Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1159534), страница 18
Текст из файла (страница 18)
и 89 й 5! гелвнение изменания внттгеннвй энаггии Первая фигурная скобка в силу уравнения (3.!), вторая — на основании уравнения (1,8) обращаются в нуль. В результате, получим уравнение др дУ ! др 1 Гд /дТН»Н»! Ндд +' е Н.деа ' Рэ Ндаз + ЛИНН Где ( до П )+ Тзк как выражение в скобке в левой части (5.1) представляет собой индивидуальную произнодную от внутренней энергии фиксированной частицы, то полученное уравнение есть уривнение изменения внутренней энергии фиксированной чистииы с аостоянной массой.
В декартовых координатах уравнение (5.1) изменения внутренней энергии представится в зиле Гд» де д» д»т д У д У д У р( —.+и — +о — +ш — )=р .— +Р . — +р .— + (,дс дх ду дх,) х дх в ду ' де +.-~д( -)-.-(Я.-)+-. (х-.-)1 Раскрывая скалярные произведения трах первых слагаемых в праной части (5.2), получим; дУ дУ, ддр ди да дш дх ! е ду+' " д» Р™дх+Р»едх+~х» дх ди, до дш ди да дж + ду~~Р»ед +Ре д +! хд +~ш! +~»» Учитывая соотношения взаимности касательных напряжений (10.17) главы 1 и обозначения компонент скоростей деформаций (5.5) главы 1, будем иметь: др дУ, дУ Рх ' дх+Р» ' ду ~ Р» д.
=р .л +ревене+р е, +2р „е, + 2р»»„»+2р е, . (5.3) С помощью соотношений (11.!), (11.16) главы 1, представляющих обобщенную гипотезу Ньютона лля вязкой жидкости, равенство (5.3) можно записать; дУ дУ дУ Р . — +.а — +Р» ° — — = дх ' в ду д" 2и = — Рй — '(к' — — ~) бз+ 2!» (=-'з +ее +»е -1-2(ее +»з +»'„)).
(5.4) 90 дифеееенцилльныв еелвнения движения вязкой жидкости (гл. и Таким образом, уравнение (5.2) изменения внутренней энергии фиксировинной частицы вязкой ясидкости представится в виле /де де де дез р( — +и — +о — +ш — )= 'Хдг дх ду дгг' +(х' — --")У+29(ег +ез +ге +2(гг -+ез +ег )). (5.5) Уравнение (5.5) можно рассматривать как уравнение притока внутренней энергии зо единицу времени в фиксированной частице вязкой жидкости. Источниками изменения внутренней энергии частицы вязкой жидкости, таким образом, будут: 1) теплота, поступающая благодаря процессу теплопроводности, 2) работа сил давлений, связанная с изменением плотности частиц, и 3) некоторая часть работы вязких напряжений.
Для случая так называемого совершенного (идеального) газа внутренняя энергия единицы массы равна с зт е А ' (5.6) Принимая теплоемкость с„ постоянной и подставляя значение е в уравнение (5.5), получим следующее уравнение притока теала для совершенного вязкого газа: + — (л — )~ — рй+()У вЂ” ~~) ба+ 2р ~( — ) +( — ) +( — ) + й 6. Дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости В 6 3 были установлены лнфференциальные урзвнения лвижения жидкости в напряжениях. Чтобы написать эти уравнения через проекции вектора скорости, необходимо воспользоваться соотношениями, представляющими компоненты тензора напряжения через компоненты тензора скоростей деформации.
Такое преобразование мы проведем лишь для случая вязкой жидкости, для которой принимается обобщвнная гипотеза Ньютона, связывающая компоненты напряжения с компонентами скоростей деформаций линейными соотношениями П1.1) и (11.16) главы 1, 6 6) хялвнения движения вязиой несжимаемой жидкости 91 В декартовых иоорднпатах соотношения (11,!8) главы 1, представляющие обобщенную гипотезу Ньютона, имеют вид р = — р+29 — +(1 — — ) 6, ди /,, 2я! хх ° дх 1 3/ до /,, 2И> р = — р+21с — +(с/ — — /1/!, ив ду 1 3/ р. = — р+ 2и — +(1 — — ) Г!, дт >. > 2Н> дх ( 3/ (6.!) Будем считать жидкость несжимаемой, т.
е. 6 = — + — + — = О. ди до дм дх ду де (6.2) Кроме того, положим коэффициент вязхостн р постоянным: >с =- соп51. (6.3) Подставляя при этих предположениях выражения (6.1) в правые части уравнения (З.З), получим следующие дифференяиальнме ура- внения двилсения вязкой и несзки.иаеяой лсид/гости, представлен- ные через составляющие вектора скорости в декартовых коорди- натах; ди ди , ди 1 др дС ' дх ду де и я дх ' =->-и — +и — +то — = à — — — +>Ьи, до до до до 1 др — +и — +о - — +ш — = Р -- — — + >Ьп, (6.4) д/ дх ду де В Г ду дт дм, дм дм ! др — -+ и — + и — + со — = г" — — — + ч Ьш, дг дх ду де ' я дх 1 до, дот о„ д„ /+ ! дг' ог 1 до„ вЂ” р+21с(г г д ) дое, р+ 2Р да ' ргг = (6.5) Ргг Подставляя (6.5) в правые части уравнения (3.7) и используя уравнение несжимаемости (6.2), представленное в виде до, ог 1 дов дое — + — + — — + — =О, дг г г дт дх (6.6) где й — дифференциальный оператор Лапласа, а > --иннематическия коэффициент вязкости.
Пользуясь выражениями (8.9) главы ! для скоростей деформаций, мо>ино представить обобщенную гипотезу Ньютона для несжимаемой вязиоя жидкости в цилиндрических координатах следующими соотношениями; получим дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости з цилиндрических координатах до« о до« до„ " дг ' г дт « д» г 1 др ! о„ 2 до„т т) 0 дг ( " г«г«дт)' до„о до дот о,о„ т — + — — +- о« вЂ” + — — = «дг г дя "д» г 1 др г о„2 до,« = р — — — -+ «(Ьо — — "-+ — — '), яг дя (, т г»1 гг дт) до«о до, до, 1др +о — + — — +о — '=- р — — — + Ьо, «д» г дт «д» *,.
д» до« вЂ” «+ д» до„ д! — -+ (6.7) до, дт где оператор Лапласа Л имеет вид д«1 д ! д«д« !6.8) дга+ г дг+ г«дт«+д»« Обобсценная гипотеза Ньютона в сферических координатах прн использовании равенств (8.11) главы ! представляется в виде доя — р+ 2и— д!7 ' ол 1 до, о с!90 !ол 1 до«! — р+ 2!«! — + — — ); '1 гс ' 27 д0 ) ! 71 дол до ос! !до ! дол о 1 — — -),Р ' )20 дз + дтЗ Л«)' тв ' (дА' + Д«з!и 0 дт Р0)' 1 до„! до о с!20 (6.9) Р«« = Подставляя выражения (6.9) в правые части уравнений (3.11) и используя уравнение несжимаемосгн доч 2оч ! до 1 доч о с!90 д!7+ Р ' 27 00+7»з!пз дя + ' !7 — О, (6.10) получим дифференциальные уравнения движения несжимаемой жидности с постоянным коэффициентом вязкости в сферических коордн- 92 диеаяоянцилльныа толвнения движения вязкой жидкости (гл.
и нАчАльные н грАннчные головня натах дил дол оч дил оз дол оэ+т>', — + т л — -'- — — - + — —.' дг дУГ ' й дб ' УГзшб др УГ 1 др У 2о>т 2о„2 ди„2 доят — +,!'Д~, ", —,",1д 0 р дУГ ! УГз УГз й УГзмп0 дт УГА д0)' ди до и ди,, о, ди оло ~ с!20 дг дй> ' УГ дб ' УГА>па др ' УГ УГ ! др о 2 соя 0 до 2 дол> =-,из — —,— + !лот —, . „—, . — + —, — !. рд!!дб 1, Р-'з>пэб УГзз>пзб дт УГз дб У' ди„ди о, ди„о, ди оли„, оаор стй 0 — -+ол — + — --+ —.
— + — "+- дг дУГ УГ дб УГА!па др УГ ' Д> 1 др у о, 2соз0 до„2 дол> — — о ч рурзтпбдт '), ч урка>пзб ' ГГзз>пзб др >Газ>пб от)' (6.1 где оз 2 д 1 дз с>йб д 1 дз .! = — —,+ — — + — —.+ — — +, . —... (6.!2) дУГА УГ дУГ УГэ дбэ УГа дб >Газ!паз дра' дналогичнь>ь> путем можно получить дифференциальные уравнения лини<ения вязкой сжимаемой жидкости с переменными коэффициентами вязкости. Что касается других сред, рэссмо>ренных в й 12 главы !, то дифференциальньш уравнения движения таких сред можно выразить через состэваяющис вектора скорости лип>ь в тех случаях, когда соотношения, связывающие напряженное состояние с состоянием деформаций, могут быть разрешены отнес>цельно всех компонент напряжении, Бо всех других случаях необходимо соотношения связи напряжсни,".
с дсформациями рассматривать совместно с дифференциальными уравненивми движения среды в напряжениях. й 7. Г)ачальиые и граничные условия для вязкой несжимаемой жидкости Для изучения движения вязкой несжимаемой жидкости с посто. янным коэффнциентом вязкости необхоличо решать совместно систему дифференциальных уравнений (6.2) и (6.4) с частными производными второго порядка.
Решения этой системы дифференциальных уравнений будут содержать произвольные функции, для определения которых необхолимо задавать начальные и граничные условия. Задание начальных условий необходимо лишь в том случае, когда изучается неустановившееся движение жидкости. В этом случае должно считаться изнестным все движение жидкости для накого-либо финсированного момента времени, например для начаяьного момента У = О.
94 дияьягкнцилльныя зилвняния движения вязкой жидкости [гл. и йля этого момента времени должно быть задано распределение скоростей и давлений, т. е. прн 1=0 и=из(х, у, г), п=пя(х, у, г), р=ря(х, у, г), те = сир(х, у, л), (7.1) Этого условия было достаточно для изучения движения идеальной жидкости, для которой дифференциальные уравнения содержали ляшь частные производные от скоростей а, и и тз первого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
