Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 58
Текст из файла (страница 58)
При исследовании колебательных процессов иногда т1жбуется найти два максимальных по модулю собственных значения матрицы, причем меньшее из них обычно достаточно определил, с меньшей точноспао. 4. Вам же возникает задача отыскания собственного значения матрицы, наиболее близкого к заданному числу Лв, или отыскания расстояния от заданного числа Ле до спектра матрицы. Формально рассуждая, можно было бы сказать, что эти задачи, называемые часшочкыми нраблемомп себстесмямх значений, являются частным случаем общей проблемы собственных значений и достаточно ограничиться рассмотрением методов решения общей проблемы.
Однако такой подход приведет к неоправданно болыпому обьему вычислений. При обсуждении постановок конкрепвлх задач, связанных с отысканием собственных значений матриц, зачастую значительные усилия тратятся именно на установление минимального объема информации о спектре матрицы, которым можно ограничпгьс».
Решение задач 2-4 обычно сводят к отысканию максимального по модулю сабсгвенного зна юиия некоторой матрицы  — д1А) такой, что это Глава 6. Численные иетсдм алгебры 31й собственное значение ссюгветствуег отыскиваемому собственному значь нию матрицы А. Рассмотрим случай, когда всл ссбственныв значения матрицы А веществею~ы. Если требуется найти максимальное или минимальное значенив матрицы А, то слелует взячь д(А) = А+ сЕ.
Очевидно, что при достаточно болыпих положительных (отрицательных) значениях с максимвлг ному по модулю собствопному значению матрицы А+ сЕ соотвстствуег максимальное (минимальнов) собственное значение матрицы А. В случае задачи 4 при некотором с максимальное по моцулю собственное значе. ние матрицы Ь' — с(А — Л Е) соотвегтзвусг огыскяваемому собственному в значению матрицы А. Иногда в качествс такой матрицы й(А) может нспольиоваться матрица (А — ЛсЕ) '. При этом л~атрица (А — Л"Е) ' нс вынисывасгся в ианом виде, а необходимые по ходу вычислоний векю. ры (А — Лс.Е) гу находят, решая систему урввнвний (А — ЛвЕ)х=у. Рассмотрим типичную задачу отыскания двух максимальных по модулю собпгвепных значений матрицы А.
Для ггрооюты предполагаем налично полной системы собственных векторон ес Ае = Л е, )Л~) >)Лт) >)Лз) > ' > (Л Зададимся некоторым вектором х и будем последовательно вычисяять вскторы хв+' = Ах". Представим х" в виде хв = ) с„сб имеем =3 Отсюда слелу~от сюипгон~ения х"=сгЛ в~+О()Лз(ь), (х,х ) = (сгЛге~ 4-О((Лз)~),сгЛте~ 4О()Лт) ]) =)с~)з)Л~)та +О()Лг)ь/Лз) ), (хат',хв) =(с~Лгьыег+О((Лв("+'),с,Л*,'е~-~-О()Лт)в)) = = Лг)га/~)Лг)~" +О()Лг)в)Лз)в). Положим Л~Ш = ( ' 4, хл)у(х", х ), Из последних соотношений при с~ ф й получаем (, (Лз( ) („) ЛгсзЛ, +О()Лг("(Лт)") Г ( Ч )Лг/ /) ((Лз(") 2 Л,6+О~-,,~ — ~ ) 'тсг )Лг) / (1) Задача 1. Доказать, что в случал симметричной матрицы Л( ) = Лг + О((Лт/Лг(з').
2 12. Проблема собственных значений Кроме (1) имеем ))хи() = )с,Лт)+ О()Л,)л), с.л; е, ((хи)) (сг))лг)" -Р О()лз)") (,'-,,'г.)е, + О ц г, ) ) + 1)гг! ) щесь уг„= агб(сглг'). Таким образолг, в ходе этого иторационного процесса также получаем собственный вектор, соответствующий Лг. Может случиться, что у матрщгы А имеются деа максимальных по ысдулю собстненных значения Лг гг Лг, )Лг) = )Лг) > )Лз) > ... В атом случае величина Л(гл) будет устанавливаться только в часпюм случае, когда сг или сз равно нулю. Если заранее известно, что таких собственных значений два, то их и соответствугощие им собктвенные векторы можно щкже определить, анализируя поведение Лг и е, ).
Расгмотримтивичный случай, когда.4, Лг, Лг, хе вещестееняые, Л, > О, Л, = -Л . Тоги хв = сгл,"е~ -г-сз( — Лг)лег -~-О()лз)"), хл+г = сг Л',*т ег т ог( — Лг) "тзез + О()лз)л) = = Лз[сгЛ,"ег Ес ( — Лг) ег)+О()Лз("). Оизода получаем, что Лбй = (х ~з, х")/(х, хв) = Лг + ОВЛз/Лг)"). Пря Л("г > О полыаем Л( зг = Ль/Лг"г. Имеем к"+г = х тг + Лг"гхщг = 2сгЛ",+'ег + О((Лз( ), поэтому еыг, +~/))я-ы)) = е, + О()Лз/Лг( ). Точно так же азьг =хи" г +лгыгхг г = 2о лз+гез+О()лз) ) и ез = яз+'/))кз+'() = ег + О()Лз/Лг) )- Если Л; — гнбственные значения магрипы А, то у сопряженной магрицы А собственным знагением будет Лз при этом если Ае, = Лгег, Глава б. Числеиные методы алгебры ййй А*О = Л йп Л, р' Л, то (еи йз) = О.
Позтому нри )Лз) > (Ля) > )Лз( > ° .. для нахождения собственного значения Лг можно лостунать так. Получив приближение е1 -- ез, аналогично определяем нрибаижевие 21 к вектору б, и нормируем его условием (ез, йз) = 1. Далее ведем итерации ло фор. мулам ув+з = Ау"; для исключения комлоленты, пропорциональной е,, в1юмя от времени векторы у" ортогонализируем по отнщлению к вектору йз, т.е. начю~ьиьыз для погледующих итераций вместо ул берем вектор У, = Уе — (У, б1)еп Естественно, тго схадимосзь итерационного процесса лунце, если и на щльгзом приближении у = ~ 4е„слагаемое г(гет ореобладинг над =1 остальными слагаемыми. Возьмем из описанного вьнле итерационного процесса отыскания Л~ и е1 некоторое приближение х .
Векчор у н х' — (х', 21)ез нримем за начальное приближение. Не следует брать слюнном малым, иначе компоненты с Л,е цри 1 > 2 не будут малы но сравнению г. стЛтеж в то жг время не следует брать 1 очщн бозьшизь ! поскольку в этом случае компонента стЛзез будет малой но сравнению с вычислительной погрешнонгью. с1асго мсвкно встретить следующее высксыывание: если с, = О, то олнсанный итерационный процесс. казалось бы, яе должен лввать нрнближення, схолящиеся к максимальному оо лавалю собственному значению; однако а лейсшительности из-за нрясутсз вия округлений в нроцыхв изераций может ооявитьси комеонента, пропорциональная еп и «с зедсшвяе атно требуемый рзультат вге равно будет получен.
Реэльно ори ислользовавии соврал~вялых ЭВМ с Гюлыоой разрялнсктые может случиться, чзо после некоторого числа |нврацяй влияние вычигзшвльной оо- грещносзи еще не будет сувяхтаенно, в то время как величина ~ с,Л,"е, будез ыз мала во сравнению с се Л.",ез. Тогда Ах" м солка х" и можно сделать неверный вывод, тзо искомое первое собственное значение найлеио. Поэтому в юх случаях,котла нет уверенности в нраеиаьищгги найденного собственном>значения, следует провести еще один или несколысо рвсчензв с друтгзми значснииии ув. В ряле случаев повеление сосзввляюов.й, пропорциональной ез, не является неизбежным даже в случае присутствия округлений.
При решении лроблемы ~хбсгвенных значений для дифференциальных и интегральных ооеразоров иногда возникают матрицы А со слецифическими свойсгваии. Налример, часто встречается случай, когда нри всех з, 1 вьщолняется равыктво (2) а;1.=-а зч ь ы —.. Дл» определенности рассмотрим случай четного т. Назовем четными векторы х, компоненты кшорых связаны равенством х, = я тз „г = 1,..., щ, и нечетными — равенством х; = -х ч~ ь При условии (2) век вар Ах четсн, если х четен, и нечетен, если х нечетви. Поэтому лсщлространства чегзюых и нечетных 319 т 12.
Праблеми собственных значглий векторов являются собственными дэя оператора А. Следовательно, сугцычиуег полная система ссбствеиныт векторов, принадлежащих этим подпространсгвам, т. е. являющихс» или четными, вли нечетными. Это обстоительство может быть существенно использовано: сели ешсгар хе чвгев вли нечстеи, то чтим же свойством облчкают все вгхторых", осам у при отыскании каждогопаследующего «екзара х" следует ограиичитьсв оиргделевием первой половины его колшоншп: Кроме эгогш можно объединять коэффициенты, ссспветствуюшие компонентам х„и х„,.д г.
Например, при четном хс вычисления «ампоны~т х" можно производить па формулам цз х„" = г (а,г+е,„мь )х'„Л е! т В случае итераций такош вид» мы ое выходим за пределы надпространств четных яли нечетных векторов саатеетспюшкь Поэтому если хе н е1 принвдлезкат различным падпространсгевм, <оставляющая, пропорциаиальнш1 ем звк я не появится. Кролю непосредственного уменьшения вычислевий при отыскании каждого ыктора х", испгвощоваяяе свойства (2) полезна шкже по следующей причина. Довольно тивичен случай, когда сюбсгвенные векторы с яебгв1ьшимя нечетными номерами являюпл чегнымн, а с небольшими четными номерами нечетными; предположим, что (11( > (Лз( > (Лз( >...
Тснща при хе четном шведа х" = агЛ",ег+сэЛэез+"' = гтЛ1ег + О((Лз( ) следовательно, Л(Ш вЂ” Л, = Г)((Лз/Л,(е) при Л(ш = (х" г', х")/(х", х'*). С<юзветствевно пря х нечепюы имеем х =огЛгез+0((Л4( ) и Лзф) — Лз = П((Лг/Лз("] при Л~~"1 = (х +', х")/(х", х ). При эгам ве возникает никакой проблемы падавледи» составляющей, щюпор- цяанальнай ег. Если (Лг( > 1, то ((х" (( -э оа при и -+ сю, поэтому при достаточно большом и произойдет переполнение разрядности чисел и опгеяавка ЭВМ. Рсли (Лг( с 1, то ((х"((-+О, и вследствие конечности порцдков чисел в маслина маигпг случиться, что, начиная с некоторого пе х" ш О. Чтобы избежать этих явлений, полезно время от времени нормировать вшстор х, чшбы ((х" (( = 1.
Для практической оценки погрешности и ускоргшия схадимости итерационных процессов может быть применен бз-процесс и другие приемы, аналогичные ыегцгщм ускорения слоддмоаги при решении систем линейвык уравнений. Например, могут арименяться итерации вида х +Г Глава б. Чиглеияые мпщпы элгчбрл~ 320 дл(А]х со спепивльгпям подбором в зависимости от извечной ииформашли о спектре матрицы А многочлена дл(А). Поскольку (Ах, х) г (Ах, х) лпах Лл — — епр -, шш Л'л —— лпу (х,х) ' х (х,х) при А = Аг, то некоторые приемы отыскания максимальною и мини.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
