Расширенный сборник задач для самостоятельного решения (1161810)
Текст из файла
Ãëàâà 1ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß1.1Êëàññè÷åñêàÿ ëîãèêà ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà: ñèíòàêñèñ è ñåìàíòèêà êàæäîé èç ïðèâåäåííûõ íèæå ñîêðàùåííûõ çàïèñåé ôîðìóë ÊËÏâîññòàíîâèòå îïóùåííûå ñêîáêè, ðóêîâîäñòâóÿñü ñîãëàøåíèåì î ïðèîðèòåòå ëîãè÷åñêèõîïåðàöèé;îïðåäåëèòå îáëàñòü äåéñòâèÿ êàæäîãî êâàíòîðà;âûäåëèòå âñå ñâÿçàííûå âõîæäåíèÿ ïåðåìåííûõ, âñå ñâîáîäíûå âõîæäåíèÿ ïåðåìåííûõ.∃x P (x) → ∀y R(x, y);∃y ¬∃x P (x) ∨ ∀x P (x) → P (y);∀x (∃x P (x) → ∀y R(x, y) ∨ ¬P (y)).Óïðàæíåíèå 1.1.à)á)â)1.2.3.Äëÿ êàæäîãî èç ïðèâåäåííûõ íèæå âûñêàçûâàíèé, ñîñòîÿùèõ èç îäíîãîèëè áîëåå ïðåäëîæåíèéà) ñôîðìèðóéòå ïîäõîäÿùóþ ñèãíàòóðó, èñïîëüçóÿ êîíñòàíòû äëÿ îáîçíà÷åíèÿ èìåí ñîáñòâåííûõ è ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñâîéñòâ è îòíîøåíèé, ôèãóðèðóþùèõ â âûñêàçûâíèè;á) èñïîëüçóÿ âûáðàííóþ ñèãíàòóðó, ñîïîñòàâüòå âûñêàçûâàíèþ çàìêíóòóþ ôîðìóëó ÊËÏ,àäåêâàòíî âûðàæàþùóþ ñìûñë ýòîãî âûñêàçûâàíèÿ.1. Íå âñå òî çîëîòî, ÷òî áëåñòèò.2. Åñëè êàæäûé ëþáèò ñàì ñåáÿ, òî êòî-òî êîãî-òî ëþáèò.Óïðàæíåíèå 1.2.12Ãëàâà 1.ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß3.4.5.6.7.8.9.Âàññàë ìîåãî âàññàëà íå ìîé âàññàë.Òîëüêî íå÷åñòíûå âîðû îáêðàäûâàþò äðóã äðóãà.Íåñóäèâøèå íåïîäñóäíû.Ìàëåíüêèå áîãîìîëû åäÿò äðóã äðóãà, à áîëüøèå íåò.Âñå ìîè äðóçüÿ çíàêîìû ñî ìíîé, õîòÿ íåêîòîðûå ìîè çíàêîìûå ñî ìíîé íå äðóæàò.Ìíå íðàâèòñÿ ëîãèêà è âñå òå, êîìó íðàâèòñÿ òî, ÷òî íðàâèòñÿ ìíå.Åñëè çàäà÷à èìååò ðåøåíèå, òî ìàòåìàòèê ìîæåò åå ðåøèòü.
ß - ìàòåìàòèê, íî íå ìîãóðåøèòü ýòîé çàäà÷è. Çíà÷èò, çàäà÷à íåðàçðåøèìà.10. Åñëè Âàñèëèñê ñóùåñòâóåò, òî åãî êòî-òî âèäåë. Âñÿêèé, êòî âèäåë Âàñèëèñêà, ñëåï.Ñëåïîé íè÷åãî íå âèäèò. Çíà÷èò, Âàñèëèñêà íå ñóùåñòâóåò.11. Âû ìîæåòå îáìàíûâàòü âñåõ èíîãäà, âû ìîæåòå îáìàíûâàòü êîãî-òî âñåãäà, íî âû íåìîæåòå îáìàíûâàòü âñåõ âñåãäà.Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî íåêîòîðûå èç ïðèâåäåííûõ âûñêàçûâàíèé ìîãóò ïîíèìàòüñÿíåîäíîçíà÷íî. Êàêèì îáðàçîì ýòà ìíîãîñìûñëåííîñòü ó÷èòûâàåòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè ôîðìóëÊËÏ? Ïðîÿâëÿåòñÿ ëè îíà â ïîñòðîåííûõ ôîðìóëàõ? ýòîì ïðèìåðå íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü òîëüêî òàêèå èíòåðïðåòàöèè, âêîòîðûõ àòîìàðíûå ôîðìóëû âûðàæàþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà è îòíîøåíèÿ:• C(x) ¾x êâàäðàò¿;• S(x) ¾x øàð¿;• B(x) ¾x ÷åðíûé ïðåäìåò¿;• W (x) ¾x áåëûé ïðåäìåò¿;• U (x, y) ¾ïðåäìåò x ëåæèò íèæå ïðåäìåòà y ¿.Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå ïðåäèêàòû, íàïèøèòå ôîðìóë ëîãèêè ïðåäèêàòîâ äëÿ ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:1.
¾Õîòÿ áû îäèí ïðåäìåò, ëåæàùèé íèæå âñåõ ÷åðíûõ êâàäðàòîâ, ÿâëÿåòñÿ øàðîì¿;2. ¾Íåò òàêîãî áåëîãî êâàäðàòà, êîòîðûé ëåæèò ïîä êàêèì-òî ÷åðíûì øàðîì¿;3. ¾Êàêîâ áû íè áûë ÷åðíûé ïðåäìåò, ëèáî îí ÿâëÿåòñÿ øàðîì, ëåæàùèì âûøå âñåõ áåëûõêâàäðàòîâ, ëèáî îí ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì, ëåæàùèì íèæå êàêîãî-íèáóäü øàðà¿;4. ¾Íèêàêîé ÷åðíûé êâàäðàò è íèêàêîé áåëûé øàð íå ëåæàò äðóã íàä äðóãîì¿;5. ¾Åñëè âñå øàðû ÷åðíûå, òî áåëûõ êâàäðàòîâ íåò¿;6. ¾Âñÿêàÿ ôèãóðà, íå ÿâëÿþùàÿñÿ áåëûì êâàäðàòîì, ëåæàùèì õîòÿ áû ïîä îäíèì øàðîì,èìååò ÷åðíûé öâåò è ëåæèò íàä âñåìè áåëûìè ôèãóðàìè¿.Óïðàæíåíèå 1.3.1.1.Êëàññè÷åñêàÿ ëîãèêà ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà: ñèíòàêñèñ è ñåìàíòèêà3Êàêèå èç óòâåðæäåíèé, ñôîðìóëèðîâàííûå â óïðàæíåíèè 1.3, àäåêâàòíîâûðàæàþòñÿ ïðèâåäåííûìè íèæå ôîðìóëàìè:1.
∀x (S(x) & B(x) → ¬∃y (W (y) & S(y)));2. ∃x∀y (S(x) & B(x) → (¬W (y) ∨ ¬S(y)));3. ∀x ∀y (W (x) & C(x) → (¬B(y) ∨ ¬S(y) ∨ ¬U (x, y)));4. ¬∃x (W (x) & C(x) → ∃y(B(y) & S(y) & U (x, y))).Óïðàæíåíèå 1.4.Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ÷åòûðå ïðåäèêàòà ãåîìåòðèè:• P (x) ôèãóðà x ýòî òî÷êà íà ïëîñêîñòè;• L(x) ôèãóðà x ýòî ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè;• B(x, y) ôèãóðà x ëåæèò íà ôèãóðå y ;• E(x, y) ôèãóðà x ñîâïàäàåò ñ ôèãóðîé y .Çàïèøèòå çàìêíóòûå ôîðìóëû (ïðåêäëîæåíèÿ) ÊËÏ, âûðàæàþùèå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿïëàíèìåòðèè:1.
Âñå ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì.2. Íà êàæäîé ïðÿìîé åñòü òî÷êà, íå ïðèíàäëåæàùàÿ íèêàêîé äðóãîé ïðÿìîé.3. ×åðåç ëþáûå äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè ïëîñêîñòè ïðîõîäèò åäèíñòâåííàÿ ïðÿìàÿ.4. Êàêîâû áû íè áûëè ïðÿìàÿ è òî÷êå âíå ýòîé ïðÿìîé, èç âñåõ ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåççàäàííóþ òî÷êó, òîëüêî îäíà íå èìååò îáùèõ òî÷åê ñ çàäàííîé ïðÿìîé.Äëÿ êàæäîé ôîðìóëû ïîñòðîéòå äâå ãåîìåòðè÷åñêèå èíòåðïðåòàöèè, â îäíîé èç êîòîðûõäàííàÿ ôîðìóëà âûïîëíÿåòñÿ, à â äðóãîé - íåò.Çàïèøèòå ôîðìóëû ÊËÏ, âûðàæàþùèå ñëåäóþùèå ïðåäèêàòû:1. îòíîøåíèå ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ;2. ñâîéñòâî ÷åòûðåõ òî÷åê îáðàçîâûâàòü ÷åòûðåõóãîëüíèê;Óïðàæíåíèå 1.5.Ïóñòü çàäàíà ñèãíàòóðà σ, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ òðåõìåñòíûõ ïðåäèêàòíûõ ñèìâîëîâ S (3) , P (3) .
Ïóñòü òàêæå çàäàíà èíòåðïðåòàöèÿ I =< N, S̄ (3) , P̄ (3) >. Ïðåäìåòíîéîáëàñòüþ èíòåðïðåòàöèè ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N = {0, 1, 2, . . . }.  ýòîéèíòåðïðåòàöèè ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû âûðàæàþò ñëåäóþùèå îòíîøåíèÿ íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë:Óïðàæíåíèå 1.6.S̄ (3) (m, n, k) = trueP̄ (3) (m, n, k) = true⇐⇒⇐⇒m + n = k,m × n = k.Çàïèøèòå ôîðìóëó ñ îäíîé ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé x, âûïîëíèìóþ â èíòåðïðåòàöèè I òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà1. çíà÷åíèåì ïåðåìåííîé x ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî 0;4Ãëàâà 1.ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß2. çíà÷åíèåì ïåðåìåííîé x ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî 1;3.
çíà÷åíèåì ïåðåìåííîé x ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî 2;4. çíà÷åíèåì ïåðåìåííîé x ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî n;5. çíà÷åíèåì ïåðåìåííîé x ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîå ÷èñëî;6. çíà÷åíèåì ïåðåìåííîé x ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîå ÷èñëî.Çàïèøèòå ôîðìóëó ñ äâóìÿ ñâîáîäíûìè ïåðåìåííûìè x, y, èñòèííóþ â èíòåðïðåòàöèè I òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà1. çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ x è y îäèíàêîâû;2.
çíà÷åíèå ïåðåìåííûé x ìåíüøå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé y;3. çíà÷åíèå ïåðåìåííûé x êðàòíî çíà÷åíèþ ïåðåìåííîé y.Çàïèøèòå ôîðìóëó ñ òðåìÿ ñâîáîäíûìè ïåðåìåííûìè x, y, èñòèííóþ â èíòåðïðåòàöèè I òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà çíà÷åíèå ïåðåìåííîé z ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåìçíàÿåíèé ïåðåìåííûõ x è y.Ïóñòü R äâóõìåñòíûé ïðåäèêàòíûé ñèìâîë, ñîîòâåòñòâóþùèé íåêîòîðîìó îòíîøåíèþ íà ìíîæåñòâå M . Èñïîëüçóÿ â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè ïðåäèêàò ðàâåíñòâà=, çàïèøèòå ôîðìóëû, îïðåäåëÿþùèå ñëåäóþùèå ñâîéñòâà äâóõìåñòíîãî îòíîøåíèÿ;1. R ÿâëÿåòñÿ ðåôëåêñèâíûì îòíîøåíèåì;2. R ÿâëÿåòñÿ òðàíçèòèâíûì îòíîøåíèåì;3. R ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì îòíîøåíèåì;4. R ÿâëÿåòñÿ àíòèñèììåòðè÷íûì îòíîøåíèåì;5.
R ÿâëÿåòñÿ àñèììåòðè÷íûì îòíîøåíèåì;6. R ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà;7. R ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè;8. R ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîðÿäêîì;9. R ÿâëÿåòñÿ ïëîòíûì ïîðÿäêîì;10. îòíîøåíèå R èìååò ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò.Óïðàæíåíèå 1.7.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäàíà ñèãíàòóðà σ, ñîñòîÿùàÿ èçêîíñòàíòû 0, ïðåäñòàâëÿþùåé äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî 0;1-ìåñòíîãî ôóíêöèîíàëüíîãî ñèìâîëà h, ïðåäñòàâëÿþùåãî ôóíêöèþ, âû÷èñëÿþùóþ ìîäóëü äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà;Óïðàæíåíèå 1.8.1.1.Êëàññè÷åñêàÿ ëîãèêà ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà: ñèíòàêñèñ è ñåìàíòèêà52-ìåñòíûõ ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ +, −, ×, ïðåäñòàâëÿþùèõ ôóíêöèè, âû÷èñëÿþùèå ñóììó, ðàçíîñòü è ïðîèçâåäåíèå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë;1-ìåñòíîãî ïðåäèêàòíîãî ñèìâîëà N , ïðåäñòàâëÿþùåãî ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îáúåêòà áûòü íàòóðàëüíûì ÷èñëîì;1-ìåñòíîãî ïðåäèêàòíîãî ñèìâîëà R, ïðåäñòàâëÿþùåãî ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îáúåêòà áûòü äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì;1-ìåñòíîãî ïðåäèêàòíîãî ñèìâîëà S , ïðåäñòàâëÿþùåãî ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îáúåêòà áûòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë;2-ìåñòíûõ ïðåäèêàòíûõ ñèìâîëîâ <, >, ïðåäñòàâëÿþùèõ îòíîøåíèÿ ñðàâíåíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ è íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;ïðåäèêàòà ðàâåíñòâà =;2-ìåñòíîãî ïðåäèêàòíîãî ñèìâîëà L, âûðàæàþùåãî ñëåäóþùåå îòíîøåíèå: ÷èñëî x ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè y;2-ìåñòíîãî ïðåäèêàòíîãî ñèìâîëà A, âûðàæàþùåãî ñëåäóþùåå îòíîøåíèå: ÷èñëî x ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè y;3-ìåñòíîãî ïðåäèêàòíîãî ñèìâîëà E , âûðàæàþùåãî ñëåäóþùåå îòíîøåíèå: ÷èñëî x ÿâëÿåòñÿ y-ì ýëåìåíòîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè z.Èñïîëüçóÿ êîíñòàíòíûå, ôóíêöèîíàëüíûå è ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû ñèãíàòóðû σ, ïîñòðîéòåçàìêíóòûå ôîðìóëû ëîãèêè ïðåäèêàòîâ, âûðàæàþùóþ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.1.
Âñÿêàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë îãðàíè÷åíà.2. Íèêàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåíóëåâûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íå èìååò ïîëîæèòåëüíûõïðåäåëüíûõ òî÷åê.3. Ó ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ñîäåðæàùåé îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî,åñòü õîòÿ áû îäíà íåïîëîæèòåëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òî÷êà.4. Êàêîâà áû íè áûëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, íàéäåòñÿ îòðåçîê, ñîäåðæàùèé âñå åå ïðåäåëüíûå òî÷êè5.
Äëÿ ëþáîãî îòðåçêà [a,b] äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íåò íè îäíîé òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñîñòîÿùåé èç äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ýòîãî îòðåçêà, ó êîòîðîé áûëà áû õîòü îäíàïðåäåëüíàÿ òî÷êà âíå ýòîãî îòðåçêà.6. Ïðåäåë ñóììû ëþáûõ äâóõ ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ðàâåí ñóììå ïðåäåëîâ ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.7.
Êàêîâû áû íè áûëè äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, åñëè îäíà èç íèõñõîäèòñÿ ê íóëþ, à äðóãàÿ îãðàíè÷åíà, òî è ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåéñõîäèòñÿ ê íóëþ.8. Íåò íè îäíîé òàêîé ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðóþ áûëî áû íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.6Ãëàâà 1.ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß9. Åñëè ïðîèçâîëüíàÿ îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò åäèíñòâåííóþ ïðåäåëüíóþòî÷êó, òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ.10.
Êàêîâ áû íè áûë îòðåçîê [a, b] äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, åñëè ïî÷òè âñå ýëåìåíòû ïðîèçâîëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ëåæàò âíå ýòîãî îòðåçêà, òî è âñåïðåäåëüíûå òî÷êè ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òàêæå ëåæàò âíå ýòîãî îòðåçêà.11. Êàêîâà áû íè áûëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è îòðåçîê [a, b] äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, åñëè áåñêîíå÷íî ìíîãî ýëåìåíòîâ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîäåðæèòñÿâ äàííîì îòðåçêå, òî õîòÿ áû îäíà ïðåäåëüíàÿ òî÷êà äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òàêæåñîäåðæèòñÿ â ýòîì îòðåçêå.12. Åñëè íåêîòîðîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî âñòðå÷àåòñÿ áåñêîíå÷íî ÷àñòî â ïðîèçâîëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, òî äàííîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîéýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.1.2Âûïîëíèìûå è îáùåçíà÷èìûå ôîðìóëûÂûÿñíèòå, êàêèå èç ïðèâåäåííûõ íèæå ôîðìóë ÿâëÿþòñÿ âûïîëíèìûìè,êàêèå ÿâëÿþòñÿ íåâûïîëíèìûìè, à êàêèå îáùåçíà÷èìûìè.1.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
