В.П. Носко - Эконометрика для начинающих (1160539), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Если α = 0 , то η( X ) ≡ β . При αβ < 012функция эластичности η( X ) убывает от +∞ до 1 , когда Xизменяется от − α β до +∞ .К линейной форме связи можно привести и некоторыедругие виды зависимости, характерные для экономическихмоделей.Так, если Y — объем плановых инвестиций, а Z — нормапроцента, то между ними существует связь, которая иногдаможет быть выражена в формеY =α +β, α > 0, β > 0,Zи имет графическое представлениеЗаменой переменной X = 1 / Z приводим указанную связьк линейной форме Y = α + β X . В этой модели эластичностьY по Z отрицательна и меньше единицы по абсолютнойвеличине:βdY Z β Zη(Z ) =⋅ = − 2 ⋅=−βdZ Y Z β +α Zα+Z(«объем плановых инвестиций неэластичен по отношениюк норме процента»).13В моделях «доход — потребление», относящихся кпотреблению продуктов питания, линейная модель влогарифмах уровней, выражающая уменьшение MPC( DPI ) свозрастанием DPI , все же не всегда удовлетворительна,поскольку эластичность в такой модели постоянна.
Опять жепо чисто физиологическим причинам, скорее болееподходящей будет модель связи с убывающей (в конечномсчете) эластичностью. Такого рода связь между факторами Yи Z может иметь видY = α + β lnZ , α > 0, β > 0 .(См. следующий график, построенный при α = 5, β = 10.)302010Y0-10-20-3001234567ZДействительно,dY Z β Zη(Z ) =⋅ = ⋅→ 0 ;dZ Y Z α + β ln Z Z →∞однако, здесь возникают проблемы с отрицательнымизначениями Y при малых значениях Z .Последнего недостатка нет в моделиln Y = α −т. е.14βZ, β>0,βY = expα − .Z1.61.2Y0.80.40.002468101214Z(График построен при значениях α =0.1, β =1.) Здесьη( Z ) =βZ(закон Энгеля убывания эластичности потребленияпродуктов питания по доходу).Обе последние модели сводятся к линейной форме связипутем перехода от уровней переменных к их логарифмам илиобратным величинам.ЗамечаниеЕсли исследователь принимает модель наблюденийln Yi = α ∗ + β lnX i + ε i ,то тем самым, он соглашается тем, что∗Yi = e α ⋅ X iβ ⋅ e ε i ,илиYi = α ⋅ X iβ ⋅ ν i ,т.
е. соглашается с мультипликативным вхождениемошибок ν i в нелинейное уравнение для Yi .15В то же время, не исключено, что по существу дела модельдолжна иметь видYi = α ⋅ X iβ + ν i ,т. е. имеет аддитивные ошибки. В последнем случае взятиелогарифмов от обеих частей не приводит к линейной моделинаблюдений.
В такой ситуации оценки наименьших квадратовпараметров α и β приходится получать итерационнымиметодами, в процессе реализации которых производитсяпоследовательное приближение к минимуму суммыквадратовn(Q( a , b ) = ∑ Yi − a X ibi =1)2.1.11. ПРИМЕР ПОДБОРА МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙСВЯЗИ, СВОДЯЩИХСЯ К ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ.Суть политики Кеннеди-Джонсона (Джон Кеннеди —президент США с 1961 по 1963 г., Линдон Джонсон —президент США с 1963 по 1969 г.) состояла в сокращенииналогов, увеличении расходов на оборону и ускорении ростаколичества денег в обращении.
Предполагалось, что этовызовет оживление экономики США и будет способствоватьснижению нормы безработицы (т. е. доли безработных вобщей численности рабочей силы). Ожидалось также, чтовозрастание темпов инфляции будет при этом не оченьсильным.Рассмотрим прежде всего диаграмму рассеяния дляпеременных UNJOB (процент безработных в общейчисленности рабочей силы) и INF (темп инфляции):16INF vs. UNJOB15INF1050246810UNJOBОблако рассеяния довольно округло, и это согласуется свесьма низким значением коэффициента детерминацииR 2 = 0.0864 , получаемым при подборе модели линейнойзависимости INF от UNJOB .Форма облака рассеяния не указывает и на какой-либодругой тип зависимости между этими двумя переменными напериоде наблюдений с 1958 по 1984 год.В то же время, в период с 1961 по 1969 год наблюдаласьследующая картина.ГодINFUNJOB1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 19691.01.11.21.31.72.92.94.25.46.55.45.55.04.43.73.73.53.417INF vs. UNJOB6INF42034567UNJOBХарактер диаграммы рассеяния явно указывает на наличиенелинейной связи между рассматриваемыми переменными впериод с 1961 по 1969 год (кривая Филлипса).
Изображеннаяна диаграмме прямая, подобранная методом наименьшихквадратов, очевидным образом не соответствует характерустатистических данных, хотя значение коэффициентадетерминации R 2 = 0.7184 и представляется достаточновысоким. (Позднее мы сможем более квалифицированноговорить о том, действительно ли получаемое при подборемодели значение коэффициента детерминации достаточновелико.) В связи с этим, при подборе моделей к реальнымстатистическим данным следует обращать внимание не толькона коэффициент детерминации, но и (обязательно!) насоответствие подобранной модели характеру статистическихданных.
Далее мы специально обсудим эту проблему,известную как проблема адекватности полученной моделиимеющимся статистическм данным.18Поскольку, на первый взгляд, расположение точекнапоминает график обратной пропорциональной зависимости,можно попробовать рассмотреть модель наблюденийINFi = α + β (1 UNJOBi ) + ε i , i = 1,K , n ,соответствующую линейной связи между переменнымиINF и UNJOBINV = 1 / UNJOB .
Подбор такой связи приводитк моделиINF = −3.90 + 27.47 (1 UNJOB)с достаточно высоким коэффициентом детерминации2R = 0.8307 . Однако, характер диаграммы рассеянияпеременных INF и UNJOBINVINF vs. UNJOBINV6INF4200.150.200.250.30UNJOBINVуказывает на неадекватность и этой модели.Обратившись еще раз к диаграмме рассеяния исходныхпеременных INF и UNJOB (для данных за 1961—1969 годы),можно заметить, что кривая зависимости INF от UNJOB повидимому имеет вертикальную асимптоту INF ≅ 3 .
Учесть19последнее обстоятельство можно в рамках модели MichaelisMentonθ ⋅ UNJOBINF = 1,θ 2 + UNJOBкоторую можно преобразовать к видуθ ⋅ θ ⋅ UNJOBINF = θ 1 − 1 2,θ 2 + UNJOBучитывающему наличие и вертикальной и горизонтальнойасимптот. Такая модель связи линеаризуется переходом кобратнымвеличинамY = 1 / INF ,X = 1 / UNJOB .Действительно, тогдаθ + UNJOB 1 + (θ 2 UNJOB )1Y== 2=θ1INF θ 1 ⋅ UNJOB=1+(θ 2θ1)=α + β X ,θ 1 UNJOBгде α = 1 θ 1 , β = θ 2 θ 1 .Диаграмма рассеяния для обратных величин Y = 1 / INF ,X = 1 / UNJOB имеет вид20INFINV vs.
UNJOBINV1.21.0INFINV0.80.60.40.20.00.150.200.250.30UNJOBINVТеперь уже точки на диаграмме рассеяния весьма хорошоследуют прямой линии, подобранной методом наименьшихквадратов:INFINV = 1.947 − 5.952 ⋅ UNJOBINV ,R 2 = 0.9914 . Здесь α = 1.947, β = −5.952 , так чтоθ 1 = 1 / α = 0.515 , θ 2 = β θ 1 = −3.057 , и оцененная модельMichaelis-Menton имеет вид0.514 ⋅ UNJOBINF =.−3.057 + UNJOBМодель Michaelis-Menton хороша тем, что учитываетналичие асимптот и линеаризуется. С другой, стороны, онаявляется лишь частным случаем более общей модели связиINF = θ 1 +θ3θ 2 + UNJOBс тремя свободно изменяющимисяДействительно, в модели Michaelis-Mentonθ 3 = θ 1 ⋅θ 2 ,параметрами.21и она только двухпараметрическая, так что модель с тремясвободными параметрами является более гибкой. Но, вместе стем, трехпараметрическая модель уже не линеаризуется, ипараметры θ 1 ,θ 2 ,θ 3 приходится оценивать, используяитерационную процедуру последовательного уменьшениясуммы квадратов2θ3Q(θ 1 , θ 2 , θ 3 ) = ∑ INFi − θ 1 − .θ 2 + UNJOBi i =1 (Конечно, в предположении аддитивности ошибок ε i .)«Стартовые» значения параметров θ 1 ,θ 2 в этой процедуреможно взять близкими к оценкам θ 1 ,θ 2 , полученным приоцениваниипредыдущеймодели,например,θ 1 = 0.5, θ 2 = −3.0 , а стартовое значение θ 3 можно положитьравным 1 .Реализация итерационной процедуры приводит кследующим оценкам параметров:θ 1 = 0.581, θ 2 = −3117.
, θ 3 = 1.370 ;nпри этом, R 2 = 0.9992 . Оцененная модель имеет вид1.370INF = 0.581 +.UNJOB − 3117.На следующей диаграмме показаны наблюдаемыезначения переменной INF (INFtrue) и значения (INFmodel),получаемые по оцененной модели.22654INFtrue3INFmodel21034567UNJOBПодобранная модель показывает, что экспансионистскиеэкономические мероприятия первоначально обеспечиваютснижение нормы безработицы и реальный экономический ростпри умеренной инфляции. Однако, удержать нормубезработицы ниже ее естественного значения в течениепродолжительного времени можно лишь за счет постоянноускоряющегося темпа инфляции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
