М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Не является необходимым и условие, что начальное состояние принадлежит вычислительному базису; мы знаем, что многие встречаюшдеся в природе системы «пре~щочитают» находиться в весьма запутанных состояниях, и, быть может, за счет этого удастся выиграть в эффективности вычислений? Не исключено, что доступ к некоторым из таких состояний позволил бы 4.7. Моделирование квантовых систем 259 проводить вычисления гораздо быстрее, чем тогда, когда мы начинаем работу в состоянии, принадлежащем вычислительному базису.
Возможность эффективно производить запутывающие измерения в многокубитовых базисах также могла бы быть не менее полезна, чем возможность выполнять запутывающие унитарные операции. Может быть, такие измерения удастся приспособить к выполнению задач, недоступных модели квантовых схем. Подробное рассмотрение и обоснование физики, лежащей в основе модели квантовых схем, выходит за рамки нашего обсуждения, да и за рамки современной науки.
Поднимая эти вопросы, мы хотим лишь подчеркнуть важность проблемы полноты модели квантовых схем и еще рэз привлечь внимание к тому важному обстоятельству, что информация — понятие физическое. Пытаясь создать модели обработки информации, не следует забывать время от времени обращаться к основным физическим законэи. В нашем рассмотрении мы не выйдем за рамки квантовой модели вычислений, которая является богатой и мощной. С помощью законов квантовой механики она позволяет произвести поразительные вычисления, не имеющие аналогов в классической модели. Вопрос о том, существуют ли физически возможные вычислительные модели, более эффективные, чем квантовые схемы, мы адресуем читателю.
4.7 Моделирование квантовых систем Возможно (...) нам недостает математической теории квантповых автоматов. (...) квантовое пространство состояний обладает гораздо большей емкостью, чем классическое: пим, где в классике имеетпся 1т' дискретных состояний, в квантовой теорищ допускающей их суперпозицию, имеется с пганковских ячеек. При обэединении классических систем их числа состпояний дтт и 1тг перемножаются, а в квантаовом варианте получается Сгт'гт'. Этпи грубьсе подсчеты показываютп гораздо болыиую потенциальную сложность квантового поведения системы по сравнению с его каассической имитпацией.
Ю. И. Манин, 1980 [274) Для квантовомеханического расчета молекулы метана требуется провести вычисления по методу сеток в 10гг тпочках. Если считатпь, что в каждой точке следует выполнить всего 10 элементпарных операций, и предположить, чтпо все вычисления производятся при сверхнизких температурах (T = 3 ° 10 з К), тао и при этом расчет молекулы метана потребует израсходовать энергию, производимую на Земле примерно за столетие. Р.
П. Поплавский (1975) (325) (цитируется по (274)) 260 Глава 4. Квантовые схемы Можно ли смоделировать физику на универсальном компьютере? (...) физический мир — квантовамеханический, так что подлинной задачей явллется моделирование квантовой физика (...) полное описание квантовой механики для большой системы из Н частиц (...) содержит слишком много переменных, и его невозл«ооюно смоделироеатпь на обычном компьютере, число элементов которого пропорционально Н (...
но его можно смоделировать ) с помощью кванп1ового компьютера. (...) Может ли квантовая система быть вероятностно смоделирована с помощью классического (предположим, вероятностного) компьютера? (...) Если имеется в виду классический компьютер того типа, что я описал выше, то ответам, бесспорно, будет «неты Р. Фейнман (1982) (149] Мы завершим эту главу рассмотрением одного из интересных и полезных приложений модели квантовых схем. Важнейшее практическое приложение компьютерных вычислений — моделирование физических систем. Например, при проектировании нового здания для обеспечения безопасности при минимальных затратах используются метод конечных элементов и моделирование. Автомобили получаются легкими, удобными, привлекательными и недорогими благодаря применению систем автоматизированного проектирования.
Современное самолетостроение в большой степени основано на компьютерном аэродинамическом моделировании. Испытания ядерного оружия в основном проводятся не с помощью взрывов, а путем тщательных расчетов. Таким образом, примеров очень много по той простой причине, что моделирование, ориентированное на предсказания, имеет огромную практическую ценность. Начнем с того, что опишем различные варианты проблемы моделирования, затем представим в качестве примера квантовый алгоритм моделирования, а в заключение обсудим перспективы его применения. 4.7.1 Моделирование в действии Главным в моделировании является решение дифференциальных уравнений, описывающих физические законы, управляющие поведением системы. В качестве примера могут быть рассмотрены закон Ньютона (4.88) — т — =Е, уравнение Пуассона (4.89) 4.7. Моделирование квантовых систем 261 волновое уравнение для электромагнитного поля дав ~7 .
тУЕ = задав д1г (4.90) и уравнение диффузии (7г 1 д1а (4.91) аг д8 ' Обычно дается исходное состояние системы и требуется установить, в каком состоянии она будет находиться в данный момент времени или в данной точке пространства. Для получения решения исходное состояние приблиаюенна опи- сывают в чеславам виде, а затем дискретизируюш дифференциальное урав- нение (по пространству и времени) так, чтобы последовательное применение некоторой процедуры дало искомое решение.
Существенно, что погрешность при такой процедуре решения ограничена — она не превышает небольшую сте- пень числа итераций. Далее, не всякую физическую систему можно смоде- лировать эффективно: такому моделированию поддаются только те системы, которые могут быть эффективно описаны. Моделирование квантовых систем на классических компьютерах возмож- но, но обычно оно довольно трудоемко. Поведение многих простых квантовых систем описывается уравнением Шредингера 4Л вЂ” )ф) = Н~Я, 4 й (4.92) Нам будет удобно включить Л в Н (до конца настоящего раздела мы будем придерживаться этого соглашения). Для типичного физически интересного га- мильтониана, связанного с реальными частицами в пространстве (а не с таки- ми абстракциями, как кубиты, с которыми мы до сих пор имели дело), это уравнение приводится к виду ,д ~ 1 дг г — уг(х) = ~ — — — + Р(х) ф(х), дэ ~ 2гп дхг (4.93) где используется так называемое координатное представление (х)ф) = 4(х).
Это — эллиптическое уравнение, очень похожее на (4.91), так что само по себе моделирование уравнения Шредингера не представляет особой сложности. Так почему же трудно моделировать квантовые системы? Главная проблема заключается в том, что количество дифференциальных уравнений, которые надо решать, экспаненциальна. Для моделирования систе- мы из одного кубита, согласно уравнению Шредингера, необходимо решить систему из двух дифференциальных уравнений; для двух кубитов уравнений будет четыре; а для и кубитов — 2". Иногда удается придумать приближение, в котором число уравнений сокращается настолько, что классическое модели- рование квантовой системы становится возможным.
Однако существует мно- го физически интересных квантовых систем, для которых такое приближение неизвестно. Упражнение 4.46 (экспоненциальный рост сложности в квантовых системах). Пусть р — матрица плотности, описывающая состояние п кубитов. 262 Глава 4. Квантовые схемы Покажите, что для задания матрицы р требуется 4" — 1 независимых действительных чисел. Читатель, обладающий познаниями в физике, согласится, что существует множество важных квантовых систем, классическое моделирование которых невозможно.
К ним относятся, например, модель Хаббарда, в которой фермионы взаимодействуют с гамильтонианом Е * весь сс, Н = ~~1 Ъопссгпсс1 + (4.94) ЙН вЂ” соседи,о полезная при исследовании сверхпроводимости и магнетизма; модель Изинга Н = У сУь ° о'~,.сс Ыис (4.95) и многие другие. С помощью этих моделей можно получить такие физические величины, как диэлектрическая постоянная, проводимость и магнитная восприимчивость материалов. Более сложные модели (в области квантовой электродинамики и квантовой хромодинамики) можно использовать для вычисления ряда констант, например, массы протона.
Квантовые компьютеры способны эффективно моделировать такие квантовые системы, для которых неизвестно никакой эффективной классической модели. Это возможно по той причине, что позволяет построить любую квантовую схему из универсального набора квантовых элементов. Более того, подобно тому, как существуют унитарные операторы, которые нельзя эффективно аппроксимировать, не исключено, что имеются и квантовые системы, гамильтониан которых невозможно эффективно моделировать на квантовом компьютере.
Мы, конечно, полагаем, что в природе такие системы не встречаются, иначе мы смогли бы использовать их для выполнения более мощных вычислений, которые нельзя проводить с использованием модели квантовых схем. !сР(ф)) = е-сне! ф(9)) (4.96) Поскольку вычислить экспоненту от Н обычно бывает крайне трудно (матрица может быть разреженной, но при этом она экспоненциально велика), в начале стоит рассмотреть приближение первого порядка (ф($+ с!м)) ю (1- сНЬ1) ( фЯ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
