = (..., д), где з1 Ф 1: последовательность Х не заканчивается единицей. В строке 8 возвращается значение ткие; а является свидетельством того, что и — составное (согласно теореме Ферма). 2.

Х = (1, 1,...,1): последовательность Х состоит из одних единиц. Возвращается значение ГАЕБЕ; а не является свидетельством того, что и — составное. 3, Х = (..., — 1, 1,..., 1): последовательность Х заканчивается единицей, и последний элемент последовательности, не равный 1, — элемент — 1. Возвращается значение ЕАЕБЕ; а не является свидетельством того, что п — составное. 10!5 Глава ль Теоретико-числовые алгоритмы 4. Х = (..., 4(, 1,...,1), где Н ~ ~1: последовательность Х заканчивается единицей, но последний элемент последовательности, не равный 1, не равен и -1. В строке б возвращается значение ткое; а является свидетельством того, что и — составное, поскольку д является нетривиальным квадратным корнем 1.

Теперь рассмотрим тест Миллера — Рабина на простоту, основанный на применении процедуры %1т1ЧЕЗЗ. Как и раньше, предполагается, что и — нечетное целое число, большее 2. Мпл.ек-Клвпч (и, в) 1 Тог3' ее !то в 2 а = Кл14оом(1,п — 1) 3 Ы%1тыезз(а, и) 4 гетпгп состлвное // Определенно 5 гетцгп ПРОСТОЕ // Почти гарантированно Процедура М1ееек-Клв114 представляет собой вероятностный поиск доказательства того факта, что число и — составное. В основном цикле (который начинается в строке !) выбирается в случайных значений величины а из множества У,„+ (строка 2). Если одно нз этих значений свидетельствует о том, что число и— составное, то процедура М1ееек-Клв1ы в строке 4 выдает значение состлвное. Такой вывод всегда верный согласно корректности процедуры %1714езз для этого случая.

Если в ходе в попыток не было таких свидетельств, то в процедуре М1ЕЕЕК-КЛВП4 предполагается, что нет причин считать число и составным, так что оно считается простым. Скоро можно будет убедиться, что при достаточно большйх значениях з этот вывод правильный с высокой вероятностью. Тем не менее все же имеется небольшая вероятность, что в процедуре могут неудачно выбираться значения а и что существуют свидетельства того, что п — составное, хотя ни одно из них не было найдено. Чтобы проиллюстрировать работу процедуры М1ееек-Клвпч, предположим, что п равно числу Кармайкла 561, так что и — 1 = 560 = 24 35, 1 = 4 и и = 35.

Если выбрано значение а = 7, то из рис. 31.4 в разделе 31.6 видно, что процедура %1т1чезз вычислит хо = азь = 241 (шос! 561), что даст нам последовательность Х = (241, 298, 166, 67, 1). Таким образом, при последнем возведении в квадрат обнаружен нетривиальный корень из 1, поскольку а~~~ = 67 (глод и) и аьао = — 1 (шос! и). Итак, значение а = 7 свидетельствует о том, что число и — составное, процедура %1тыезз(7, и) возвращает значение ткое, а процедура М!ееекКлв1н — значение состлвное.

Если длина числа п равна Д бит, то для выполнения процедуры М1ееек-Клв1ы требуется 0(а13) арифметических операций и 0(з,Зз) битовых операций, поскольку в асимптотическом пределе требуется выполнять не более е возведений в степень по модулю. Частота ошибок в тесте Миллера-Рабина Если процедура М1еьек-Клв114 выводит значение пгостое, то с небольшой вероятностью в ней может быть допущена ошибка. Однако, в отличие от проце- 1016 Часть Г?1. Избранные темы дуры Рзецвогк1ме, эта вероятность не зависит от и; другими словами, для этой процедуры не существует неблагоприятных входных данных.

Зато вероятность ошибки в процедуре М1еьек-Клв1м зависит от величины б и от того, насколько удачно выбирались значения а. Кроме того, поскольку каждая проверка является более строгой, чем обычная проверка уравнения (31.40), исходя из общих принципов, можно ожидать, что для случайно выбранных целых значений и частота ошибок должна быть очень небольшой. Более точное обоснование представлено в сформулированной ниже теореме. Теорема 31.38 Если и является нечетным составным числом, то количество свидетельств того, что оно составное, — не менее (и — 1)/2.

Доказоозельсозоо. В ходе доказательства теоремы будет показано, что количество значений, не являющихся свидетельствами, не превышает (и — 1)/2, из чего следует справедливость теоремы. Начнем с утверждения, что любое значение, которое не является свидетельством, должно быть элементом множества Ж„*. Почему? Рассмотрим произвольное значение а, не являющееся свидетельством. Оно должно удовлетворять соотношению а" 1 = 1 (шос( и) или эквивалентному соотношению а а" з = 1 (пюс) и). Таким образом, уравнение ах = 1 (пюд и) имеет решение, а именно— а" з.

Согласно следствию 31.21 ясг((а, и) ~ 1, из чего, в свою очередь, следует, что ясд(а, и) = 1. Поэтому а является элементом множества У,„', этому множеству принадлежат все значения оснований, не свидетельствующие о том, что число и— составное. Чтобы завершить доказательство, покажем, что все значения оснований, не свидетельствующие о том, что число и — составное, не просто содержатся в множестве Щ, но и находятся в истинной подгруппе В группы Ж„. (Напомним, что В называется исньинной подгруппой группы У,„', если она является подзруппой Ж„*, но не равна л,„'.) Согласно следствию 31.16 в этом случае мы имеем ~В! ( Щ(/2.

Поскольку (Щ( ( и — 1, получаем неравенсгво ~В! < (и — 1)/2. Поэтому количество значений оснований, не являющихся свидетельствами, не превышает (и — 1)/2, следовательно, количество свидетельств должно быть не меньше (и — 1)/2. Теперь покажем, как найти истинную подгруппу В группы У,„', которая содержит все значения оснований, не являющиеся свидетельствами. Выделим два случая.

Случай 1. Существует значение х е Ж„', такое, что х" ф 1 (пюе) и) . Другими словами, и не является числом Кармайкла. Поскольку, как мы уже знаем, числа Кармайкла встречаются крайне редко, случай 1 — основной случай, встречающийся ана практике" (т.е. тогда, когда число и выбрано случайным образом и выполняется проверка его простоты). 70!7 Глава 31. Теоретико-числовые алгоритмы Пусть В = (Ъ е а,„*: Ъа ' = 1 (пюс1 п)). Ясно, что множество В непустое, так как 1 Е В.

Поскольку группа В замкнута относительно операции умножения по модулю и, из теоремы 31.14 следует, что  — подгруппа группы а.„'. Заметим, что каждое значение а, которое не является свидетельством, принадлежит множеству В, поскольку такое а удовлетворяет соотношению а" ~ =— 1 (шос( и). Поскольку х е Е„' — В, В является истинной подгруппой группы е о. Случай 2. Для всех х Е К*„ х" = 1 (шос1 и) (31.41) Другими словами, п — число Кармайкла. На практике этот случай встречается крайне редко. Однако тест Ми.ьек-Кявпч (в отличие от теста на псевдопростоту), как сейчас будет показано, в состоянии эффективно определить, что число Кармайкла — составное.

В этом случае число и не может быть степенью простого числа. Чтобы понять, почему это так, предположим обратное, т.е. что и = р', где Р— простое, а е > 1. Противоречие мы получим следующим образом. Поскольку предполагается, что п — нечетное, то число р также должно быть нечетным. Из теоремы 31.32 следует, что а,„' — циклическая группа: она содержит генератор д, такой, что огс1„(д) = ~У*„~ = ф(п) = Р'(1 — 1гср) = (р — 1)р' л.

(Формула для ф(п) получена из (31.20).) Согласно уравнению (31.41) имеем д" ' = 1 (шос) п). Тогда из теоремы о дискретном логарифме (теорема 31.33 при у = 0) следует, что п — 1 вя 0 (шос( ф(п)), или При е > 1 мы получаем противоречие, поскольку (Р— 1)р' ' делится на простое число р, а р' — 1 — не делится. Таким образом, число п не является степенью простого числа. Поскольку нечетное составное число и не является степенью простого, оно раскладывается на множители плит, где ис и пз — взаимно простые нечетные числа, большие единицы. (Таких разложений может быть несколько; в этом случае не играет роли, какое из них выбирается. Например, если и = р"р~' р,', то можно выбрать пс = Р~' и пз = Рз Рз' ' ' Р~ ) Напомним, что значения 1 и и определены так, что и — 1 = 2'и, где 1 > 1, а и — нечетно, и что в процедуре %1тмезз для входного значения а вычисляется последовательность Х = (а",аз",аз ",...,а ") (все вычисления проводятся по модулю и).

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6505
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее