Бифуркационная диаграмма в задаче о движении неоднородного динамически симметричного эллипсоида вращения на гладкой плоскости (1159462)
Текст из файла
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòèìåíè Ì. Â. ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà Äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèéÊàôåäðà Òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè è ìåõàòðîíèêèÑå÷êèí Ãåîðãèé Ìèõàéëîâè÷Êóðñîâàÿ ðàáîòà íà òåìó:Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììàâ çàäà÷å î äâèæåíèè íåîäíîðîäíîãîäèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿíà ãëàäêîé ïëîñêîñòè.Íàó÷íûå ðóêîâîäèòåëè:ä. ô. - ì. í., ïðîôåññîðÊàðàïåòÿí Àëåêñàíäð Âëàäèëåíîâè÷àêàäåìèê ÐÀÍ, ïðîôåññîðÔîìåíêî Àíàòîëèé Òèìîôååâè÷Ñîäåðæàíèå1Ââåäåíèå1.1 Èñòîðèÿ âîïðîñà . .
. . . . . . . . . .1.2 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . .1.3 Ñîäåðæàíèå ðàáîòû . . . . . . . . . .2Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèç32.1 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . .32.2 Ñèñòåìû óðàâíåíèé è ïåðâûå èíòåãðàëû 32.3 Ïîñòðîåíèå áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû 52.4 Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà . . . . . .82.5 Òåîðåìà 3. . .
. . . . . . . . . . . . . .113Èíâàðèàíòû Ôîìåíêî äëÿ ñëó÷àÿ ïðîèçâîëüíîãî s134Èíâàðèàíòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà4.1 Èíâàðèàíòû äëÿ ñëó÷àÿ s = 0 . . . . .4.2 Èíâàðèàíòû äëÿ ñëó÷àÿ ïðîèçâîëüíîãî s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15155Èçâåñòíûå ñëó÷àè ýêâèâàëåíòíîñòè236Âûâîäû257Ïðîãðàììà äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé2512222181Ââåäåíèå1.1Èñòîðèÿ âîïðîñàÇàäà÷à î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîéïëîñêîñòè - ýòî îäíà èç êëàññè÷åñêèõ çàäà÷ ìåõàíèêè. Îíà â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáîáùåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãîòâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé. Åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàåòâîïðîñ îá èññëåäîâàíèè âîçìîæíûõ èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ. Èçâåñòíî,÷òî â ýòîé çàäà÷å ñóùåñòâóþò àíàëîãè ñëó÷àåâ Ýéëåðà è Ëàãðàíæà.Íà ñåãîäíÿøíèé äåíü èçâåñòíî ìíîãî ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè: Êîâàëåâñêàÿ-ßõüÿ, ñëó÷àé Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå ñèë è äðóãèå. Ðàçðàáîòàí áîãàòûé àïïàðàò èññëåäîâàíèÿ ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè òàêèõ ñèñòåì, ñîçäàíà òåîðèÿ òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Íà îñíîâå ýòîé òåîðèè óäàëîñü îáíàðóæèòü ïàðû ñèñòåì, ñ÷èòàâøèåñÿäî ýòîãî ðàçëè÷íûìè, îäíàêî, îêàçàâøèìèñÿ òîïîëîãè÷åñêè (ëèóâèëëåâî) ýêâèâàëåíòíûìè.
Ñðåäè ðàáîò, èñïîëüçóþùèõ òåîðèþ êëàññèôèêàöèè èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì, íàõîäèòñÿ ðàáîòà Èâî÷êèíà [2].1.2Ïîñòàíîâêà çàäà÷è äàííîé ðàáîòå ìû ðàññìîòðèì ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ, äâèæóùèéñÿ ïîãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè. Ðàñïðåäåëåíèå ìàññ òàêîâî, ÷òî òåëî îáëàäàåò îñüþ äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè, êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ îñüþ ãåîìåòðè÷åñêîé ñèììåòðèè, ïðè÷åì öåíòðìàññ ëåæèò íà ýòîé îñè (àíàëîã âîë÷êà Ëàãðàíæà) íà ðàññòîÿíèè s îòöåíòðà òåëà.1.3Ñîäåðæàíèå ðàáîòû òåêñòå ïðåäñòàâëåí ðàçáîð è âîññòàíîâëåíèå íåêîòîðûõ äîêàçàòåëüñòâäèññåðòàöèîííîé ðàáîòû Ì.Þ Èâî÷êèíà [2], à òàêæå èõ îáîáùåíèå íàñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî ïàðàìåòðà s.Ïî áèôóðêàöèîííûì äèàãðàììàì, ïîëó÷åííûì â ðàáîòå [2], ïîñòðîåíûìîëåêóëû, òî åñòü èíâàðèàíò ãðóáîé ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè ñì.Áîëñèíîâ, Ôîìåíêî [1]. ðàçáèðàåìîé ðàáîòå âîïðîñ îá îïðåäåëåíèè ëèóâèëëåëà òèïà ýòîãî ñåìåéñòâà ñèñòåì (s=0 è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî s) ðåøåí íå áûë.  íàñòîÿùåìèññëåäîâàíèè ìû âû÷èñëÿåì èíâàðèàíò Ôîìåíêî-Öèøàíãà (ìå÷åíàÿ ìîëåêóëà) äëÿ s=0.222.1Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèçÂâåäåíèå ýòîé ÷àñòè ìû ðàññìîòðèì çàäà÷ó î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëàâðàùåíèÿ, äâèæóùåãîñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè.
Èìåþòñÿ ðàçëè÷íûå àíàëîãèè ìåæäó ýòîé çàäà÷åéè çàäà÷åé î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé.  ÷àñòíîñòè, â îáåèõ çàäà÷àõ ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îáëàäàþò òðåìÿ íå çàâèñèìûìè èíòåãðàëàìè, è, òàêèìîáðàçîì, äëÿ èíòåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òðåáóåòñÿ åùå îäèííåçàâèñèìûé èíòåãðàë, íàëè÷èå êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè íà ïàðàìåòðû ñèñòåìû.Îäíàêî, â îòëè÷èå îò çàäà÷è î òåëå ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé, ãäå ãåîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà òåëà íåñóùåñòâåííà, â çàäà÷å î äâèæåíèè òåëà ïî ïëîñêîñòè íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü âèä ïîâåðõíîñòè òåëà. Îáû÷íî íà ôîðìóïîâåðõíîñòè íàêëàäûâàåòñÿ óñëîâèå âûïóêëîñòè è óñëîâèå, ÷òî êàñàíèåïîâåðõíîñòè ñ ïëîñêîñòüþ ïðîèñõîäèò â îäíîé òî÷êå.Íà äàííûé ìîìåíò, â çàäà÷àõ î äâèæåíèè òåë ïî ãëàäêîé ïëîñêîñòè ñóùåñòâîâàíèå äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà äîêàçàíî äëÿ äâóõ ñëó÷àåâ:1) êîãäà òåëî ÿâëÿåòñÿ íåîäíîðîäíûì øàðîì, öåíòð ìàññ êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ ãåîìåòðè÷åñêèì öåíòðîì, à ìîìåíòû èíåðöèè ïðîèçâîëüíû,2) äëÿ äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî òåëà âðàùåíèÿ [6]. ïåðâîì ñëó÷àå çàäà÷à àíàëîãè÷íà çàäà÷å î âîë÷êå Ýéëåðà.
 äàííîéðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ âòîðîé ñëó÷àé: â êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòè áåðåòñÿ äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íûé ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ, ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, ôàêòè÷åñêè, ñõîäíû ñ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ äëÿ âîë÷êàËàãðàíæà.Ñëåäóÿ îðèãèíàëüíîé ðàáîòå Èâî÷êèíà, ìû âñå æå ñäåëàåì ðÿä çàìåí âñèñòåìå óðàâíåíèé, îïèñûâàþùåé äâèæåíèå òåëà, êîòîðûå íà íàø âçãëÿäïîçâîëÿò óïðîñòèòü äàëüíåéøèé àíàëèç. Ýêâèâàëåíòíîñòü çàìåí áóäåòäîêàçàíà.Òàêæå â ýòîé ÷àñòè ìû äàäèì íåêîòîðûå êîììåíòàðèè, êîòîðûå, ïî ìíåíèþ àâòîðà, äîïîëíÿþò äîêàçàòåëüñòâà èç âòîðîé ãëàâû ðàáîòû [2].2.2Ñèñòåìû óðàâíåíèé è ïåðâûå èíòåãðàëûÑâîáîäíîå òâåðäîå òåëî èìååò øåñòü ñòåïåíåé ñâîáîäû: òðåìÿ êîîðäèíàòàìè çàäàåòñÿ ïîëîæåíèå íåêîòîðîé åãî òî÷êè, íàïðèìåð öåíòðà ìàññ,â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò è åùå òðè íåîáõîäèìû äëÿ îïðåäåëåíèÿ îðèåíòàöèè ãëàâíûõ îñåé.
Ïîäðîáíåå ïðî ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû3ñì. [7, 8] ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå èìååòñÿ îäíà ãîëîíîìíàÿ ñâÿçü: âûñîòà öåíòðà ìàññ íàä ïëîñêîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ îðèåíòàöèåé öåíòðàëüíûõ ãëàâíûõ îñåé. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ïîíèæàåòñÿäî ïÿòè.Ðàññìîòðèì íåïîäâèæíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò Oxyz , ñâÿçàííóþ ñ ãëàäêîé ïëîñêîñòüþ, è Se1 e2 e3 - ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè.
Ââåäåì íåêîòîðûåîáîçíà÷åíèÿ:v̄ = (vx, vy , vz ) - ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ â ñèñòåìå Oxyz ,ω̄ = (ω1, ω2, ω3) - âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè â îñÿõ Se1e2e3 ,γ̄ = (γx, γy , γz ) - åäèíè÷íûé âåêòîð âîñõîäÿùåé íîðìàëè â Se1e2e3 ,(b1, b1, b3) - ãëàâíûå ïîëóîñè ýëëèïñîèäà, m - ìàññà òåëà,A = diag(A1, A1, A3) - äèàãîíàëüíûé òåíçîð èíåðöèè, r̄(γ̄) ðàäèóñ-âåêòîð èç öåíòðà ìàññ â òî÷êó êàñàíèÿ ñ ïëîñêîñòüþ, N̄ = N γ̄ .Èç âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà ñëåäóåò mv̄˙ = N̄ − mgγ̄ . Ñïðîåöèðóåì ýòî óðàâíåíèå íà îñè Ox è Oy , ïîëó÷èì v˙x = v˙y = 0,çíà÷èò, ñóùåñòâóåò èíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â öåíòðåìàññ, äâèæóùàÿñÿ âäîëü Oxy .
À ïðîåêöèÿ íà Oz äàåò íàì vz = żè mv̇ = N − mg ⇒ N = m(v̇ + g), ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèåN â çàêîí ñîõðàíåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà îòíîñèòåëüíî òî÷êè S èó÷èòûâàÿ ïîñòîÿíñòâî åäèíè÷íîãî îðòà γ , èìååì:Aω̄˙ + [ω̄; Aω̄] = [r̄; m(v˙z + g)γ̄],γ̄˙ + [ω̄; γ̄] = 0(1)Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ, íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà-Ïóàññîíà.Ñèñòåìà, çàïèñàííàÿ â êîîðäèíàòàõ (ω̄; γ̄), îáëàäàåò ðÿäîì ïåðâûõ èíòåãðàëîâ:21) Γ = γ - ãåîìåòðè÷åñêèé èíòåãðàë, âûðàæàåò ïîñòîÿíñòâî ñóììûêâàäðàòîâ ïðîåêöèé åäèíè÷íîãî âåêòîðà.2) G = (Aω̄, γ̄) - "èíòåãðàë ïëîùàäåé ïðîåêöèÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà íà âåðòèêàëüíóþ îñü ñâÿçàíà ñ èíâàðèàíòíîñòüþ âðàùåíèé òåëàîòíîñèòåëüíî âåðòèêàëè.13) E = (Aω̄; ω̄) + U - èíòåãðàë ýíåðãèè, ãäå U - ïîòåíöèàë.24HÇàïèøåì óðàâíåíèå â ôîðìå Ýéëåðà èñïîëüçóÿ f˙ = {f ; H}, ãäå∗- ãàìèëüòîíèàí íà e(3) .
Òîãäà â ñèñòåìå êîîðäèíàò (S, R) èìååìṠi = {Si, H}, Ṙi = {Ri, H}∂H∂H ∂H ∂H ∂H∂H ∂H ∂H=(,,),=(,,)∂S∂S1 ∂S2 ∂S3 ∂R∂R1 ∂R2 ∂R3(2)(3)Òîãäà èç (1) ñëåäóþò óðàâíåíèÿ Êèðõãîôà:∂HṠ = [ ∂H∂S ; S] + [ ∂R ; R],Ṙ = [ ∂H∂S ; R]Çàìåòèì, ÷òî îòîáðàæåíèå ϕôîðìóëàìèn(4): R6(ω, γ) → R6(S, R) çàäàíîåSi = −Aiωi,Ri = γi(5)óñòàíàâëèâàåò èçîìîðôèçì (1) è (4) ñ ãàìèëüòîíèàíîì:1 21 21 2S1 +S2 +S + U,(6)2A12A12A3 3pU = mg( b21 + (b23 − b21)R32 + sR3)ïðè äàííîìèçîìîðôèçìå èíòåãðàëû γ è G ïåðåõîäÿò âΓ = R12 + R22 + R32 è G = S1R1 + S2R2 + S3R3,H=à èíòåãðàë ýíåðãèè â ãàìèëüòîíèàí.Äàííûå èíòåãðàëû åñòåñòâåííû äëÿ çàäà÷è î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà,îíè ïîëó÷àþòñÿ áåç îãðàíè÷åíèé íà ôîðìó è äèíàìèêó ðàññìàòðèâàåìîãî îáúåêòà.
Îäíàêî, äëÿ ïîëíîé èíòåãðèðóåìîñòè íàì íåäîñòàåò îäíîãî íåçàâèñèìîãî èíòåãðàëà, êîòîðûé â äàííîé ïîñòàíîâêå ñóùåñòâóåòK = S3 - èíòåãðàë Ëàãðàíæà.2.3Ïîñòðîåíèå áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììûÎòîáðàæåíèå ìîìåíòà ïåðåâîäèò êàñàòåëüíîå ðàññëîåíèå ê ñôåðå Ïóàñ22ñîíà íà ïëîñêîñòü F = H × K : T S → R (h; k). Îáðàç5êðèòè÷åñêîãî ìíîæåñòâà åñòü áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà Σ îòîáðàæåíèÿ F . Ïî òåîðåìå Ñàðäà Σ èìååò ìåðó íóëü íà ïëîñêîñòè, à ïî òåîðåìå2î íåÿâíîé ôóíêöèè íàä êàæäîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòîé R \Σ îòîáðàæåíèå ìîìåíòà ÿâëÿåòñÿ ðàññëîåíèåì.
Åñëè âñå ñëîè ñëîåíèÿ êîìïàêòíû, òîòèï èíòåãðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé ìîæåò èçìåíèòüñÿ ëèøü ïðè ïåðåõîäå÷åðåç Σ.  ýòèõ ñâÿçíûõ êîìïîíåíòàõ èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ, êàêèçâåñòíî èç òåîðåìû Ëèóâèëëÿ, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáúåäèíåíèå äâóìåðíûõ òîðîâ, êàê âñÿêîå ñâÿçíîå, îðèåíòèðóåìîå, êîìïàêòíîå äâóìåðíîå ìíîãîîáðàçèå, äîïóñêàþùåå êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå áåç îñîáûõòî÷åê (ò.ê.
îñîáûå òî÷êè ëåæàò íà îñîáûõ ñëîÿõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ).Íàéäåì êðèòè÷åñêèå òî÷êè ýòîãî îòîáðàæåíèÿ (ìû ïðîäåëàåì ýòî ëèøüäëÿ ãàìèëüòîíèàíà ñ ôèêñèðîâàííîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé, îáùèéàíàëèç åñòü â [1, 14]).3Ðàññìîòðèì Pk,g = {K = k, G = g, Γ = 1} - íåîñîáàÿ ïðè44k 6= ±g è M1,g= {Γ = 1, G = g}.
Òî÷êà x0 ∈ M1,gêðèòè÷åñêàÿ äëÿ H|P 3 , åñëè ñóùåñòâóþò òàêèåñîîòíîøåíèÿ:µ1, µ2, µ3, ÷òî âûïîëíÿòñÿngradH = µ1gradΓ + µ2gradG + µ3gradK,(7)K = k, G = g, Γ = 1Äëÿ ïðîñòîòû âû÷èñëåíèé îáåçðàçìåðèì ýëëèïñîèä èíåðöèè A1 =1, A3 =A.Ðàñïèøåìpp(7) ïî êîîäèíàòàì:2R1 = 1 − R3 cost, R2 = 1 − R32sint,g−kR3g−kR3√S1 = √cost,S=sint, S3 = k2221−R31−R3Ïàðàìåòðû ïðè ýòîì ïîëó÷àþòñÿ òàêèå:23)3)3µ1 = − (g−kR, µ2 = g−kR, µ3 = Ak3 − R3(g−kR.22(1−R3 )21−R321−R323 )(gR3 −k)R3 âû÷èñëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ U 0 + (g−kR= 0, ãäå ïðî(1−R32 )2èçâîäíàÿ áåðåòñÿ ïî R3 . Òàê êàê Γ = 1, òî |R3 | < 1.Ïðè ôèêñèðîâàííîì R3 óðàâíåíèÿ (7) çàäàþò îäíó êðèòè÷åñêóþ îêðóæíîñòü ôóíêöèè H|P 3 , ïðîèíòåãðèðóåì âûðàæåíèå äëÿ R3 :(g−kR3 )2k2+2(1−R3 )2 + U = W (R3 ), W (R3 ) ∈ [−1; 1] òåì ñàìûìïîëó÷èì çíà÷åíèå îãðàíè÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà íà êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè. È â ñèëó îáîçíà÷åíèé óñëîâèå ïîëó÷àåòñÿ â áîëåå êîìïàêòíîì âèäå6W 0(R3) = 0.Ôóíêöèþ W íàçûâàþò ïðèâåäåííûì (ýôôåêòèâíûì) ïîòåíöèàëîì.Ðàññìîòðèì ìàòðèöó Gµ = GH − µ1 GΓ − µ2 GG − µ3 GK , ãäåGff , îãðàíè÷èìñÿ íà ïðîñòðàíñòâî îðòîãîíàëüíîåê ãðàäèåíòàì òðåõ èíòåãðàëîâ Γ, G, K èìååì:100 −µ200100−µ20 01 000−µ02JGλ = −µ0 −2µ1 00 2 00 −µ2 00 −2µ1000 −µ2 00 U 00 − 2µ1- ãåññèàí ôóíêöèèΓ, G, K òîãäà çàïèñûâàþòñÿ òàê:gradΓ = (0, 0, 0, 2X cos t, 2X sin t, 2R3),g−kR33gradG = (X cos t, X sin t, R3, g−kRcost,XX sin t, k),gradK =p(0, 0, 1, 0, 0, 0).Ãäå X =1 − R32.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
