Численные методы. Ионкин (методичка) (2015) (1160451), страница 22
Текст из файла (страница 22)
А именно, если нечетно, то никакой устойчивый методне превосходит порядка = + 1. Если четно, то никакой устойчивый метод непревосходит порядка = + 2 ( — порядок аппроксимации). Для явных схем наивысшийпорядок аппроксимации устойчивых методов = .Замечание 3.Нетрудно привести пример схем, не удовлетворяющих условию (). Так, явнаядвухшаговая схема + 4−1 − 5−22−1 + −2=63(︀ )︀имеет третий порядок погрешности аппроксимации = O 3 (чтобы убедиться в этом,достаточно проверить условия -ого порядка аппроксимации, полученные в §36 текущейглавы).
Характеристическое уравнение (15) для этой схемыПример. 2 + 4 − 5 = 0имеет корни 1 = −5, 2 = 1, и, тем самым, условие () нарушено.§38Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравненийМногие из рассмотренных выше методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений переносятся без изменений на системы дифференциальных уравнений. Однако в случае численного решения системы уравнений могут возникнуть дополнительныетрудности, связанные с разномасштабностью процессов, описываемых данной системой.Поясним это на примере системы, состоящей из двух независимых уравнений⎧1 ()⎪⎪+ 1 1 () = 0, > 0⎪⎪⎪⎪⎨ (0) = ,101(1)()⎪2⎪+()=0,>0⎪2 2⎪⎪⎪⎩ (0) = ,202где 1 , 2 — положительные постоянные.Система (1) имеет решение1 () = 01 −1 ,2 () = 02 −2 ,монотонно убывающее с ростом . Предположим, что 2 гораздо больше, чем 1 .
Тогдавторая компонента 2 () затухает гораздо быстрее, чем первая и, начиная с некоторого момента времени * , поведение решения почти полностью определяется первой компонентой1 (). Однако оказывается, что при решении системы (1) явным разностным методом шагинтегрирования определяется, как правило, компонентой 2 () = 02 −2 , которая несущественна с точки зрения поведения решения системы.130Глава . Методы решения ОДУ и систем ОДУ()1 ()2 ()*Например, явный метод Эйлера− 1+11+ 1 1 = 0,+1− 22+ 2 2 = 0,где = ( ), = 1, 2, будет устойчив, если шаг удовлетворяет одновременно двумнеравенствам 1 6 2, 2 6 2.Поскольку 2 > 1 , условие устойчивости накладывает следующее ограничение на шагинтегрирования:26 .2Приведенный пример может показаться искусственным, так как ясно, что каждое из уравнений системы (1) следует решать независимо от другого со своим шагом интегрирования2 6 , = 1, 2.
Однако аналогичные трудности возникают и при решении любых системобыкновенных дифференциальных уравнений, если матрица этой системы имеет большойразброс собственных чисел.Определение.Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений вида⎧⎨ ()= (), > 0⎩(0) = ,0где () = (1 (), 2 (), . . . , ()) , и ( × ) — заданная матрица постоянных, вообщеговоря, комплексных коэффициентов, называется жесткой, если:§38. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений1311. Действительные части всех собственных значений , = 1, матрицы отрицательные.2. Выполняется неравенствоmax | |166min | |≫ 1.166Так же, как и в приведенном выше примере, нетрудно прийти к следующему выводу.Решение жесткой системы уравнений содержит как быстроубывающие, так и медленноубывающие составляющие.
Начиная с некоторого > 0, решение почти полностью определяется медленноубывающей составляющей, однако при использовании явных разностныхсхем быстроубывающая составляющая влияет отрицательно на устойчивость, вынуждаябрать шаг интегрирования слишком маленьким.Выход из этой парадоксальной ситуации был найден в применении неявных абсолютноустойчивых разностных методов для интегрирования жестких систем уравнений.Например, систему (1) можно решать с помощью неявной схемы Эйлера+1− 11+ 1 +1= 0,1− 2+12= 0,+ 2 +12которая устойчива при всех > 0.
Поэтому шаг интегрирования здесь можно выбирать,руководствуясь лишь соображениями точности, а не устойчивости.Понятие жесткости можно обобщить и на случай нелинейных систем. Рассмотрим систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений⎧⎨ ()= (, ()), > 0,(2)⎩(0) = ,0где() = (1 (), 2 (), . . . , ()) , (, ()) = (1 (, ()), 2 (, ()), . . . , (, ())) .Зафиксируем какое-либо решение () системы (2) и запишем разность () = () −() между произвольным решением системы (2) и данным решением (). Эта разностьудовлетворяет системе уравнений ()= (, () + ()) − (, ()), = 1, .(3)Проведем разложение по формуле Тейлора правой части этой системы, предполагая,что возмущение () в определенном смысле мало. Так как (, ()) = (, 1 (), 2 (), .
. . , ()),имеем (, ())1 ()+1(︀)︀ (, ()) (, ())+2 () + . . . + () + O |()| ,2 (, () + ()) − (, ()) =132Глава . Методы решения ОДУ и систем ОДУ(︀ )︀где через O || обозначены величины более высокого, чем первый, порядка малости по .В результате этого разложения система (3) запишется в виде(︀)︀z() (, ())=() + O |()| ,где через(4) (, ())обозначена матрица с элементами (, ()) = (, ()),, = 1, .Обрывая разложение в правой части (4), получим так называемую систему уравненийпервого приближения (, ())()=().(5)Эта система линейных дифференциальных уравнений относительно (), так как ()задано. Теперь уже можно дать определение жесткости системы нелинейных дифференциальных уравнений.
Это определение связано как с данным фиксированным решением() так и с длиной отрезка интегрирования. Пусть (), = 1, — собственные значенияматрицы (, ()).() =Введем число жесткостиmax | ()|166.() =min | ()|166Определение.0 < < еслиСистема (2) называется жесткой на решении () и на данном интервале1. () < 0, = 1, .2.
Число жесткости () велико на рассматриваемом интервале 0 < < :max | ()|166min | ()|≫ 1.166Заметим, что первое требование означает асимптотическую устойчивость по Ляпуновурешения ().§39Дальнейшие определения устойчивостиПри исследовании разностных схем для жестких систем уравнений обычно рассматриваютмодельное уравнение()= (),(1)где — произвольное комплексное число. Свойства различных разностных схем изучаюти сравнивают на примере этого уравнения.Для того, чтобы уравнение (1) действительно моделировало в некотором смысле исходную систему()= (, ()),§39. Дальнейшие определения устойчивости133необходимо рассматривать его при значениях , являющихся собственными значениямиматрицы (, ())=.Кроме обычного определения устойчивости (все корни характеристического уравненияне превосходят по модулю единицу) при рассмотрении жестких систем используют и другие, более узкие определения устойчивости.
Мы рассмотрим два таких определения.Определение. Областью устойчивости разностного метода называется множествоточек комплексной плоскости = , для которых данный метод, примененный к уравнению (1), устойчив.Рассмотрим, например, явную схему Эйлера:+1 − = ( , ).В применении к уравнению (1) эта схема примет вид+1 = (1 + ) , = .Условие устойчивости |1 + | 6 1 для комплексного числа = 0 + 1 означает, что(0 + 1)2 + 21 6 1.Таким образом, область устойчивости данного метода представляет собой круг единичногорадиуса с центром в точке (−1, 0).Im 11Рассмотрим теперь неявную схему Эйлера+1 − = (+1 , +1 ).В применении к уравнению (1) эта схема примет вид+1 − = +1 .Перепишем это уравнение в виде+1 =1 .1−Область устойчивости метода определяется условием⃒⃒⃒ 1 ⃒⃒⃒⃒ 1 − ⃒ 6 1,Re 134Глава .
Методы решения ОДУ и систем ОДУкоторое эквивалентно неравенству|1 − | > 1и представляет собой внешность круга единичного радиуса с центром в точке (1, 0).Im Re Разностный метод называется -устойчивым, если область его устойчивости содержит полуплоскость, задаваемую условиемОпределение.Re < 0.Отметим, что уравнение (1) асимптотически устойчиво при Re < 0. Поэтому всякий-устойчивый метод является абсолютно устойчивым (устойчивым при любом > 0),если устойчиво решение исходного дифференциального уравнения. Нетрудно видеть, чтонеявный метод Эйлера является -устойчивым, а явный метод Эйлера не является устойчивым.Рассмотрим схему второго порядка аппроксимации:+1 − (+1 , +1 ) + ( , )=.2(2)В применении к уравнению (1) эта схема примет вид+1 − = (+1 + ).2Отсюда находим+1 = ,где = 1+0.51−0.5 .
Неравенство || 6 1 выполнено при Re 6 0. Следовательно метод (2)является -устойчивым.При решении жестких систем уравнений было бы желательно пользоваться именно-устойчивыми разностными методами, так как условия их устойчивости не накладывают ограничений на шаг . Однако класс -устойчивых методов весьма узок. Известно,что не существует явных линейных многошаговых -устойчивых методов. Среди неявныхлинейных многошаговых методов нет -устойчивых методов, имеющих порядок аппроксимации выше второго. Таким образом, схема (2) является одной из лучших -устойчивыхсхем. В связи с тем, что класс -устойчивых разностных схем весьма узок, было введенонесколько определений устойчивости, являющихся менее ограничительными, чем определение -устойчивости.Разностный метод называется ()-устойчивым, если область его устойчивости содержит угол левой полуплоскости:Определение.| arg(−)| < , = , > 0.§40.
Разностные методы решения краевой задачи для ОДУ второго порядка135Im В частности, (︀ )︀2Re -устойчивость совпадает с -устойчивостью.Известно, что ни для какого не существует явного ()-устойчивого линейного многошагового метода. Построены ()-устойчивые неявные методы третьего и четвертогопорядка аппроксимации. К ним относятся чисто неявные многошаговые разностные схемы, у которых правая часть (, ) вычисляется только при новом значении = + , апроизводная ′ () аппроксимируется по нескольким предыдущим точкам и точке = + .Например, схема25+4 − 48+3 + 36+2 − 16+1 + 3= (+4 , +4 )12имеет четвертый порядок аппроксимации и ()-устойчива при некотором > 0.§40Разностные методы решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядкаИнтегро-интерполяционный метод (метод баланса) построения разностных схемРассмотрим первую краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка.Требуется найти непрерывную на отрезке 0 6 6 1 функцию (), удовлетворяющуюуравнению(︂)︂()− ()() + () = 0, ∈ (0, 1)(1)и краевым условиям первого рода при = 0, = 1(0) = 1 , (1) = 2 ,(2)где 1 , 2 — числа.Будем предполагать, что (), (), () — заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям() > 1 > 0, () > 0,1 = .При сформулированных условиях решение задачи (1) – (2) существует и единственно.Введем сеткуℎ = { = ℎ, = 0, , ℎ = 1}.Обозначим− 1 = − 0.5ℎ, + 1 = + 0.5ℎ,22136Глава .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
