Курс Функционального Анализа 1998 год (1159987)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Курс Функционального Анализа 1998 год

1. Абсолютно непрерывные функции. Связь между абсолютно не­прерывными функциями и интегралом Лебега (КФЭ 394).

Абсолютно непрерывной называется такая функция , заданная на отрезке [a,b], что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов (a_k,b_k) с суммой длин меньшей , сумма модулей разностей значений функции в концах интервалов меньше чем .

Утв. Всякая абсолютно непрерывная ф-я имеет ограниченное изменение.

Теорема. Функция , представляющая собой неопределенный интеграл суммируемой ф-и, абсолютно непрерывна.

1. Метрическое пр-во. Определение и примеры. Полнота. Теорема о вложен­ных шарах в метрическом пр-ве.

Полугруппой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция.

Группой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкну­тая ассо­циативная бинарная операция и существует еди­ница.

Кольцо - множество объектов с двумя бинарными операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по второй операции, причем для элементов кольца справедлив за­кон ассоциативности и дистрибутивности.

Поле – кольцо с единицей, содержащее элементы отличные от нуля, для каж­дого из которых определен обратный элемент по “умноже­нию” (являющееся группой по умножению).

Линейным векторным пр-вом над кольцом наз. множество объектов назы­ваемых векторами с определенными операциями векторного сложения и умно­жения вектора на скаляр, такими, что это множество является группой по век­торному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.

Выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его под­множество, что для любых его двух элементов х и у и числа из [0, 1] элемент х+(1-)у принадлежит Е.

Уравновешенным подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Е и числа , по мо­дулю не превосходящего единицы элемент х принадлежит Е.

Абсолютно выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа любых двух чисел : 1 + элемент х+у принадлежит Е.

Поглощающим подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Х существует число большее нуля, что для все чисел по модулю не меньших найдется элемент у из Е, что х равен у.

Калибровочной функцией векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): ХR, что для нее выполнены следующие условия:

1. Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: К р(х)= р(х).

2. Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у) р(х+у).

Полунормой векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): ХR, что для нее выполнены следующие условия:

1. Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: К х= х.

2. Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у) р(х+у).

Утв. Пусть р() – неотр. калибровочная ф-я. Тогда мн-во Е={х: р(х)<}выпукло и поглощающее, р(х) - полунорма.

Нормированным называется такое векторное пр-во Х над полем К, если опре­делена функция нормы из Х в R, такая, что для нее справедливы следующие условия:

1. Норма неотрицательна и равна нулю лишь в том случае, когда сам элемент равен нулю: х0, х=0 х=0.

2. Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: К х= х.

3. Выполнено нер-во треугольника: х+ у х+у.

Метрическим пр-вом называется мн-во Х на котором задана бинарная функция (х,у), для которой справедливы следующие условия:

(х,у)=0 титт х=у. (х,у)= (у,х). (х,z) (х,у) +(у,z).

Полным называется такое метрическое пр-во, в котором любая фундаментальная посл-ть сх-ся.

Топологическим пр-вом называется такое множество Х в котором определена система его подмножеств , называемая топологией, та­кая, что для нее справедливы условия:

Мн-во Х и пусто мн-во принадлежит . Объединение и пересечение мн-в из лежит в .

Базой топологии пр-ва Х называется система открытых мн-в из Х, таких, что всякое открытое мн-во из Х может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы мн-в из .

Хаусдорфова топология (????).

Теорема. Пусть Х – векторное топологическое пр-во, тогда существует база ок­рестностей нуля, состоящая из замкнутых поглощающих мн-в.

Порождающая система полунорм (???).

Теорема. Локально выпуклое пр-во Х метризуемо титт, когда топология хаус­дорфова и существует счетный набор порождающих полу­норм.

1. Банаховы пр-ва. Теорема о вложенных шарах в банаховом пр-ве (КФЭ 81).

Банаховым пр-вом называется полное нормированное пр-во.

Теорема. Для того чтобы метрическое пр-во Х было полным необх. и дост., чтобы в нем любая посл-ть вложенных друг в друга замкну­тых шаров, радиусы к-рых не стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

1. Теорема Бера. Принцип сжимающих отображений (КФЭ 83).

Сжимающим называется такое отображение полного метрического пр-ва : ХХ, что существует число r<1, такое что r (х,у)((х),(у)).

Теорема. Для сжимающего отображения существует единственная неподвиж­ная точка (х)=х.

Теорема Бера. Полное метрическое пр-во Х не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных мн-в.

1. Теорема о пополнении (КГТ 12).

Пополнением метрического пр-ва Х называется метрическое пр-во У, такое, что выполнены следующие усл-я:

Y полно. Х лежит в Y. Х плотно в Y, т.е. каждая точка из Y является предельной для Х.

Теорема. Каждое метрическое пр-во Х допускает пополнение Y. Любые два пополнения пр-ва Х изометричны, причем изометрия, связы­вающая их, оставляет на месте точки Х.

1. Сепарабельность, компактность, критерий Хаусдорфа.

Сепарабельным называется такое топологическое пр-во Х, что в нем сущест­вует счетное всюду плотное мн-во Е, то есть для любого элемента из Х и для любой его окрестности найдется элемент из Е, принадлежащий этой окрестно­сти.

Компактным подмножеством топологического пр-ва Х называется такое его подмножество А, что из любого покрытия мн-ва А систе­мой открытых мн-в можно выделить конечное подпокрытие.

Предкомпактом называется множество, замыкание к-го компакт.

-сеть для мн-ва В является такое мн-во А, что для любого элемента из В най­дется элемент из А, отстоящий от него не далее, чем на .

Критерий Хаусдорфа. Пусть Х – полное метрическое пр-во и А подмножество в Х. Мн-во А предкомпактно титт, когда для каждого >0 мн-во А обладает ко­нечной -сетью.

Сл-е. В конечномерном нормированном пр-ве предкомпактность равносильна ограниченности.

1. Непрерывные функции на метрических компактах. Эквивалент­ность норм в Rⁿ.

Теорема. Пусть Х – компактное метрическое пр-во и - непрерывная на нем числовая ф-я. Тогда ограниченна на Х и достигает на Х верхней и нижней граней.

Эквивалентными в лин-ом пр-ве Х называются такие две нормы ||||₁ и ||||₂ , что существуют положительные числа a и b для которых справедливо нер-во a||x||₁||x||₂b||x||₁ при всех x из X.

Теорема. В конечномерном лин. пр-ве Х любые две нормы эквивалентны.

1. Теорема Асколи-Арцела (КГ 75).

Теорема Асколи-Арцела. Пусть С(Х) –нормированное пр-во вещественных непрерывных ф-й на метрическом пр-ве Х с нормой =max(x). Для того чтобы подмножество А мн-ва С(Х) было предкомпактным необх. и дост. Чтобы были оно удовлетворяло следую­щим условиям:

1. Мн-во А равномерно ограниченно т.е. для любой функции существует единое для всех число С, такое что модуль не превосходит это число: С (х)С.

2. Мн-во А равностепенно непрерывно т.е. для любой функции и для любых двух точек х и у найдутся такие числа и , что как только расстояние ме­жду точками меньше, чем разность аргументов функции меньше : >0 >0, справедливо (х)-(у)< , если (х,у)< .

1. Критерий предкомпактности единичного шара (КГТ 74).

Теорема. Пусть Х – лин-ое нормированное бесконечномерное пр-во, тогда единичный шар B={x: ||x||<1}не является предкомпактным мн-вом.

1. Евклидовы пр-ва. Неравенство Коши-Буняковского.

Евклидовым называется такое лин-ое пр-во Х если для него справедливы следующие условия:

1. Определена операция ( , ): ХХС.

2. (х,х)0. (х,х)=0 х=0.

3. .

4. (х+у,z)= (х,z)+(y,z).

Утв. Норму в Евклидовом пр-ве можно ввести следующим образом: .

Утв. Метрику в Евклидовом пр-ве можно ввести следующим образом:(х,у)=||x-y||.

Теорема. Для любых двух элементов х и у из Х справедливо нер-во Коши-Буняковского:

|(x,y)|||x||||y||.

Предгильбертовым называется такое лин-ое пр-во Х если для него спра­ведливы следующие условия:

1. Определена операция ( , ): ХХС.

2. (х,х)0.

3. .

4. (х+у,z)= (х,z)+(y,z).

Гильбертовым пространством называется полное бесконечномерное Евклидово пр-во.

Утв. Определение Гильбертова пр-ва эквивалентно предгильбертовости пр-ва с добавлением условия (х,х)>0 при x отличных от нуля.

1. Теорема о существовании и единственности элемента наилуч­шего прибли­жения в гильбертовых пр-вах. Теорема о разложении в прямую сумму.

2. Ортонормированные системы. Процесс ортогонализации.

Опр. В Евклидовом пр-ве косинус между двумя векторами х и у можно определить как .

Ортогональной в Евклидовом пр-ве Х называется такая система векторов {x}, что при различных и (х,х)=0.

Ортогональным базисом в Евклидовом пр-ве Х называется такая ортогональная система , что ее лин-ая оболочка совпадает с Х.

Ортонормированной системой в Евклидовом пр-ве Х (о.н.с.) называется такая система векторов {x}, что при различных и (х,х)=0 и для всех векторов x ||x ||=1 .

Ортогонализацией л.н.з. системы векторов {y}называется процесс, ставящих ей в соотв. Новую системы векторов {x},являющуюся ортонормированной, такую, что лин-ые оболочки обоих систем совпадают.

1. Неравенство Бесселя, Теорема Рисса-Фишера.

Коэффициентами Фурье элемента из евклидова пр-ва X по о.н.с. {_k} называется последовательность чисел c_k=(,_k).

Рядом Фурье по о.н.с. {_k} называется ряд c_kk.

Неравенство Бесселя. Для любого элемента из евклидова пр-ва X и о.н.с. {_k} справедливо нер-во: .

Замкнутой называется такая о.н.с. {_k}, что для любого из евклидова пр-ва X справедливо равенство Парсеваля: .

Теорема Рисса-Фишера. Пусть {_k} о.н.с. в полном евклидова пр-ва X и пусть числа c_k таковы, что сх-ся. Тогда существует такой элемент из X, что c_k=(,_k) и .

1. Базисы, равенство Парсеваля и эквивалентные ему условия. Изо­морфизм сепарабельных гильбертовых пр-в.

Теорема. Любые два сепарабельных Гильбертовых пр-ва изоморфны между собой.

1. Лин-ые операторы в нормированных пр-вах. Непрерывность и ограничен­ность. Полнота пр-в Т(l1,l2).

Лин. оператором (отображением) А из лин. пр-ва Х в лин. пр-во Y над полем К называется отображение для которого выполнена ак­сиомы лин-ости и уравновешенности: (А)х=(Ах), А(х+у)= А(х)+ А(у).

Норма оператора. Пусть Х, Y – нормированные пр-ва. Тогда норму оператора А можно задать так: .

Задача. Следующие нормы эквивалентны:

1. ; ; ; ||A||=inf C: х ||Ax||C||x||.

Непрерывным называется такой лин-ый оператор А, что для любой после­довательности x_n сходящейся к х последовательность А(x_n) схо­дится к А(х).

Ограниченным называется такой лин-ый оператор из лин. пр-ва Х в лин. пр-во Y, что он переводит ограниченное мн-во в ограниченное.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)