Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (2002) (1158201), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Это различие приводит к тому, что в примере 2 минимальный корень й, уравнения (5) совпадает с /„а в примере 4 получим й„< /„. Отсюда можно сделать вывод: для выполнения равенства й, = /„, лежащего в основе метода нагруженных функций, исходные данные задачи (1) должны удовлетворять некоторым дополнительным условиям, они должны быть както согласованы. Для формулировки этих условий нам прежде всего нужно уточнить, что понимать под минимальным корнем уравнения (5). Определение 1. Число й„назовем минимальным корнем уравнения (5), если р(й.) =О, р(й)'> 0 при всех й < й, и !!т р(й) > О. Если же !!т р(й) = О, то примем й, = — сс, Если р(й) > 0 при всех й > 0 и 1!т р(й) > О, то по определению положим й„= со.
( -сю Чтобы показать, что все указанные в определении 1 возможности в самом деле могут реализоваться, рассмотрим еще несколько примеров. Пример 5. Пусть х> — 2, — (й+1)<х<-й, й=2,3, 1 хй — 1, !х! < 2, 1, б//х!, /х! > 2, 36! 4 18. МЕТОД НАГРУЖЕННЫХ ФУНКЦИЙ 360 Гл. 8. МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ !п17"(х), Х у1 И, Оà — Х * +ос Х И Хр ф И йс )г) Х =(х е Е' = Х: д(х) < О). Тогда 7", =-1, х„= — 1. Рассмотрим функцию (6) Ф(х, й ) = !7(х) — й ! + тах(д(х); 0), х Е Е'.
Покажем, что р( — йй — й) > й, й = 2, 3,... В самом деле, если х > — 2, то Ф(х, — й' — й) > !х+ й'+ й ) = й'+ й + х > й' ) й при всех й = 2, 3,... Если — (с+1) < х( — с, 2( с ( й, то Ф(х, — йй — й~) ~ — сй+йй+й1=й' — Р+й ) й, а если — (с+1) < х( — й, с ) й+1, то Ф(х, — й — й) ) ~ — сй+йй+й~ = с' — (й+1)'+ +й+1 > й+1 > й. Таким образом, Ф(х, — й' — й) > й для всех хе Е', поэтому р( — йй — й)>й; й=2,3,...
Следовательно, !пп р(г)=!!гп р( — йй — й)=со. С другой стороны, 0 ( р( — й') < Ф( — й, — й') = д( — й) = 6й ', й = 2, 3,..., так что 1пп р(г) = 1!т р( — й') = О. Согласно определению 1 тогда ь, = -со < С вЂ” СО й ОО <Л=-1. Остановимся также на функции (2) Ф(х, Ь) = тах(7(х) — й; О) + тах(д(х); О), х Е Е' Нетрудно видеть, что если г > — 1, то Ф( — 1, й) =О= р(г). Если же г <-1, то при й~/ — Т получим Ф(-й, г) =тах( — й' — $; О)+д( — й) =д( — й)- О=р(г). Таким образом, здесь р(г) = 0 при всех г и согласно определению 1 имеем г* = — оо. П р и м е р 6.
Переопределим функцию 7(х) из (7) в точках х= й ' так: 7'(й ') = — й', й = 1, 2,... Функцию д(х) и множество Х оставим такими же, как и примере 5. Повторив прежние рассуждения, нетрудно убедиться, что минимальный корень уравнения (5) здесь будет равным г, = 7', как при использовании функции (2), так и функции (6).
В отличие от примера 5, здесь |„= — со, поэтому справедливо г, = 7",. Любопытно посмотреть, что будет, если множество Х из (1) пусто, но Хь непусто. В этом случае задача (1), конечно, перестает быть содержательной, но тем не менее функции Ф(х, г), р(г) из (2), (4), (6) будут иметь смысл. П р и м е р 7. Пусть |(х) ге 1, Х = (х е Е с: д(х) = е *' < 0).
Здесь Х = Е ', Х = И. Согласно формуле (2) имеем Ф(х, г) = тах(1 — г,'О)+ е ", х е Е', поэтому р(г) = тах(1 — г; 0) и г„= 1. Если же воспользуемся функцией (6) Ф(х, й) = !! — й ! + е"*', то р(й) = !! — г ! и й, = 1. Если здесь взять д(х) = е *'+1, то получим р(г) = шах(1 — г; 0)+1 для функции (2) и р(г) = !1 — г!+ 1 для функции (6), так что минимальный корень уравнения (5) согласно определению 1 будет равен г, = оо. Пример 8. Пусть 7"(х) = х, Х =(х Е Е'.
д(х) = е *' (О). Здесь Хь = Е', Х = И. Согласно (2) имеем Ф(х, г~ = тах(х — г; 0) + е *'. Так как при х = -й < г функция Ф(-й, г) = е ' — 0' при й — оо, то р(г) = : — 0 при всех г, и г„ = †. В случае функции (6) Ф(х, г) = (х — г! + + е "= ппп( !п1 Ф(х, г); !п1 Ф(х, с)) > гп!и( !и! е *'; 1) = с(й) > 0 1О - с! ч с ' 1* — с! > с ! — с! ч с при всех х Е Е', поэтому р(г) > 0 при всех г. Но 0 < р(г) < Ф(г, г) — 0 при г - +со или й - — оо, так что 1!гп р(г) = !!т р(г) = О и й. = — со. С +СО С -СО Если же здесь взять д(х) = е *'+1, то Ф(х, г) > 1, х е Е' и р(г) > 1 при всех г, и поэтому г. =+со. 3.
Примеры 7, 8 подсказывают, что для того чтобы единообразно охватить возможность, когда в задаче (1) Х = И, целесообразно принять Тогда справедлива следующая Теорема 1. Пусть функция р(г) определена формулой (4), где функция Ф(х, г) взята из (2) или (6). Пусть й, — минимальный корень уравнения (5) в смысле определения 1, а величйна 7; определена согласно (8). Тогда г, < 7",.
Доказательство. Если Х =И, то 7",=+ос и утверждение теоремы тривиально. Поэтому пусть Х ф И. Так как мы условились рассматривать функции, принимающие лишь конечные значения в области своего определения, то 7'„< оо. По определению 7"„существует последовательность (хй) Е Х такая, что 1!т Г(хй) = 7, > -оо. Если 7; > — оо, то 1пп Ф(х„7„) = 0= р(Я и поэтому г, < 7'„. Если же 7; = — оо, то, взяв ГО=7(хй), получим р(с )=Ф(х, гй) =О, й =1,2,... Т1оскольку (гй) — Π— оо, то отсюда следует !!т р(й)=!!т р(гй)=0, так что й„=Г„= — оо. Теорема С -ОО й СО доказана. П Рассмотренные выше примеры показывают, что для выполнения равенства г„= 7; важное значение имеет способ задания множества Х: ограничения, задающие множество Х должны быть как-то согласованы с минимизируемой функцией 7"(х).
Напоминаем, что в $15 было введено понятие согласованной постановки задачи (1) на Х (см. определение 15.2), означающее, что для любой последовательности (хй) е Х, которая удовлетворяет условиям 1пп д,+(хй) = О, с = 1,..., з, (9) имеет место соотношение !пп 7(хй) > 7;. (10) Распространим это понятие на случай, когда Хь ~И, Х = И и соглас- но (8) 1; =+со. Здесь следует различать две возможности: !п(Р(х) = 0 и О !п(Р(х) > О. Если гп1 Р(х) = О, то существует хотя бы одна последователь- ХО ХО ность (хй) Е Хь, удовлетворяющая условиям (9), — в этом случае скажем, что задача (1) имеет согласованную постановку на Х, если для любой последовательности (х,) е Хр, для которой справедливы соотношения (9), имеет место равенство !пп 7'(хй) =+со = 7",. Кстати, это же равенство пой СО лучается и из (10) при Г"„=+ос.
Наконец, если Ха ~ И, Х = И, !пЕР(х) > О, ' х, то по определению будем считать, что задача (1) имеет согласованную по- становку на множестве Хь. Оказывается, введенное понятие согласованной постановки задачи (1) играет важную роль при выяснении того, будет ли г„ =,7, илн г, ( 7'.. Теорема 2. Пусть функция р(г) определена формулой (4), где функция Ф(х, г) взята из (2) или (6), пусть й, — минимальный корень уравнения (5), а величина 7, определена формулой (8). Тогда для выпол- 363 $18.
МЕТОД НАГРУЖЕННЫХ ФУНКЦИЙ 362 Гл. 5. МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (12) ' „(,.'2 а ;1!' кения равенства 2„= /, необходимо и достаточно, чтобы задача (1) имела согласованную постановку на множестве Х,. Доказательство. Необходимость. Пусть 4,=/,. Если /, = — оо, то постановка задачи (1) согласована, так как !ип /(хй) > — со =/„ й са для любой последовательности (хй) е Х . Поэтому пусть /.
> — оо. Возьмем произвольную последовательность (хй) Е Хо, удовлетворяющую условиям (9). Согласно определению (3) функцйи Р(х) тогда 1ип Р(х,) =О. Отй ао с!ода и из неравенств Ф(х„() > р(1) > О, справедливых для всех 4 < 4, = /, и А=1,2,..., при й- оо получим 1пп тахЩхй) — (;О) > рЯ>0, т < 4„, (11) в случае использования функции (2) и йп )/(хй) — 1! > р(Г) > О, Г < 4,„, в случае использования функции (6). Покажем, что из (11), (12) следует неравенство !пп /(хй) > 1, = /„. В самом деле, при выполнении (11) для каждого 4 < 4.
найдется номер ко = = йо( З ) такой, что тах(/(х ) — 1; 0) > р(1)/2 > 0 или /(хй) — с > р(()/2 > 0 для всех й > йо. Тогда !!т /(хй)>1 при любом (< с,. Устремляя с- Г,— О, отсюда получим неравенство !пп /(хй) > 4„= /,. й са Рассмотрим случай (12). Пусть !!т /(хй) = !1т /(хй ) = а, Имеются две оа возможности: либо а> х„либо а < 1,.
Если а> з„то требуемое неравенство !!т /(хй) > х„= /, устайовлено. Остается рассмотреть возможность а < 1„. В этом случае величина а не может быть конечной. Допустим противное: пусть — оо < а < 4„. Тогда при 4 = а получим 1ип !/(хй) — а) = (!пп /(хй ) — а( =О, что противоречит условию (12). Таким образом, если а< („то аах — оо, т. е. 1ип /(хй) = 11гп /(хй ) = — оо. Тогда, взяв 1„= Ях„), т = 1, 2,..., получйм 0 < й са < р(с„) <Ф(хй, /(хй )) = МР(хй )- 0 при т- оо. Это значит, что !ип р(4) = С -аа =!пп р(4„)=Он согласно определению 1 тогда 1, = — оо. Но по условию 1,= =/„поэтому !!т /(хй) =/, = 1, = — оо, дело свелось к ранее рассмотренному случаю. Тем самым установлено, что для любой последовательности (х ) е Хо, удовлетворяющей условиям (9), справедливо неравенство (10).
)таконец, если такой последовательности (хй) не существует, т. е.!и! Р(х) > О, то зах, дача (1) имеет согласованную постановку по определению. Необходимость доказана, Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть задача (1) имеет согласованную постановку на Х. Покажем, что тогда 4, =/. Сначала рассмотрим случай, когда 2,=-оо.
Это значит, что 1пп р(2)ха 1ип р(зй)=0, где (1й)-» — сю. По опре- С вЂ” оо й аа делению р(зй), согласно формуле (4), следует существование точки хй Е Хо такой, что р(зй) <Ф(хй, сй) < р(зй)+1/)с, !с =1,2,... Отсюда при й — » оо имеем 1!т Ф(хй, 1,) =О. Это означает, что 1ип Р(х„)=Он 1ип тах(/(хй)— й» й й са й с — (й; 0) = 0 в случае использования функции (2) и 1ип !/(хй) — 1й! = 0 — в случае функции (6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
