Численные методы. Ионкин (2012) (неоффициальные) (косяки есть) (1160437), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Устойчивость: если рассматриваем разностную схему (3) с нулевымусловием на границе, то получаем в точности такую же задачу, как и для z. А этоозначает, что выполняется оценка:kykC 6l12 + l22kϕkC4(16)означающая устойчивость разностной схемы по правой части уравнения.Теорема 7. Пусть решение U (x1 , x2 ) исходной задачи принадлежит классу C 4 (D).Тогда разностная схема (3) (4) сходится к исходной задаче (1) (2) со вторым порядком точности по h1 и h2Доказательство: Так как kψkC 6 M (h21 + h22 ), где M > 0 не зависит от h1 , h2 , тоl2 + l22не зависит от h1 , h2 . Следовательно,получаем kzkC 6 M1 (h21 +h22 ), где M1 = M 14эта оценка говорит о том, что имеет место сходимость со вторым порядком точностипо h1 , h293§8 Методы решения разностных схем для задачи ДирихлеЗапишем разностную схему на шаблоне "крест"для 0 < i < N1 , 0 < j < N2 :yi−1j − 2yij + yi+1j yij−1 − 2yij + yij+1+= fijh21h22(1)yij = µij , xij ∈ Γh(2)Так как нужна хорошая точность, нужно брать h1 , h2 очень маленькими, но тогдачисло уравнений может стать очень большим.

Но эти уравнения специального вида:в матрице коэффициентов много нулей. Самый распространенный способ решениятаких систем алгебраических уравнений — итерационный метод. Для того чтобыпостроить итерационный метод, разрешим (1) относительно центрального узла:2yi−1j + yi+1j yij−1 + yij+12+ 2 yij =+− fij2h1 h2h21h22номер итерации будем писать в верхнем индексе. Тогда метод Якоби будем выглядетьследующим образом:22+ 22h1 h2(s)(s+1)yij(s)(s)(s)yi−1j + yi+1j yij−1 + yij+1=+− fijh21h22(3)(0)начальное приближение yij задано, s = 0, 1, 2, . . . . Если h = h1 = h2 ( или max h1 , h2 ),то число итераций в методе Якоби будет пропорционально O(h−2 ) – эта сходимостьмедленная (следовательно метод не эффективен).

Метод Зейделя записывается следующим образом:22+ 22h1 h2(s+1)(s+1)yij(0)(s)(s+1)(s)yi−1j + yi+1j yij−1 + yij+1+− fij=h21h22(4)начальное приближение yij задано, s = 0, 1, 2, . . . . Видим ,что здесь сразу разрешитьотносительно s + 1 итерации не удастся. Но все равно все можно найти по явнымформулам.l2l194Вначале находим y11 по явной формуле. Затем находим y1j , j = 1, N2 − 1. Далеенаходим y2j для j = 1, N2 − 1 по явным формулам. Таким образом, начиная с узла(1,1) и заканчивая узлом (N1 −1, N2 −1), все значения yij находятся по явным формулам.

У данного алгоритма тоже медленная сходимость. Кружочком обозначена s–яитерация, квадратом — (s + 1)–я итерация.Рассмотрим попеременно треугольный итерационный метод. Запишем даннуюсистему алгебраических уравнений в виде Ay = ϕ, где A = A∗ > 0 (суждение о положительно определенности можно сделать из вида собственных значений). И представим матрицу в следующем виде: A = R1 + R2 (ниже и верхнетреугольная формаматриц,диагональные элементы которых равны 0.5aij ).(E + ωR1 )(E + ωR2 )y (s+1) − y (s)+ Ay (s) = ϕτ(5)где τ, ω – положительные действительные числа - итерационные параметры, удоτ(0)влетворяющие условию ω > , начальное приближение yij задано, s = 0, 1, 2, . .

. .4Этот метод является неявным ,так как B = (E + ωR1 )(E + ωR2 ), где E - единичнаяматрица. Этот метод тоже разрешим явными формулами:y (s+1) − y (s)1)(E + ωR2 )= W (s+1)τ2)(E + ωR1 )W (s+1) = ϕ − Ay (s)y (s+1) − y (s)3)V (s+1) =τПолучается, что из второго находится W (s+1) , обращая (E + ωR1 ). Далее из первого находим V (s+1) , обращая верхнетреугольную форму, а из третьего досчитываемV (s+1) .

Если выбираем итерационные параметры правильно, то число итераций будет O(h−1 ) = n0 (ε). Попеременно – треугольный итерационный метод сходится напорядок быстрее, чем методы Якоби и Зейделя.§9 Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимостьВсе последующие определения присущи любым линейным классическим задачам.

Для нелинейных это будет не так. Пусть решается дифференциальная задача слинейным оператором:LU (x) = f (x), где x ∈ G(1)G - некоторая область.Оператор L – линейный, включает в себя краевые и начальные условия. x – многомерный вектор. Например, для двумерного уравнения теплопроводности это будут переменные x1 , x2 , t.

Области G поставим в соответствие множество узлов Gh ,следовательно h – норма всех шагов, обобщающая характеристика. Если эта нормастремится к нулю, то количество узлов возрастает. Выбор сетки - серьезный вопросна практике. В данном параграфе этот вопрос не рассматривается.95После введения сетки вводится сеточная функция yh и разностный оператор Lh .

Витоге получаемLh yh (x) = ϕh (x), где x ∈ Gh − узлы сетки(2)Например, h = max h1 , h2 , . . . , hn Тогда (2) - разностная схема , где h любая норма,шагов столько, какова размерность задачи. Уравнение (2) представляет собой систему алгебраических уравнений, называется разностной схемой, аппроксимирующейисходную задачу. Пусть функция U (x) из нормированного линейного пространстваB0 , x ∈ G, а yh (x) из линейного нормированного пространства Bh , x ∈ Gh .

Введемоператор проектирования: P : B0 → Bh . Тогда функция Ph U = Uh (x), x ∈ Gh .Введем нормы: kCk0 - в пространстве B0 , kCkh - в пространстве Bh . нормы должныбыть согласованы:lim kUh kh = kU k0h→0Рассмотрим конкретный пример: пусть область G = x : 0 6 x 6 1. Тогда ясно, чтосетка будет иметь вид: Gh = {xi = ih, i = 0, N , hN = 1}, U (x), x ∈ G, yh (x) ∈ Gh .Рассмотрим разные нормы: kU k0 = max |U (x)| = kU kC - норма в B0 ,06x61kyh kh = max |yi | = kykC − норма в Bh06i6NИ эти нормы согласованы:ZkU k0 =1U 2 (x)dx 21− норма в L2 , kykh =0NX! 12yi2 hi=0И эти нормы тоже согласованы.

Приведем пример несогласованных норм:ZkU k0 =1 212U (x)dxkykh =0NX! 12yi2i=0P 121NВозьмем функцию U (x) = 1. Тогда kUh kh =1= (N + 1) 2 . Ясно, что еслиi=0h→0 :lim kUh kh = ∞.h→0Если нормы не согласованы, то нет гарантии, что при h → 0 yh → U, где U –единственное решение исходной задачи.

Оператор проектирования можно ввести вболее общем виде следующим образом:Z1 xi +0.5h(Ph U )i =U (x)dxh xi −0.5hво всех внутренних точках i = 1, N − 1. На границе:Z 0.5hZ 111(Ph U )0 =U (x)dx , (Ph U )N =U (x)dx0.5h 00.5h 1−0.5h96Будем исследовать функциюzh = yh − Uh ,(3)которая называется погрешностью решения.Выразим из (3): yh = zh + Uh . Подставим полученное в начальное уравнение. В силулинейности операторов имеем:Lh zh + Lh Uh = ϕh , ⇒ Lh zh = ψh , где ψh = ϕh − Lh Uh(4)Определение.

Сеточная функция (4) называется погрешностью аппроксимацииразностной схемы (2) на решение задачи (1).Определение. Говорят, что разностная схема имеет k−й порядок аппроксимации, если существуют положительные константы M1 , k не зависящие от шаговh, для которых справедлива оценка: kψh kh 6 M1 hk , где k не обязательно натуральное ( может быть и дробной, главное, чтобы не зависела от шагов).Задача (1) корректно поставлена, если выполнены 2 условия:1) у данной задачи существует и притом единственное решение U (x) ∀f (x), x ∈ G2) решение непрерывно зависит от правой части.Определение. Говорят, что разностная схема корректно поставлена, если выполнены два условия:1) у данной задачи существует и притом единственное решение yh ∈ Bh при любыхправых частях ϕ2) существует положительная константа M2 не зависящая от шагов сетки hтакая, что выполнена оценка :kyh kh 6 M2 kϕh kh(5)Оценка (5) называется априорной оценкой, и она означает устойчивость - этовнутреннее свойство разностной схемы.Определение.

Говорят, что решение разностной задачи сходится к решению исходной задачи, если kzh kh = kyh − Uh k → 0 при h → 0. Может быть как быстраясходимость, так и медленная.Определение. Говорят, что разностная схема имеет k−й порядок точности, если существуют положительные константы M3 , k не зависящие от шагов h, длякоторых выполнена оценка kzh kh 6 M3 hk .Теорема 8. (Филиппова) Пусть исходная задача (1) корректно поставлена и пустьразностная схема (2), аппроксимирующая задачу (1), корректна.

Тогда решение разностной задачи сходится к решению исходной задач с порядком погрешности аппроксимации.Доказательство: Если разностная схема корректна, то kyh kh 6 M2 kϕh kh и M2 независит от шагов h. Запишем задачу для погрешности: kzh kh 6 M2 kψh khТак как у нас есть аппроксимация, то kψh kh 6 M1 hk , M1 не зависит от шагов h. Изэтих неравенств вытекает оценка:kzh kh 6 M3 hk , где M3 = M2 M1 − не зависит от шагов h и lim kzh kh = 0h→0Причем точность будет такого порядка, как и аппроксимацияГлава 5Методы решения обыкновенныхдифференциальных уравнений исистем ОДУ§1 Постановка задачи Коши и примеры численныхметодов интегрирования задачи Коши du= f (t, u(t)),dtu(0) = u ;0t > 0,(1)u(t) = (u1 (t), u2 (t), .

Характеристики

Список файлов лекций