Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Напряжение на площалке д5 поверхности рассматриваемого тела представляется в виде Рч = Рх(+Рят+Ргл (4!) где 1, т, и суть направляющие косинусы внешней нормали к площалке д5. Следовательно, главный вектор и главный момент сил аозлействия окружающей жилкости на рас- л сматриваемое тело представятся в виде )7= — О(Рх1+рят+Р,п)дФ (4.2) 1. = Ц гЯРх1+Р т+Р„п) д8. (4.3) Проекция вектора напряжения Р„на ось х на основании (4.1) будет представлена в виде Р„=Р 1+Р„„л +Р, и. (4.4) Рис. 23, Подставляя в правую часть (4.4) значения р „, р„и Р, из равенств (б.1) главы П, получим: Р -= ~-~~("-'д) Ф+р(~х~+д-;-+д-х )+ + 1ь (дх 1+ дх + д— и) .
(4.5) Второе слагаемое в правой части (4.5) есть произволная по нормали от скорости и: ди ди ди ди дх ду дх дп' — 1+ — т+ — и = —, (4.б) а так как ди ди дм — =0 — — —— дх ду дх' то послелнее слагаемое в скобках в правой части (4.5) можно прел- ставить в Виде ди дп дм дп ди дм дж дх дх дх дх ду дх дх — 1+ — т+ — и = 15+ — т — — 1+ — л — — 1. (4.7) Перейдем теперь к новым осям координат (рис. 23), состоящим из нормали о в рассматриваемой точке поверхности тела и из лвух !12 овшие свойства движения вязкой жидкости [гл.
ш касательных т, и т.. Производная от скорости о по координате х будет равна до до дп до дгч до дтз †= ††+ ††+ ††. дх дя дх дгчдх дтядх ' Аналогично запишутся и другие произволные, входящие в правую часть (4.7). Так как тело перемещается поступательно и в качестве граничного условия принимается условие прилипания, то вдоль всей поверхности тела компоненты скорости частиц жидкости будут постоянными величинами. Следовательно, производные от сиоростей частиц по направлениям касательных к поверхности тела будут обращаться в нуль, т. е. до до ды дэ д — О, дт О, д — О, д — — О.
(4. 8) Выражения дп дя дл дх ' дт ' д ,4.9) — направляющие косинусы нормали Используя (4.8) и (4.9), будем иметь: ди до „ дгл — 7+ — гл+ — л =- й!. дх дх +дх (4.10) — р+ (* + —,) О~ +, —, р+ (л'+ — ) О~ л+ р —. Ргм = [ (4.1 2) Умножая левые и правые части (4.11) и (4.!2) на единичные векторы осей координат соответственно и складывая, получим вектор напряжения на плошалие поверхности поступательно движущегося тела [ +( +3) 2(+ ~+ )+!д Таким образом, на основании (4.6) и (4.!0) напряжение р„иа поверхности поступательно движущегося тела в вязкой жидкости будет представляться в виде '.=[- +( )Ф По аналогии с (4.11) для других проекций вектора напряжения будем иметь: й 4) еогмхлы для еезтльтитяющвго воздействия жидкости 113 Подставляя аначение )з„из (4.13) в правые части (4.2) и (4.3), получим выражения для главного вектора и главного момента сил воздействия на тело, поступательно движущееся в вязкой жидкости: Ю = Я вЂ” р+(л'+ — ) 8) (74+ аз(+ пй)гтрк+ р у~ ~ 3 — г(5, (4.14) =-Б1 ~~- +("'+3)Ф!!+.+ )1'.+ з +р ~ ~ гХ а л'с.
(4.13) л Для случая несжимаемой жидкости 8 = 0 и 77= — ~ ~ р(Ы+жу'+ий)~78+и ~ ~ — гЖ (4.!6) д, = сопя!. Граничное условие прилипания в этом случае (и 0) представится в виде при ~ух — — и н = О, оя = О. Так как условия (4.18) выполняются при постоянном значении координаты йы то их можно частным обрззом дифференпировать по второй координате дв, т. е.
дЧа ' ддз Используя (4.18) и (4.19), из уравнения иесжимаемости (4,17) получим: при д = а — ' =- О. 34г (4.1 9) (4,20) Первое слагаемое представляет собой реаультирующее воздействие жидкости иа тело, обусловленное давлением, а второе — результирующее воздействие на тело сил вязкости. ( др двв Для плоско-параллельного течения 1н = О, — = О, — = 0) и дв ' да до„ лв для осесимметричного (н = О, ф = О, — * = 0) уравнение несжидт ' дг маемости (1.8) главы !! в кРиволинейных кооРдинатах дм дв, 4з бУ- дет представляться одинаково: — — (п,Н Нз)+ — ( И 7(х) = О, (4.!7) дег г Я з дев Допустим, что в потоке вязкой несжимаемой жидкости помещено неподвижное тело с поверхностью 5 и криволинейные координаты выбраны таким образом, что эта поверхность входит в семейство координатных поверхностей 1(4 овгдив свойства движвния вяакои жидкости [гл.
гн Ндй(!з, можно напнсатзс дгг 1 д дп Нздйг( з з+ Используя (4.18) и (4.20), будем иметь; (4,21) Главный вектор воздействия вязкой несжимаемой жилкости на неподвижное тело из (4.16) будет равен (4.22) Компонента из вектора вихря в криволинейных координатах на основании (8.8) главы ! представляется в виде 1 1д д мз —— — 1! — (о,Н) — — (о Н )1. 2НзНз |.доз з доз (4.23) Учитывая равенства (4.18) и (4.19), будем иметгк 1 д, (мз) 2Н, дйз' Подставляя значение — из (4.24) в (4.22), получим: доз де, (4.24) )ч =- ~ ~ ( — р! +2рмзгз)сЮ, (4,25). Таким образом, при плоско-параллеленом и при осесимметриеном обтеканиях неподвижного тела воздействие вязкой несжимаемой жидкости на зто тело зависит от распределения по его поверх. ности давления и вихря.
Обоаначая череа !з, 1з, и ! единичные векторы касательных к координатным линиям в рассматриваемой точке на поверхности 5 и учитываи, что линейный элемент нормали к этой поверхности будет равен ГЛАВА!у СЛУЧАИ ТОЧНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ .ЖИДКОСТИ 1. Общая 'постановка задачи о прямолинейно-параллельном установившемся движении жидкости р = сопз! и движение предполагать установившимся дэ' !) главы Н будут представляться то дифференциальные уравнения (8. в виде ди ди ди и — +и — +ш — = дх ду дх ди ди ди и — +о — +ю — = дх ду дг дш дш дм и — +о — +тл — -= дх ду дх ди ди дм дх+ ду+ дх г" — — — +тби, 1 др р дх Р— — — +ибо, 1 др р ду (!.1) г",— — — +ч бю, 1 др О.
Рассмотрим случай, в котором траектории всех частиц будут строго прямолинейными н параллельными между собой, т. е. озмО, твемО. (1.2) В конце главы Н было укааано, что наиболее простым способом решения дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости является способ, в основе которого лежит заранее принимаемое пред* положение о форме траекторий всех частиц жидкости. В данной главе, следуя этому способу, рассмотрим отдельные примеры установившихся движений вязкой и несжимаемой жидкости. Если жидкость считать несжииаемой 116 точнов ннтяггиговлнив тглвняний ястлновившвгося движения !гл.
нг При этом предположении из уравнения несжимаемости будем иметь: (1.3) Таким обрааом, единственная проекция вектора скорости и вдоль всей траектории будет оставаться постоянной и может иаменяться только в поперечном к траекториям направлении.. При использовании (1.2) и (!.3) дифференциальные уравнения (1.!) еще более упростятся: — О, ду — О. дл (1.4) Обратим внимание на то обстоятельство, что благодаря предположениям (1,2) и следствию из них (1.3) квадратичные члены инерции совершенно выпали из полных уравнений (1.2).
Представим давление в аиде суммы двух сяагаемых, из которых одно будет представлять стаглическое давление, обусловленное действием массовых сял, а второе — динамическое давление, непосредственно свяаанное с движением жидкости, т, е. Р = Рс+ Рл. (1 Л) Статическое давление определяется из уравнений равновесия (1.6) Подставляя (1.5) в уравнениа (1.4) и используя уравнения (!.6) и выражение для кинематического коэффициента вязкости 8 Р (1."г) Р е 1 гч я р 1 Р Ф г получим следушщие уравнения: др„ ду дрл — = О.
дл 1 др„. г дх 1 др, г ду 1 дрь р дл ф 11 пгямолинвйно-пьтллляльиов установившаяся движвнив 117 Ка основании последних двух уравнений (1,7) заключаем, что динамическое давление не булет зависеть от у и х. Так как правая часть первого уравнения (1.7) аависит от у и л, а левая часть может зависеть только от х, то левая и правая чзсти етого уравнения должны быть равны одной и той же постоянной величине, т, е, дрл — = сопа1, дх Таким образом, лля прямолинейно-параллельного установившегося движения вяакой несжимаемой жидкости перепад давления на единицу длины в направлении движения постоянен, Задача об изучении прямолинейно-параллельного установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости сводится н решению дифференциального уравнении Пуассона дзи дги 1 дрд дуз дез и дх ' —.+ — = — — ', (1.8) правая часть которого представляет собой постоянную величину.
Если движение частиц жидкости считается прямолинейно-параллельиыи, то границы жидкости должны быть строго цилиндрическими поверхностями, образующие которых параллельны траекториям частиц. Так как скорость и частиц не зависит от координаты х, то достаточно рассмотреть лишь одно сечение границ течения в плоскости уОл. В простейших случаях границы течения в плоскости уОз могут состоять либо из одного, контура, либо из двух контуров, из которых один будет находиться внутри второго (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
