С.С. Валландер - Лекции по статистике и эконометрике (1160549), страница 35
Текст из файла (страница 35)
ранга k — вспомним, что l ≥ k).И здесь матрица QZX предполагается неслучайной.Для доказательства состоятельности вектора β̃ оценок заметим, что206Глава 7подстановка Y = Xβ + ε даетβ̃ = β + (X 0 Z(Z 0 Z)−1 Z 0 X)−1 X 0 Z(Z 0 Z)−1 Z 0 ε =!−1õ¶−1µ¶−11 01 01 01 01 01 0XZZZZXXZZZZ ε.β+NNNNNNПри N → ∞1 0XZNµ1 0ZZN¶−11 0Z X → Q0ZX Q−1ZZ QZXNи предельная матрица имеет порядок и ранг k. Поэтому обратнаяк допредельной матрице существует при достаточно больших N и−1стремится к (Q0ZX Q−1ZZ QZX ) , т.е. к конечному пределу.
Аналогичносуществует конечный преде뵶−11 01 0= Q0ZX Q−1lim X ZZZZZ .NNВ то же время1 0Z ε = 0.NВычисляя предел произведения, получаемlimβ̃ − β →N →∞ 0по вероятности.Еще раз подчеркнем, что без конкретных примеров изложенные идеиповисают в воздухе. Наиболее важные примеры появятся в следующейглаве. Там же мы рассмотрим и вопрос обнаружения корреляции междурегрессорами и ошибками.Глава 8Системы регрессионных уравненийДо сих пор мы предполагали, что содержательные экономические теориипозволяют выделить такой относительно замкнутый фрагмент большогоэкономического мира, который можно описать одним уравнением.Это предположение далеко не всегда выполняется.
Дело в том,что "относительная замкнутость", упомянутая в предыдущей фразе,означает не просто возможность написания такого уравнения, но ивозможность удовлетворить предположениям, которые делались дляобеспечения осмысленности тех или иных статистических процедур.Более широкие возможности открывают эконометрические модели,включающие несколько уравнений (см. примеры подобных моделей вглаве 5). Некоторые приемы, реализующие эти возможности, будутописаны ниже.8.1Системы уравнений как источник первичныхинструментовВ этом параграфе мы описываем некоторые общие идеи, связанныес оцениванием коэффициентов (и вообще параметров) в системахрегрессионных уравнений. Главная трудность состоит в том, чтоотдельно взятое уравнение, как правило, не удовлетворяет стандартнымпредположениям (см.
гл.7). Обычная запись уравнений, в которой слевастоит объясняемая (эндогенная, внутренняя) величина, а справа —объясняющие, также во многом должна быть уточнена.Действительно, эндогенных величин в системе уравнений столькоже, сколько уравнений, а потому в отдельно взятом уравнении ихвполне может оказаться (и оказывается) несколько. Те из них, которыенаходятся в правой части (мы дальше обсудим на примере вопрос о207208Глава 8том, какие из них следует помещать налево, а какие — направо), впределах нашего отдельно взятого уравнения похожи на регрессоры,но, вообще говоря, коррелируют с ошибками.
Тем самым, стандартныепредположения не выполнены. В параграфе 7.8 отмеченная вышекорреляция уже обсуждалась, и была описана схема, позволяющая с этойтрудностью справляться. Теперь мы можем уточнить эту процедуру,сказав, что первичные инструменты в теперешнем контексте системрегрессионных уравнений возникают естественным путем — в качествених берутся объясняющие величины, которые фигурируют в остальныхуравнениях системы.
Формальная процедура оценивания, реализующаяэту идею, — двухшаговый метод наименьших квадратов — будетизложена в следующем параграфе.Разумеется, первичных инструментов, требующихся для этогометода, должно найтись достаточное количество. В противном случаеуравнение называется неидентифицируемым. Его коэффициенты (покрайней мере, некоторые) оценить указанной процедурой не удается.Неидентифицируемость уравнения чаще всего свидетельствует о какихто трудностях содержательного (экономического) характера.При использовании двухшагового метода наименьших квадратоввыделяется одно из уравнений системы, а остальные уравненияучитываются лишь формально — для нахождения инструментов.Известны более сложные процедуры, в которых вся система исследуетсякак единое целое.
Эти методы значительно более чувствительны кошибкам спецификации модели.8.2Двухшаговый метод наименьших квадратовРассмотрим одно из уравнений системы, записанное в видеY = β1 X1 + · · · + βk Xk + γ1 Y1∗ + · · · + γm Ym∗ + ε.(8.1)Здесь X1 , · · · , Xk — предопределенные величины, которые некоррелируют с ошибкой ε, а Y1∗ , · · · , Ym∗ , так же как и Y , эндогенныевеличины, объясняемые моделью (т.е. всей системой). Поскольку мыбудем обсуждать только оценивание коэффициентов отдельно взятогоуравнения, нумерацию величин можно можно приспособить к этойлокальной цели и избежать громоздких обозначений, возникающих приобсуждении всей системы (они нам не понадобятся).Системы регрессионных уравнений209Полную совокупность предопределенных величин системы мыобозначим Z1 , · · · , Zl .
Без ограничения общности можно считать, чтоZ1 = X1 , · · · , Zk = Xk .Величины Z1 , · · · , Zl будем рассматривать как первичныеинструменты. Действуя по схеме параграфа 7.8, на первом шагепостроим регрессии величин X1 , · · · , Xk , Y1∗ , · · · , Ym∗ , входящих вправую часть уравнения (8.1), на полный набор первичных инструментовZ1 , · · · , Zl и получим, тем самым, целевые инструменты X̂1 , · · · , X̂k ,Ŷ1∗ , · · · , Ŷm∗ .
При этом, по очевидным причинам,X̂1 = X1 (= Z1 ), · · · , X̂k = Xk (= Zk ),так что, собственно говоря, эти регрессии и строить не нужно. На второмшаге процедуры построим регрессию величины Y на набор построенныхцелевых инструментов. Коэффициенты этой регрессии и будут оценкамидвухшагового метода наименьших квадратов.При выполнении предположений, обсуждавшихся в параграфе 7.8,они состоятельны.8.3Структурныеиприведенныесистемы.Косвенный метод наименьших квадратовДля более ясного представления о месте двухшагового методанаименьших квадратов в теории систем регрессионных уравненийрассмотрим некоторые возможные альтернативы и выявим их минусыи плюсы.
Мы уже отмечали, что основным аргументом, вызвавшимпоявление двухшаговой процедуры предыдущего параграфа, являетсявхождение нескольких эндогенных величин в рассматриваемоеуравнение. Каждая из них, вообще говоря, коррелирует с ошибкой.Вырывая отдельное уравнение из системы, мы только одну из них можемпоместить в левую часть уравнения (т.е. трактовать как объясняемую).Остальные эндогенные величины, входящие в уравнение, при этомтрактуются как регрессоры, коррелирующие с ошибкой.Можно попробовать исключить из нашего уравнения остальныеэндогенные величины с помощью остальных уравнений системы.Посмотрим, к чему приведет эта идея.Итак, в нашем распоряжении имеется первоначальная системалинейных уравнений (нелинейные системы мы не рассматриваем),210Глава 8написанная из тех или иных содержательных экономическихсоображений, т.е. выражающая определенный фрагмент экономическойтеории.
Системы, возникающие подобным образом, принято называтьструктурными. Будем считать, что количество уравнений совпадаетс количеством эндогенных величин, входящих в систему (этопредположение в основном согласуется со здравым смыслом,другие возможности читатель может продумать самостоятельно).Хорошо известно, что система линейных уравнений, в которойчисло уравнений совпадает с числом неизвестных, обычно имеетединственное решение. Этот случай мы и рассмотрим (обдумывание иинтерпретация других возможностей снова предоставляется читателю)."Решая"структурную систему относительно эндогенных величин, мыполучаем выражения для них через остальные (т.е.
предопределенные)величины. Слово "решая"мы намеренно заключили в кавычки. Делов том, что все (или, по крайней мере, большинство) коэффициентовпервоначальной структурной системы — неизвестные параметры.Поэтому коэффициенты приведенной системы также неизвестны,хотя можно написать формулы, выражающие их через структурныекоэффициенты.Уравнения приведенной системы можно оценивать по отдельности,ибо предопределенные величины с ошибками не коррелируют.
Заметимоднако, что при переходе от структурной системы к приведеннойошибки первоначальной системы "смешиваются". В то же времяпредположения об ошибках обычно формулируются и обосновываютсяв структурных терминах. Какими окажутся при этом свойства ошибокприведенных уравнений, определяется тем процессом "решения",который дает приведенные уравнения. Тем не менее, во многих случаяхможно считать, что ошибки приведенных уравнений удовлетворяютклассическим предположениям главы 6 (для нас сейчас это не главное).Предположим, что мы смогли обычным методом наименьшихквадратов состоятельным образом оценить коэффициенты приведенныхуравнений. Что дальше? Это зависит от целей эконометрическогоисследования. Если нам нужно лишь определить прогнозные значенияэндогенных величин, цель фактически достигнута — остается лишьвоспользоваться оценками приведенных коэффициентов.
Возвращатьсяк исходной структурной системе и ее коэффициентам уже не нужно.Если же нас действительно интересуют структурные коэффициенты,то их придется восстанавливать по приведенным (точнее, по оценкамСистемы регрессионных уравнений211наименьших квадратов для них). Для этого соотношения междуструктурными и приведенными коэффициентами нужно решитьотносительно структурных коэффициентов. Этот прием называетсянепрямым или косвенным (indirect) методом наименьших квадратов (дляоценивания структурных коэффициентов).К сожалению на деле все оказывается не так просто. Вопервых, количество приведенных коэффициентов может отличаться отколичества структурных. Во-вторых, соотношения, их связывающие,отнюдь не являются линейными.
Как следствие, все потенциальныетрудности, связанные с решением систем уравнений, могут возникнуть.Опишем различные возможности:1. Существует единственный набор структурных коэффициентов,соответствующий(оцененным)значениямприведенныхкоэффициентов; тогда структурная система называется точноидентифицируемой (exactly identifiable) или даже (в зависимостиот контекста) точно идентифицированной (exactly identified).2. Существует более одного набора структурных коэффициентов,соответствующих данным значениям приведенных коэффициентов;тогда структурная система называется неидентифицируемой(unidentifiable). Для некоторых структурных коэффициентов, темне менее, все эти наборы могут дать одно и то же значение. Такиекоэффициенты следует называть идентифицируемыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
