В.П. Носко - Эконометрика для начинающих (1160539), страница 7
Текст из файла (страница 7)
При этом,в первом случае коэффициент детерминации равен 0.9812, а вовтором коэффициент детерминации равен 0.8705. Иначеговоря, наблюдаемая изменчивость переменных E и Hдостаточно хорошо «объясняется» изменением переменной t,фактически являющейся здесь выразителем «технического испортивного прогресса».Чтобы найти «объективную» связь между показателями Eи H, «очищенную» от влияния на эти показатели факторавремени, естественно поступить следующим образом.Возьмем ряд остатковeE ( t ) = E t − ( 613.333 + 59.539 t ) ,получаемых при подборе первой модели, и ряд остатковeH ( t ) = H t − ( 459.067 + 7.461 t ) ,получаемых при подборе второй модели. Тогдапеременные eE и eH , принимающие значения eE ( t ) иeH ( t ) , соответственно, t = 1,K ,10 , можно интерпретировать,как результат «очистки» переменных E и H от линейноготренда во времени.
Соответственно, «истинная» линейнаясвязь между переменными E и H, если таковая имеется,должна, скорее всего, измеряться коэффициентом корреляцииrex ,ey между «очищенными» переменными eE и eH .Подобранная линейная связь между eE и eH имеет видeE = 0.0000 + 1.420 eH ;при этом получаем значениеR 2 = 0.2454против значения 0.900 в модели с «неочищенными»переменными.Kоэффициенткорреляциимежду«очищенными» переменными eE и eHreE ,eH = 0.2454 = 0.4954почтивдвоеменьшекоэффициентакорреляцииrE ,H = 0.900 = 0.9487 между «неочищенными» переменнымиE и H.Коэффициент корреляции rex ,ey между «очищенными»переменными eE и eH называется частным коэфициентом4корреляции между переменными E и H при исключениивлияния на них переменной t .В дальнейшем мы покажем, что значение reE ,eH = 0.4954при n = 10 «слишком мало» для того, чтобы можно былоотвергнуть гипотезу о том, что коэффициент при eH влинейной модели связиeE = γ + δ ⋅ eHв действительности равен нулю.1.9.
ПРОЦЕНТНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ФАКТОРОВВ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ СВЯЗИВернемся к примеру с совокупным располагаемымдоходом (DPI) и совокупными расходами на личноепотребление (С) и будем использовать для анализадефлированные данные, принимая за базовый 1972 год.Мы подобрали по таким данным за 1970—1979 годымодель линейной связиC = −67.66 + 0.98 DPI(мы здесь округлили полученные ранее значения до сотыхдолей). В соответствии с такой моделью, увеличениереального совокупного располагаемого дохода на 1 млрд.долларов (в единицах 1972 г.) приводит к увеличениюсовокупного личного потребления на 980 млн.
долларов(остальные 20 млн. долларов сохраняются в виде сбережений).Разумеется, имеется в виду только тенденция; ежегодныереальные цифры будут отличаться от предсказываемыхмоделью. Величина β = 0.98 оценивает склонность кпотреблению по отношению к располагаемому доходу(propensity to consumption).5Зададимся теперь таким вопросом: на сколько процентовизменится совокупный объем потребления C при увеличениисовокупного располагаемого дохода на 1% (опять имеем ввиду дефлированные величины)?Итак, предположим, что совокупный располагаемыйдоход, имевший значение DPI , увеличился на один процент истал равным DPI + ∆DPI , где ∆DPI — абсолютноеприращение совокупного располагаемого дохода, так что( ∆DPI DPI ) ⋅ 100 = 1 ,∆DPI = 0.01 ⋅ DPI . Такому абсолютномуоткудаприращениюсовокупногорасполагаемогодоходасоответствует«всреднем» абсолютноеприращениесовокупных расходов на потребление∆C = 0.98 ⋅ ∆DPI = 0.98 ⋅ 0.01DPI = 0.0098 DPI ,что соответствует процентному изменению совокупныхрасходов на потребление, равному∆C0.0098 DPI⋅ 100 = ⋅ 100 −67.66 + 0.98 DPI C=0.98 DPI1=.0.98 DPI (1 − ( 67.66 / 0.98 DPI )) 1 − ( 69.04 / DPI ))Мы видим, что при увеличении DPI на 1%, процентноеизменение C оказывается различным и зависит от того, какимбыло исходное значение DPI .
При DPI < 69.04 оно дажестановится отрицательным, а при DPI > 69.04 изменяется,уменьшаясь от +∞ до 1 . Если бы у нас значение параметра αбыло положительным, то тогда∆Cβ DPI1⋅ 100 ==≤1 ,Cα + β DPI 1 + (α / β DPI )6и процентное изменение совокупных расходов напотребление возрастало бы от 0 до 1 при увеличении DPI от0 до +∞ .Впрочем, в интервале наблюдавшихся значений DPI впериод с 1970 по 1979 год величина ( ∆C C) ⋅100 изменяетсянезначительно: от значения0 .98⋅ 751.6.−67 .66 + 0 .98⋅751.6 = 110до значения0.98⋅1015.7−67 .66 + 0 .98⋅1015.7 = 1.07 .Обратимся еще раз к примеру с безработицей.
В этомпримере мы подобрали модельBEL = 2.294 + 0.125 ZVET ,где BEL — процент безработных среди белого населенияСША, а ZVET — процент безработных среди цветногонаселения США.В соответствии с этой моделью, если количествобезработных среди цветного населения вырастет с ZVET %до ( ZVET + 1 ) %, то количество безработных среди белогонаселения вырастет («в среднем») с BEL % до ( BEL + 0125.
) %.В то же время, если речь идет об относительном ростебезработицы, то при увеличении доли безработных средицветного населения на 1%, доля безработных среди белогонаселения возрастает наβ ZVET0.125 ZVET=α + β ZVET 2.294 + 0.125 ZVETпроцентов. Значения ZVET изменяются на периоденаблюдений от 5.7 до 7.3 , так что последнее отношениеизменяется от0.125⋅5.72 .294 + 0.125⋅5.7 = 0.317до= 0.40 .В примере с куриными яйцами (SPROS — спрос, CENA —цена)SPROS = 211.
− 18.6 CENA .Увеличение цены на 1% приводит к возрастанию цены (вдолларах) на∆CENA = 0.01 CENA .Это, в свою очередь, приводит изменению спроса (всреднем) на∆SPROS = −18.6 ⋅ 0.01 CENA ,т. е. к уменьшению спроса (в среднем) на0 .1 8 6 C E N A дюжин, что составляет18.6 ⋅ CENA 0.186 ⋅ CENA ⋅ 100 = SPROS 211. − 18.6 ⋅ CENAпроцентов.В диапазоне цен от $0.39 до $0.54последняя величинаизменяется от 0.524 до 0.908 , что говорит о неэластичном(по цене) спросе. Последнее означает, что убытки от продажияиц по более низкой цене не перекрываются дополнительнымдоходом от возрастания объема реализации: объем реализациивозрастает, но в недостаточной степени.В то же время, в примере с совокупным располагаемымдоходом и совокупными расходами на личное потреблениерасходынапотреблениеформальнооказываютсяэластичными по располагаемому доходу (при изменениисовокупного располагаемого дохода на 1% совокупныерасходы на личное потребление изменяются в среднем более,чем на 1%).0.125⋅ 7 .32 .294 + 0.125⋅7 .381.10.
НЕЛИНЕЙНАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИРазумеется, связь между конкретными экономическимифакторами вовсе не обязана быть линейной.Например, если мы рассматриваем зависимость отрасполагаемого дохода DPI не всех затрат на личноепотребление, а лишь затрат C на некоторый продукт питания(или группу продуктов питания), например, на куриные яйца,то уже по чисто физиологическим причинам функция связиC = f ( DPI )скорее всего, должна замедлять свой рост при возрастанииDPI , так что возможный график этой функции имеет видCDPIВ такой ситуации нельзя говорить о склонности кпотреблению данного продукта как о постоянной величине.Вместо этого, в рассмотрение вводят понятие предельной(marginal) склонности к потреблению (MPC), которая длязаданной величины DPI располагаемого дохода определяетсяформулойf ( DPI + ∆DPI ) − f ( DPI )MPC ( DPI ) = lim.∆DPI → 0∆DPIИначе говоря,dCMPC ( DPI ) == f ′( DPI ) .dDPIЗамедлениескоростиростафункцииf ( DPI )соответствует убыванию MPC( DPI ) с возрастанием DPI .9Уточняя предположения о поведении MPC , можно получитьту или иную форму связи между переменными DPI и C .Среди прочих возможных форм связи между DPI и Cотметим степенную связьC = f ( DPI ) = α ⋅ ( DPI ) ,βв которой α > 0, 0 < β < 1 .
Для такой связиMPC ( DPI ) = αβ DPI β −1 ,так что предельная склонность к потреблению монотонноубывает с ростом DPI .Степенную форму связи можно привести к линейнойформе, если вместо уровней дохода и расходов на потреблениерассмотреть логарифмы уровней по какому-нибудь (но одномуи тому же!) основанию (например, натуральные илидесятичные логарифмы).Действительно, переходя к логарифмам уровней, получаемсоотношениеlog C = log α + β ⋅ log DPI ,или, обозначая log C = C ∗ , log α = α ∗ , log DPI = DPI ∗ ,C ∗ = α ∗ + β ⋅ DPI ∗ .Линейной модели связи в логарифмах соответствуетлинейная модель наблюденийC ∗ = α ∗ + β ⋅ DPI ∗ + ε i , i = 1,K , n ,которую мы уже умеем оценивать.Заметим, что коэффициент β в последних выраженияхесть не что иное какd log Cβ=;d log DPIэта величина не зависит от выбора основания логарифмов,так что10d ln C,d ln DPIгде используются натуральные логарифмы.Вообще, если мы имеем связь между какими-топеременными экономическими факторами X и Y в видеY = f (X ) ,то мы определяем функциюdYMPY ( X ) == f ′( X )dXкак предельную склонность Y по отношению к X.В экономической теории существенную роль играетфункция эластичности, определяемая как пределf ( X + ∆X ) − f ( X )⋅ 100f (X)η( X ) = lim∆X → 0∆X⋅ 100Xотношения процентного изменения Y к процентномуизменению X , когда последнее стремится к нулю.
Правуючасть последнего соотношения можно записать в видеX dY Xη( X ) = ⋅= ⋅ MPY ( X ) .Y dX YЗаметим также, чтоd ln f ( X ) d ln f ( X ) d ln X X dY=, = ⋅ dX Y dXd ln XdXтак чтоdY Yd ln Y Xη( X ) == ⋅ MPY ( X ) =.d ln X YdX Xβ=11Значение MPC( X 0 ) равно угловому коэффициентукасательной к графику функции Y = f ( X ) при X = X 0 , тогдакак значение η( X 0 ) равно угловому коэффициентукасательной к графику зависимости ln Y от ln X при X = X 0 .Как следствие, условие постоянства MPC( X ) , т. е.MPC( X ) ≡ β , означает линейную связь между уровнямифакторовY =α + β X ,а условие постоянства эластичности η( X ) ≡ β означаетлинейную связь между логарифмами уровнейln Y = α + β lnX ,соответствующую степенной связи между уровнямиY = exp (α + β lnX ) = Const ⋅ X β ,выражающей степенное возрастание (при β > 0 ) илиубывание (при β < 0 ) уровней фактора Y при возрастанииуровней фактора X .Заметим, что если η( X ) ≡ β , то эту постоянную можнотрактовать как процентное изменение уровня фактора Y приизменении фактора X на 1%.Отметим также, что в модели Y = α + β X функцияэластичности имеет видβXX1η( X ) = ⋅ β ==αα +βXY+1βXи при αβ > 0 возрастает от 0 до 1 с возрастаниемзначений X от 0 до ∞ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
