Часть 1 (1157609), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Суммарный сдвиг s1+s2= s||+s┴, входящий в состав элементов R1 = R1’+s1 иR2= R2’+s2, представляют в виде суммы двух векторов: параллельного (s||) иперпендикулярного (s┴) к закрытому элементу симметрии R3’, который возникает привзаимодействии соответствующих закрытых элементов R1’ и R2’. «Параллельный» векторs|| вливается в R3’, превращая его в новый элемент R3 = R3’+ s||, а «перпендикулярный»вектор s┴ переносит полученный элемент R3 на s┴/2.В случае взаимодействия оси 2-го порядка и перпендикулярной ей плоскости поправилу №4 возникает центр инверсии, сдвинутый на половину суммы s1+s2 от точки ихпересечения (Рис. 2.24 а).
Две взаимно перпендикулярные оси 2-го порядка (безразлично,поворотные или винтовые), пересекающиеся в точке, порождают ось 2 (Рис. 2.24 б), а двескрещивающиеся перпендикулярные оси – ось 21 (Рис. 2.24 в); положения полученныхосей определяются суммой s1+s2= s┴.. Две взаимно перпендикулярные плоскости дают ось282-го порядка; ее тип и положение определяются, соответственно, компонентамисуммарного сдвига s|| и s┴ (Рис. 2.24 г, д).Правило №4 справедливо для всех комбинаций элементов 2-го порядка.
Так, ось 21,лежащая в плоскости m, порождает перпендикулярную к m плоскость скользящегоотражения со сдвигом в направлении оси и служит линией пересечения этих плоскостей.Рассмотренные в ч.1 взаимодействия элементов 2-го порядка с поворотной осью порядкаN>2 также можно распространить на взаимодействие винтовой оси Np cперпендикулярной к ней осью 2: при этом возникает N перпендикулярных осей 2,пересекающих Np и расположенных вдоль нее через интервалы tp/(2N) (Рис. 2.24 е).t2/4t1/4t1/4t/4t/4t2/4(б)(а)(в)1/61/31/4t/4t/41/41/41/41/6(г)(д)1/3(е)Рисунок 2.24. (а–д) Взаимодействие двух элементов симметрии 2-го порядка: (а) винтовойоси и плоскости скольжения, (б) взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся вточке, (в) скрещивающихся осей, (г) плоскостей m и n, (д) двух координатныхпльоскостей.
(е) взаимодействие винтовой оси 31 и перпендикулярной ей оси 2 (осипересекаются).Правила №№ 1–4 позволяют построить графики пространственных группмоноклинной и орторомбической сингоний. Начало координат в таких группах выбираютв положении на закрытых элементах симметрии с минимальным числом степенейсвободы: на оси 2 в группе С2, на плоскости m в группах Pm и Cm, в центре инверсии вгруппах P1, P21/c, Pmmm и т.д. (рисунки 2.20 – 2.25). Точка, выбранная внутриэлементарной ячейки, под действием операций пространственной группы преобразуется ворбиту: совокупность симметрически связанных точек.
Хотя число таких точек вкристалле бесконечно, кратностью орбиты называется (конечное) число точек в однойэлементарной ячейке. Точка, не лежащая на элементах симметрии, называется общимположением (или общей позицией). Положения на закрытых элементах симметрииназываются частными. Среди рассмотренных нами групп кратность общей позиции вгруппах Р 1, Р2, Pm, Pc равна двум, в C2, Cm, Cc, P21/c и Pca21 четырем, в группе Pmmmвосьми, а в Р 1 – единице.291/4(а)(б)(в)Рисунок 2.25. Графики пространственных групп (а) P21/c, (б) Pca21, (в) Pmmm.2.7. Общая классификация пространственных группКаждая из 230 пространственных групп принадлежит к одному из 32кристаллических классов и одной из 14 решеток Браве. По набору порождающих, или«главных» элементов, содержащихся в символе, пространственных группыподразделяются на симморфные и несимморфные.
Символы симморфных групп – этосочетания решеток Браве с кристаллическими классами (которые обозначаютсязакрытыми элементами симметрии). Прямой перебор всех классов с возможными для нихрешетками (см. Табл. 2.3) дает 66 различных комбинаций, среди которых для семисочетаний возможны по два различных расположения элементов симметрии в решетке,отвечающих разным пространственным группам (Рис.
2.26):Cmm2 ≠ Amm2, P321 ≠ P312, P3m1 ≠ P31m, P 3m1 ≠ P 31m,P 4m2 ≠ P 42m, I 4m2 ≠ I 42m, P 6m2 ≠ P 62mТаким образом, имеется 73 симморфных пространственных групп, международныесимволы которых состоят только из закрытых элементов симметрии. (Многие из этихгрупп включают открытые элементы – например, группа С2 и Cm, рис. 2.23).Рисунок 2.26. Различное расположение элементов симметрии в пространственных группахP3m1 (плоскости m перпендикулярны координатным трансляциям) и P31m (плоскости mпроходят по координатным трансляциям). Плоскости скольжения возникают в результатевзаимодействия плоскостей m с наклонными координатными трансляциями.Замена в симморфных группах некоторых или всех порождающих закрытыхэлементов на открытые без учета энантиоморфных осей дает 146 несимморфных групп(вдвое больше числа симморфных групп), вместе составляющие 219 геометрическиразличных пространственных групп. Среди них у 11 несимморфных групп имеютсяэнантиоморфные пары:30P31 || P32, P3121 || P3221, P3112 || P3212, P41 || P43, P4122 || P4322, P41212 || P43212,P61 || P65, P62 || P64, P6122 || P6522, P6222 || P6422, P4132 || P4332С учетом этих пар общее число пространственных групп достигает 230.Обозначение кристаллического класса, к которому относится пространственнаягруппа, можно получить, отбрасывая в символе пространственной группы букву (котораяобозначает решетку) и заменяя в оставшейся части всех открытые элементы закрытыми.Так, группа P21/c принадлежит к классу 2/m, группа P212121 к классу 222, группа Ibam – кклассу mmm.
Кратность общего положения в пространственной группе равнапроизведению порядка ее кристаллического класса на множитель, учитывающийумножение числа операций симметрии в центрированных решетках:P – решетка: 1A, B, C, I –решетки: 2R – решетка: 3F – решетка: 4Кратность положения на закрытом элементе (элементах) симметрии равна частному отделения кратности общей позиции на порядок локальной группы, задающей симметриюположения точки. Так, общая позиция 1 в группе Pmmm имеет кратность 1 8 = 8, в группеIbam 2 8 = 16, а частное положение mm2 (порядок этой группы равен 4) в группе Pmmmимеет кратность 8/4=2 (см.
рис. 2.25 в)Таблица 2.4.Пространственные группы триклинной и моноклинной сингонийСингония ирешеткиБравеКлассыПространственные группы (в скобках обозначенияпо Шенфлису)СимморфныеТриклинная(P)1 (C1)1 (Ci)P 1 (C11)P 1 (Ci1)P2 (C21)C2 (C23)Pm (Cs1)Cm (Cs3)2/m (C2h) P2/m (C2h1)C2/m (C2h3)Моноклинная 2 (C2)(P, C)m (Cs)несимморфныеP21 (C22)Pc (Cs2)Cc (Cs4)P21/m (C2h2), P2/c (C2h4),P21/c (C2h5), C2/c (C2h6)Связь пространственных групп с кристаллическими классами и решетками Бравена примере моноклинной сингонии показывает табл.
2.4. Добавление двух решеток Браве(примитивной Р и бокоцентрированной С), имеющихся в моноклинной сингонии, к тремклассам этой сингонии (2, m и 2/m) дает шесть симморфных групп: P2, Pm, P2/m, C2, Cmи C2/m. Последовательно заменяя в символах этих групп закрытые элементы на открытые,получим пять несимморфных групп с примитивной решеткой (P21, Pc, P21/m, P2/c, P21/c) илишь две несимморфные С-группы (Сс и С2/c), поскольку в парах групп Р2 и Р21, P2/m иP21/m, а также P2/c и P21/c добавление центрирующей трансляции tC дает одни и те жеконфигурации элементов симметрии – соответственно, группы C2, C2/m и C2/c. Таким31образом в дополнение к двум группам триклинной, получаем 13 пространственных группмоноклинной сингонии.
Обратите внимание, что кристаллические классы ипространственные группы в Табл. 2.4. обозначены в двух системах: как по ГермануМогену, так и по Шёнфлису. По сравнению с международной системой, символпространственной группы по Шенфлису содержит меньше информации об элементахсимметрии: он состоит из символа кристаллического класса и (однажды произвольноустановленного) номера группы в этом классе. Так, шёнфлисовский символ группы P21/c(C2h5) означает: «класс C2h, пространственная группа №5»Интернациональные таблицыНаиболее обширным и универсальным руководством по рентгеновскойкристаллографии является многотомное издание International Tables for X-rayCrystallography, в практической работе часто называемое «Интернациональнымитаблицами». Первый том этого руководства, которое регулярно дополняет и выпускаетМеждународный союз кристаллографов (в последнем издании том А) содержитподробную информацию о симметрийных соотношениях, кристаллографическихэлементах симметрии и кристаллических решетках, а также развернутую характеристикукаждой из 230 пространственных групп (обозначения, графики, перечень элементовсимметрии, общие и частные позиции и другие параметры, см.
Приложение). Средипрочей информации для каждой пространственной группы приводится полный символ поГерману-Могену и символ по Шёнфлису, или символ кристаллического класса спроизвольно установленным номером группы внутри данного класса в качестве верхнегоиндекса.
Шёнфлисовский символ пространственной группы и ее порядковый номер в 1-мтоме Интернациональных таблиц приводятся для перекрестной проверки придепонировании кристаллических структур в банках структурных данных.Рекомендуемая литература1. П.М.Зоркий, Симметрия молекул и кристаллических структур, МГУ, 1986.2. Б.К.Вайнштейн, Современная кристаллография, т.1, М. Наука, 1979.3.
Ю.Г.Загальская, Г.П.Литвинская. Геометрическая микрокристаллография. М.: Изд-воМГУ, 1976.4. Ю.К.Егоров-Тисменко, Г.П.Литвинская. Теория симметрии кристаллов. М.: ГЕОС,2000.5. В.А.Артамонов, Ю.Л.Словохотов Группы и их приложения в физике, химии,кристаллографии. М.: Академия, 2005, гл. 2.32ПриложениеДанные о пространственной группе в 1-м томе International Tables for X-ray Crystallography33.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
