Ф.Ю. Попеленский - Программа и задачи к экзамену по курсу ЕНС - Математические основы современной физики (1162166)
Текст из файла
Программа и задачи к экзамену по курсу ЕНС«Математические основы современной физики»Лектор — Фёдор Юрьевич ПопеленскийVIII семестр, 2006 г.В природе существует два списка задач: один есть у лектора, второй — тот, что приведён здесь. Этот списокболее полный, и здесь меньше опечаток.Последняя компиляция: 14 мая 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.Программа экзамена1.
Основные понятия квантовой механики: наблюдаемые, состояния, чистые состояния, среднее значениенаблюдаемой.2. Соотношение неопределённости Гейзенберга. Амплитуда вероятности перехода.3. Оператор эволюции квантовомеханической системы. Представления Шрёдингера и Гейзенберга.4. Квантовый гармонический осциллятор.
Собственные значения оператора энергии, собственные состояния,пространство Фока и т. п. Координатное представление.5. Группа Лоренца, касательное пространство в единице группы Лоренца (то есть её алгебра Ли). Матричнаяэкспонента.6. Классические поля. Лагранжев формализм, уравнение Эйлера – Лагранжа. Теорема Нётер.7. Вещественное скалярное поле. Лагранжиан. Уравнение Клейна – Гордона – Фока. Его решение.8. Тензоры энергии-импульса, момента-импульса для вещественного скалярного поля. Выражение через полевую функцию и функции a± (k).9. Тензор момента-импульса вещественного скалярного поля.10.
Комплексное скалярное поле. Лагранжиан. Уравнение. Решение.∗11. Выражения заряда комплексного скалярного поля через полевую функцию и через функции a± (k) и a± (k).12. Алгебра Клиффорда. Определение, основные примеры.13. Связь групп Pinp,q и Spinp,q с группами Op,q и SOp,q соответственно. Пример пути в Pin1,3 , соединяющего ±1.14. Разложение представления группы Pin1,3 в пространстве Cl1,3 в сумму четырёх подпредставлений. Доказательство того, что размерности этих представлений равны 4.15. Спинорное представление, спинорное поле, уравнение Дирака, сопряжённый спинор, лагранжиан.16.
Решение уравнения Дирака.17. Выражение заряда и тензора энергии-импульса спинорного поля через полевую функцию.18. Квантование полей, квантование свободных полей. Уравнение эволюции (движения) вещественного скалярного поля.19. Фоковское представление для вещественного скалярного поля.1Задачи1. (∗) Пусть ω — состояние. Тогда существует линейный положительный самосопряжённый оператор ρω ,такой что tr ρω = 1 и для всех A ∈ a имеем hAiω = tr(ρω A).2. Доказать, что tr A не зависит от выбора базиса.3. Доказать, что если ϕ : M 4 → M 4 — диффеоморфизм, сохраняющий метрику, то ϕ лежит в группе Пуанкаре.4. Доказать, что если ρsω — проектор при t = t0 , то ρsω (t) — проектор при всех t.5. В пространстве всех матриц M4 (R) ∼= R16 группа Лоренца является подмногообразием.s6. Проверить, верно ли, что если ρω (t) — проектор на одномерное направление (то есть чистое состояние),то ρsω (t) является чистым состоянием для всех t.7.
Может ли самосопряжённый оператор не иметь собственных векторов?8. Найти матрицы P , H, Q, a+ , a− в базисе {ψi } (i ∈ N).9. Найти все чистые состояния, в которых для данной наблюдаемой A выполняется равенство ∆2ψ A = 0.10. Проверить, что квантовомеханический оператор эволюции унитарен.dψ = − hi Hψ.11. Получить уравнение dx S12. Доказать равенство A ψ(t)S = A(t)H ψH .13. Показать, что формулаZ1iψ(p) = √ψ(q)e− ~ pq dq2π~задаёт изоморфизм между координатным и импульсным представлениями коммутационных соотношений.14. Полиномы Эрмита определяются формулойψ(q)Pn (x) =[ n2 ]X(−1)j cn jxn−2j ,j=0cn j =n!.2j j!(n − 2j)!Доказать:dа) x − dxPn (x) = Pn+1 (x);√ б) ψn (x) = Pn x 2ω exp − ω2 x2 ;в) полноту системы функций ψn (x) в L2 (R).15.
Вывести уравнение Эйлера – Лагранжа для действияZS[u] = L u(x), ∂µ u(x) d4 x.16. Проверить, что если для однопараметрической группы преобразований выполняется равенство DL = ∂µ f µ ,то действие S[u] инвариантно.17. Проверить, что уравнение Клейна – Гордона – Фока инвариантно относительно группы Пуанкаре.18. Доказать равенствоZ∂d3 xxs T 00 = P s∂x0для вещественного скалярного поля.∗19. Доказать для комплексного скалярного поля соотношение a± (k) = (a∗ )± (k).20. Вывести для компонент T 0µ тензора энергии-импульса вещественного скалярного поля выражение черезполевую функцию.21. Вывести для компонент T 0µ тензора энергии-импульса комплексного скалярного поля выражение черезполевую функцию.22. Вывести для заряда комплексного скалярного поля выражение через полевую функцию.23.
Для вектора энергии-импульса вещественного скалярного поля получить выражение через a± (k).∗24. Для вектора энергии-импульса комплексного скалярного поля получить выражение через a± (k) и a± (k).∗25. Для заряда комплексного скалярного поля получить выражение через a± (k) и a± (k).∗±26. Для вектора энергии-импульса спинорного поля получить выражение через a±r (k) и ar (k).∗±27. Для заряда спинорного поля получить выражение через a±r (k) и ar (k).28. Найти размерность алгебры Клиффорда как векторного пространства над R.229.30.31.32.Доказать, что Cl1,1 = Mat(2, R).Доказать, что Cl0,2 = Mat(2, R).Доказать равенство v1 v2 + v2 v1 = −2 hv1 , v2 i.Доказать, что отображение α : Clp,q → Clp,q , заданное на образующих формулойα(ek ) = −ek ,α(1) = 1,корректно продолжается до гомоморфизма алгебры Клиффорда в себя; доказать, что продолжение однозначно; доказать, что это продолжение — изоморфизм.33.
В пространстве R2 с нормой x2 − y 2 (то есть в пространстве R1,1 ) задано линейное преобразование с матрицейch χ sh χ.sh χ ch χПредставить его в виде композиции двух отражений.(mod 2)34. Доказать, что Clp,q = Cl0p,q ⊕ Cl1p,q , причём Clip,q Cljp,q ⊂ Cli+j(то есть по верхнему индексу имеетсяp,qZ2 -градуировка).35. В доказательстве того, что ядро гомоморфизма A : Pinp,q → Op,q совпадает с ±1, использовалось представление элемента, лежащего в ядре, в виде суммы чётного и нечётного элементов: x = x0 + x1 . Доказать,что x1 = 0.36. Доказать, что fk2 = fk , fj fk = 0 при j 6= k и f1 + f2 + f3 + f4 = 1.37. Проверить, что в Wi нет меньшего инвариантного подпространства (то есть Wi — неприводимый модуль).38. Проверить, что представления в Wi (i = 1, .
. . , 4) эквивалентны.39. Найти матрицы операторов Rei в базисе пространства W1 , состоящем из векторов f1 , e0 f1 , e2 f1 , e0 e2 f1 .40. Доказать, что если известно, что существует представление R группы Pin1,3 , а операторы Rek (k = 0, . . . , 3)известны, то все операторы представления однозначно восстанавливаются.41. Проверить, что лагранжиан спинорного поля инвариантен относительно группы Пуанкаре.42.
Выразить тензор момента – импульса спинорного поля через полевую функцию. Указать в полученномвыражении орбитальную и спинорную части.∗43. Вывести из уравнения Дирака уравнения на χ± (k) и χ± (k).44. Показать, что условия нормировки∗∓v±s (k)vr (k) = δsr ,vs± (k)vr∓ (−k) = 0однозначно задают базис пространства решений уравнений Дирака (после преобразования Фурье).45. Получить условие нормировки решений, сопряжённых по Дираку:∗∗∓v±s (k)v r (k) = ±3mδsr .k0.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
