Лекции В.А. Захарова (1157993), страница 33
Текст из файла (страница 33)
I0 |= ϕ0 (x, y , z)&¬(x = y )&¬(x > y ) →→ ϕ0 (x, y − x, z), т. е.I0 |= (x > 0)&(y > 0)&(y > x)&GCD(x, y , z) →→ (x > 0)&(y − x > 0)&GCD(x, y − x, z).Верно.5. I0 |= true.Очевидно.Таким образом, все листовые формулы вывода истинны винтерпретации I0 . Значит, вывод триплета ϕ0 {π0 } ψ0 являетсяуспешным выводом в интерпретации I0 .ЛОГИКА ХОАРАТеорема корректностиДля любой интерпретации I и для любого правила выводалогики ХоараΦ,ΨΦ,ϕесли I |= Ψ,I |= ϕ,Φ,Ψ1 , Ψ2I |= Ψ1 ,I |= Ψ2 ,Φ,ϕ, Ψ, ψ I |= ϕ,I |= Ψ,I |= ψ,то I |= Φ.Доказательство.Рассмотрим поочередно все правила вывода логики Хоара.ЛОГИКА ХОАРАДоказательство.ПравилоASS:ϕ{x/t} {x ⇐ t} ϕ.trueПокажем, что в любой интерпретации I верноI |= ϕ{x/t} {x ⇐ t} ϕ.(∗)Пусть θ — произвольная оценка переменных, и пустьI |= ϕ{x/t}θ.Тогда согласно операционной семантике императивныхпрограмм имеется единственное вычислениеhx ⇐ t, θi −→I h∅, ηi,и при этом η = {x/t}θ.Очевидно, I |= ϕη, и это доказывает (∗).ЛОГИКА ХОАРАДоказательство.Для остальных правил доказательство корректностипроводится по той же схеме, но более изощренно.Попробуйте завершить доказательство самостоятельно.Следствие.Если триплет ϕ{π}ψ имеет успешный в интерпретации I вывод,то программа π частично корректна в интерпретации Iотносительно предусловия ϕ и постусловия ψ.В частности, это означает, что исследованная нами программавычисления наибольшего общего частично корректна варифметической интерпретации I0 .АВТОМАТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКАПРАВИЛЬНОСТИ ПРОГРАММКак автоматизировать верификацию программ?Для этого нужно выяснить1.
Полна ли система правил вывода логики Хоара?2. Существует ли алгоритм построения успешного вывода?АВТОМАТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКАПРАВИЛЬНОСТИ ПРОГРАММВопрос о полноте правил вывода Хоара.На самом деле, здесь не один а три вопроса.1. Верно ли, что для каждой интерпретации I существуетсистема правил вывода, позволяющая для каждого триплетаΦ = ϕ{π}ψ построить успешный вывод Φ в интерпретации I идоказать его успешность в случае I |= Φ?Ответ отрицательный .
Следует из теоремы Геделя о неполноте.АВТОМАТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКАПРАВИЛЬНОСТИ ПРОГРАММВопрос о полноте правил вывода Хоара.2. Верно ли, что для каждой интерпретации I существуетсистема правил вывода, позволяющая для каждого триплетаΦ = ϕ{π}ψ построить успешный вывод Φ в интерпретации I(но не гарантирующая доказательства его успешности) вслучае I |= Φ?Ответ отрицательный . Базовые предикаты сигнатуры σ могутбыть недостаточно выразительными для представления всехтех отношений между переменными программы, которыенужны для построения успешного вывода.В результате не найдется нужных формул ϕ0 , ψ 0 дляприменения правилаϕ{π}ψCONS:.ϕ → ϕ0 , ϕ0 {π}ψ 0 , ψ 0 → ψАВТОМАТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКАПРАВИЛЬНОСТИ ПРОГРАММВопрос о полноте правил вывода Хоара.3.
Верно ли, что для некоторых интерпретаций I существуетсистема правил вывода Хоара, которая позволяет для каждоготриплета Φ = ϕ{π}ψ построить успешный вывод Φ винтерпретации I в случае I |= Φ?Ответ положительный . Достаточно, чтобы для любого циклаπ = while C do π 0 od существовал такой терм tπ , что длялюбой оценки переменных θ значение терма tπ θ равно n + 1тогда и только тогда, когда цикл π в вычислении hπ, θiсовершает n итераций.АВТОМАТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКАПРАВИЛЬНОСТИ ПРОГРАММЧто нужно для построения успешного вывода?IНеобходимо иметь эффективный прувер для проверкиистинности формул в разных интерпретациях:I |= ϕ ..CONS:ϕ{π}ψ,ϕ → ϕ0 , ϕ0 {π}ψ 0 , ψ 0 → ψпоскольку неясно, какие формулы ϕ0 , ψ 0 нужно выбирать вкаждом случае.АВТОМАТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКАПРАВИЛЬНОСТИ ПРОГРАММСтратегия вывода в логике Хоара.ОпределениеПусть заданы интерпретация I , императивная программа π ипостусловие ψ. Тогда формула ϕ0 называется слабейшимпредусловием (weakest postcondition) для программы π ипостусловия ψ, еслиI I |= ϕ0 {π}ψ,1.2.
для любой формулы ϕ, если I |= ϕ{π}ψ, то I |= ϕ → ϕ0 .Слабейшее предусловие для программы π и постусловия ψусловимся обозначать wpr (π, ψ).АВТОМАТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКАПРАВИЛЬНОСТИ ПРОГРАММКакая польза от слабейшего предусловия?ТеоремаI |= ϕ{π}ψ ⇐⇒I |= wpr (π, ψ){π}ψ,I |= ϕ → wpr (π, ψ).Таким образом, задача построения успешного вывода сводитсяк задаче вычисления wpr (π, ψ).АВТОМАТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКАПРАВИЛЬНОСТИ ПРОГРАММА как вычислять слабейшее предусловие?Теоремаwpr (x ⇐ t, ψ) = ψ{x/t},wpr (π1 ; π2 , ψ) = wpr (π1 , wpr (π2 , ψ)),wpr (if C then π1 else π2 fi, ψ) =C &wpr (π1 , ψ) ∨ ¬C &wpr (π2 , ψ),ДоказательствоСамостоятельно.Таким образом, для многих операторов (программ) слабейшеепредусловие вычисляется автоматически.АВТОМАТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКАПРАВИЛЬНОСТИ ПРОГРАММНеужели все так просто?Увы, нет.
Главную трудность представляет оператор циклаwhile C do π od. Единственный способ верифицировать этотоператор — это воспользоваться производным правилом:WHILE-GEN:ϕ {while C do π od} (ψ).ϕ → χ, (χ&C ) {π} χ, (χ&¬C ) → ψЭто правило требует введения вспомогательной формулы χ,которая называется инвариантом цикла . Инвариант циклазависит от программы π и условия C .Автоматическая генерация инвариантов цикла — это ключеваязадача в решении проблемы автоматической верификациипрограмм.КОНЕЦ ЛЕКЦИИ 20.Основыматематическойлогики и логическогопрограммированияЛЕКТОР: В.А.
ЗахаровЛекция 21.Верификация распределенныхпрограмм.Логика линейного времени PLTL.Размеченные системы переходов.Задача верификации моделейпрограмм.ВЕРИФИКАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХПРОГРАММЗадачаИмеется несколько компьютеров и только один принтер. Ниодин компьютер не осведомлен о существовании другихкомпьютеров. Как правильно организовать их взаимодействие,чтобы все они могли пользоваться этим принтером?$'w HHВЕРИФИКАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХПРОГРАММЗадачаПредполагается также, что у принтера есть единственныйоднобитовый регистр R, общедоступный для считывания изаписи.
Этот регистр может находится в одном из двухсостояний — busy (принтер занят) и free (принтер свободен).$'w RHHВЕРИФИКАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХПРОГРАММПрежде чем писать программу (драйвер), обеспечивающуювзаимодействие каждого компьютера с принтером, нужносформулировать требования, предъявляемые к этой программе.1. Всякий раз, когда принтер свободен и хотя бы одинкомпьютер собирается отправить данные на печать,принтер будет рано или поздно занят;2. Всякий раз, после того как принтер оказался занят, ондолжен когда-нибудь приступить к печати;3. Компьютер, завершивший печать, должен когда-нибудьосвободить принтер;4. Данные на печать всегда передает не более чем одинкомпьютер.А какие еще требования разумно предъявить к нашемудрайверу?ВЕРИФИКАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХПРОГРАММДля связи с принтером программист предложил снабдитькаждый компьютер одной и той же программойL1 : while R 6= free do wait od ;L2 : R = busy ;L3 : output(X,printer );L4 : R = free;Это простая и разумная программа.Но будет ли система компьютеров, снабженных этойпрограммой, вести себя в соответствии с указаннымитребованиями?ВЕРИФИКАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХПРОГРАММЕсли мы имеем дело с последовательной программой, тонаиболее простой способ проверки ее правильности — этотестирование.
Тестирование, вообще говоря, не гарантируеттого, что все вычисления являются правильными, но онопозволяет, по крайней мере, убедиться в том, что программаведет себя правильно на тестовых примерах.Но если мы занимаемся верификацией распределенныхпрограмм, состоящих из нескольких процессов, работающихна независимых вычислительных устройствах, то тестированиене позволяет проверить правильность поведенияраспределенной системы даже на тестовых примерах.Почему?ВЕРИФИКАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХПРОГРАММПредположим, что на заданных входных данных (тестовомпримере) каждый из 20 процессов распределенной системывыполняет всего лишь одно действие.
Тогда вычислениесистемы может быть физически реализовано 20! > 218способами в зависимости от той последовательности, в которойбудут завершаться выполнения этих действий. Ясно, чторассмотреть все эти выполнения практически невозможно.А вместе с тем одни те же действия, выполненные в разнойпоследовательности, могут приводить к разным результатам:«Наполнить бассейн водой» k «Прыгнуть в бассейн с вышки»Как же проверять правильность распределенных систем?ВЕРИФИКАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХПРОГРАММВерификацию распределенных систем нужноавтоматизировать.
Это можно сделать, например, так.1. Выбрать логический язык L, на котором можно описыватьтребования, предъявляемые к программе. Представить этитребования в виде формул ϕ1 , . . . , ϕn .2. Выбрать математическую модель M, адекватнопредставляющую все вычисления программы.
Модельдолжна быть устроен так, чтобы каждое вычисление I вмодели M являлось интерпретацией языка L.3. Проверить выполнимость формул ϕ1 , . . . , ϕn на всехвычислениях модели M. Для проверки выполнимостиформул языка L на модели программы M должен бытьразработан эффективный алгоритм.Такой подход к проверке правильности программ назваетсяверификацией моделей программ (англ. model-checking ).ЛОГИКА ЛИНЕЙНОГО ВРЕМЕНИ PLTLПри верификации распределенных систем, как правило,требуется проверить, что в каждом вычислении системынекоторые события (выполнение того или иного действия,прием/передача сообщений и пр.) происходят в определеннойпоследовательности.Каждое событие event можно охарактеризовать булевойпеременной (0-местным предикатом) pevent , которая принимаетзначение true в том и только том случае, когда осуществляетсясобытие event.
Таким образом, в логическом языке L не нужныпредметные переменные, термы, кванторы.Однако осуществимость событий (значения булевых пременныхpevent ) изменяется со временем. Значит, в логическом языке Lдолжен быть явно учтен феномен времени.Таким образом, для описания требований, которыепредъявляются к распределенной системе, достаточновоспользоваться языком пропозициональной темпоральнойлогики линейного времени (PLTL).Исторические сведения1941АМИР ПНУЭЛИЛОГИКА ЛИНЕЙНОГО ВРЕМЕНИ PLTLСинтаксис PLTLВ PLTL наряду с булевыми логическими связками дляописания причинно-следственной зависимости событий вовремени применяются темпоральные операторыIX (neXttime) «в следующий момент времени»;IF (sometime in Future) «когда-то в будущем»;IG (Globally) «всегда в будущем»;IU (Until) «до тех пор пока»;IR (Release) «высвободить, открепить».ЛОГИКА ЛИНЕЙНОГО ВРЕМЕНИ PLTLПусть задано множество булевых переменныхAP = {p1 , p, .
. . , pn , . . . } (будем называть их атомарнымивысказываниями).Синтаксис PLTLФормула PLTL — этоpi ,(ϕ&ψ),(ϕ ∨ ψ),(ϕ → ψ),(¬ϕ),(Xϕ),(Fϕ),(Gϕ),(ϕUψ),(ϕRψ),если pi ∈ AP;если ϕ и ψ — формулы;«в следующий момент будет верно ϕ»;«когда-то в будущем будет верно ϕ»;«всегда верно ϕ»;«ϕ остается верной, пока не станет верной ψ»;«ψ может перестать быть верной только после того,как станет верной ϕ».ЛОГИКА ЛИНЕЙНОГО ВРЕМЕНИ PLTLСемантика PLTLИнтерпретация PLTL — это темпоральная модель КрипкеI = hN, ≤, ξi, гдеIN = {0, 1, 2, .
. . } — множество моментов времени;I≤ — отношение нестрогого линейного порядка на N;Iξ : N × AP → {true, false} — оценка атомарныхвысказываний на шкале времени.p = true p = false p = trueq = false q = false q = truep = true p = falseq = false q = false0 y?1 ? -2 y?3 ? -4 y?- y - y &666%r r rЛОГИКА ЛИНЕЙНОГО ВРЕМЕНИ PLTLСемантика PLTLИнтерпретация I = hN, ≤, ξi — это вычислительная трассапрограммы, и в этой трассеIN = {0, 1, 2, . . . } — это последовательность состоянийвычисления, линейно упорядоченная отношениемпереходов ≤;Iоценка ξ : N × AP → {true, false} указывает, какиесобытия происходят в те или иные моменты времени.Формулы PLTL — это утверждения о том, в какойпоследовательности должны происходить события по ходувычислений программ.Чтобы оценивать, в какой мере вычислительная трасса(интерпретация) удовлетворяет заданному требованию(формуле PLTL), определим отношение выполнимости формулPLTL в темпоральных интерпретациях.ЛОГИКА ЛИНЕЙНОГО ВРЕМЕНИ PLTLСемантика PLTLПусть I = hN, ≤, ξi — темпоральная интерпретация(вычислительная трасса), n ∈ N — момент времени (состояниевычисления), ϕ — формула PLTL.Тогда отношение выполнимости I , n |= ϕ формулы ϕ в моментвремени n в интерпретации I определяется так.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
