М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Это уже практически вычисляется, поскольку для многих гамильтонианов Н 4.7.2 Алгоритм квантового моделирования Классическое моделирование начинается с понимания того факта, что при решении простого дифференциального уравнения, подобно с(у/ссс = Ду), в первом порядке малости верно равенство у(4+ ЬФ) у(с) + 1(р)сдс. В квантовом случае уравнение имеет вид И~с/с)/сй = Н~Я, а его решение (при Н, не зависящем от времени) есть 4.7. Моделирование квантовых систем 263 без труда можно подобрать квантовые элементы, эффективно аппроксимирующие 1 — гНЬг, однако такие решения первого порядка, вообще говоря, неудовлетворительны.
Эффективная аппроксимация решения уравнения (4.96) при более высоком порядке малости возможна для многих классов гамильтонианов. Например, для большинства физических систем гамильтониан можно записать в виде суммы слагаемых, отвечающих за локальные взаимодействия. Конкретнее, для системы из и частиц имеем Н=~~~ Н», »»и (4.97) где каждый Н» действует не более чем на с системах (с — константа), а Ь— многочлен от и. Нередко, например, что все Н» — это либо взаимодействия двух тел (например, Х;Х ), либо гамильтонианы одного тела (как Х;).
И в модели Хаббарда, и в модели Изинга гамильтонианы имеют именно этот вид. Такая локальность вполне осмысленна физически; для многих систем она объясняется тем, что взаимодействие быстро убывает с ростом расстояния или разности энергий. Часто имеют место также глобальные ограничения, налагаемые симметрией (например, статистикой частиц); ниже эти вопросы будут изучены подробнее. Существенным моментом является то, что, хотя е '~' подсчитать трудно, е '~" действует на гораздо меньшей подсистеме и этот оператор легко аппроксимировать с помощью квантовых схем.
Впрочем, поскольку [Н;, Ну[ ~ О, е 'и' ф Д» е 'и". Как же в таком случае использовать е 'и" для вычисления е '~»7 Упражнение 4.47. Пусть Н = Р Н»; докажите, что е ™~ = е 'и" е 'и"... е 'и", для всех 1, если [Н.,Н»[ = О для всех у и й. э'пражнение 4.48. Покажите, что если Н» соответствует взаимодействию ие более чем с с частицами, то в формуле (4.97) число 1 ограничено сверху полиномом от п.
В основе алгоритмов квантового моделирования лежит следующая теорема об асимптотической аппроксимации: Теорема 4.3 (формула Троттера). Пусть А и  — эрмитовы операторы. Покажите, что для всякого вещественного 8 справедлива формула В ( 4Аь/п ъВй/и)э цА+ВР э ~00 (4.98) Заметим, что формула (4.98) выполняется даже в том случае, когда А и В не коммутируют.
Возможно, еще интереснее то обстоятельство, что эту формулу можно обобщить на тот случай, когда А и В являются образующими некоторых полугрупп, соответствующих общим преобразованиям матриц плотности. Эти образующие (аформа Линдблада») будут описаны в подразд. 8.4.1, а пока ограничимся рассмотрением случая эрмитовых операторов А и В. 264 Глава 4. Квантовые схемы Доказаглельсгпао. По определению, сои/" = 1+ — гА4+ 0 ~ — ), и (4.99) откуда имеем еглг/ггегвг/и 1 + 1(А + Н)~ + О 1 11~ и ~ пз)' (4.100) Возведя в степень п, получим уравнение (еым/"егнг/")гг 1+ ~~г ) — /а(А+ В)1~ + Π—, (4 101) гп' 1г, 11~ Й и" и а поскольку ("„) -„-г = (1+ О (~~)) /И, можно записать соотношение йш (егзн/ггегвг/е)гг = йш г 1 + 0 — + Π— = еггА+ВР гг 00 ~-оо й! (4.102) Различные модификации формулы Троттера дают методы для получения приближений высоких порядков, необходимых для квантового моделирования. Так, с помощью рассуждений, аналогичных приведенному вьппе доказательству, можно показать, что КА+Вры глаг гног + ~ р(д~з) (4.103) Аналогичным образом имеем в(А+В)ьг глаг/3 гвьг гАьг/з + 0(д~з) (4.104) Краткое описание алгоритма квантового моделирования приведено ниже, а яв- ный пример моделирования одномерного нерелятивистского уравнения Ш1р- дингера дан во вставке 4.2.
Алгоритм:квантовое моделирование Вход: 1) гамильтониан Н = 2 ь Ны действующий на М-мерной системе; каж- дый Нь действует на небольшой подсистеме, размер которой не зависит от А/; 2) ~фс) — начальное состояние системы при 8 = 0; 3) положительное число б (возможная ошибка); 4) время Ф/ — момент времени, в который мы хотим узнать состояние системы.
Выходг состояние /г/г(й/)), такое, что Я(Я1/) ~е миг !г/гааз ) 1 — Б, Время работы: 0(ро1у(1/4)) операций, Процедура: выберем представление, в котором состояние ~г/г) системы из п = ро1у(1ойй/) кубитов аппроксимирует нашу систему, а операторы е гл'а' 4.7. Моделирование квантовых систем 265 обладают эффективной аппроксимацией с помощью квантовых схем. Выбрать метод приближенного решения (см., в частности, формулы (4.103)-(4.105)) и ЬС таким образом, чтобы ожидаемая ошибка была приемлема (и уЫ = С7 для некоторого целого у), построить соответствующую квантовую схему Удс (для шага итерации) и сделать следующее: !Фо) - !Фо);) =0 (инициализация) — ' !Фз+г) = (Уд|!Рг) (шаг итерации) 3 «,) =,) + 1; аоСо 2 ипС1!,)'ЬС > С7 (цикл) 4.
-« /ф(С7)) = )),.) (окончательный результат) 'Упражнение 4.49 (формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа). Докажите, что 1А+В)ы Адг Вдг -ЦА,В)д~| + О(ДС3) (4.105) а также выведите формулы (4.103) и (4.104). «Упражнение 4.50. Пусть Н = ~~ Ны и положим ц -«н,дс -н«дг -«н«.д» ~ -«ньдг -ль «ж )н«дй~ (4 106) дг — — [е а) До„ажите что )уд е-г нд' 1 О(«1сз) б) С помощью результатов вставки 4.1 докажите, что при целых положительных пг имеем Е(Н«««с-г«««ьнд ) ( гпоДСз (4.107) для некоторой константы а. 4.7.3 Пример Описанная процедура квантового моделирования предназначена для моделирования гамильтонианов, являющихся суммами слагаемых, соответствующих локальным взаимодействиям.
Однако такое ограничение не является необходимым) Как показывает следующий пример, эффективное квантовое моделирование возможно даже для гамильтонианов, нетривиально действующих на все (или на почти все) части большой системы. Вставка 4.2. Квантовое моделирование уравнения Шредингера. Методы квантового моделирования и его ограничения можно продемонстрировать на следующем примере, относящемся не к абстрактной кубитовой модели, а к моделям, которыми занимаются физики. Рассмотрим одиночную частицу на прямой с одномерным потенциалом Ъ'(х) и 266 Глава 4. Квантовые схемы гамильтонианом р' Н = — + Ъ'(х), (4.108) 2гл где р — оператор импульса, а х — оператор координаты.
Спектр оператора х непрерывен, и состояния ~ф) этой системы образуют бесконечномерное гильбертово пространство; в базисе х состояние ~ф) можно записать в виде )ф) = (х)(х(4) 4х. (4.109) На практике интерес представляет только конечная часть прямой; можно считать, что она задается неравенствами — 4 < х < о. Далее, если выбрать шаг Ьх достаточно коротким (достаточно малым по сравнению с наименьшей длиной волны), то выражение И/Ьж (4.110) будет хорошей физической аппроксимацией для ~ф) .
Это состояние можно представить с помощью и = ~!об(2И/Ьх+ 1)) кубитов: мы просто заменим каждое состояние ~ЙЛх) (собственное состояние оператора х) на состояние ~й),,лежащее в вычислительном базисе для и кубитов. Отметим, что для такого моделирования достаточно только п кубнтов, тогда как классически потребовалось бы 2" комплексных чисел: за счет этого и достигается экспоненциальная экономия ресурсов. В вычислении )ф(Ф)) = е 'н')4(0)) необходимо использовать одну из приближенных формул (4.103)-(4.106), поскольку, вообще говоря, Н~ — — У(х) не коммутирует с Нс = рз/2т.
Таким образом, мы должны уметь вычислять е 'н'а' и е 'н'а'. Поскольку ~4) выражается через собственные значения оператора Нп оператор е '~'~' является диагональным и имеет вид — шьа*юсц (4.111) Это выражение вычисляется непосредственно, поскольку можно подсчитать |~(йЬх)~М (см. также задачу 4.1). Второй оператор также вычисляется легко, так как х и р сопряжены с помощью квантового преобразования Фурье: УрэтхУ~рт —— р; значит, е *~'~' = вирте ** а'~э Уь(ит.
чтобы определить е ' 'а', достаточно вычислить )й) Цинге '* ~з~У~1 ~й). (4.112) Конструкция Уээт будет обсуждена в гл. 5. 4.7. Моделирование квантовых систем 267 Предположим, имеется гамильтониан вида (4.113) действующий на и-кубитовой системе. Хотя в этом взаимодействии участвует вся система, его можно эффективно смоделировать. Для этого требуется простая квантовая схема, реализующая оператор е ел~с для произвольных значений Ы. Соответствующая схема (для п = 3) изображена на рис.
4.19. Главное здесь то, что, хотя гамильтониан действует на все кубиты, это действие является кеассическилс: фазовый сдвиг системы равен е еас, если число кубитов четно, и ессьс, если нечетно. Поэтому смоделировать Н можно так: сначала классическим способом подсчитать четность числа и (результат записывается во вспомогательном кубите), затем применить сдвиг фазы, соответствующий 'этой четности, затем обратить вычисление четности (чтобы стереть вспомога- тельный кубит). Ясно, что эта стратегия работает не только при и = 3, но и для произвольных значений и. Рис. 4.19. Квантовая схема для моделирования гамильтоннана Н = лс СрлвЭлв на промежутке времени саа Обобщение этой процедуры позволяет моделировать и более сложные гамильтонианы,например, гамильтониан вида (4.114) где ст,"~ь1 — матрица Паули (или тождественная матрица), действующая на лом кубите, а с(сс) Е (О, 1, 2, 3) обозначает одну из матриц (1, Х, У, Я).
Кубиты, к которым применяется тождественное преобразование, можно не рассматривать, а операции Х и 1г могут быть преобразованы в операции Я с помощью однокубитовых элементов. Это сводит дело к гамильтониану вида (4.113), а его можно промоделировать, так как было объяснено выше. 'Упражнение 4.51. Постройте квантовую схему, моделирующую гамильтоииан Н=Х ЭЬ' вяз, (4.115) 268 Глава 4.
Квэлтовые схемы таким образом, чтобы она выполняла унитарное преобразование е га'и для любого Ы. С помощью этой процедуры можно моделировать большой класс гамильтонианов, содержащих нелокальные слагаемые. В частности, можно моделировать гамильтонианы вида Н = ~ ь, Нь при единственном условии: каждый из Ь Нь обладает структурой тензорного произведения, а Ь полиномиально относительно числа частиц п. Другими словами, достаточно лишь потребовать, чтобы каждый из Нь по отдельности эффективно моделировался схемой.
Например, гамильтониан Н = 2 „", Хь + Яе" можег быть эффективно смоделирован с помощью описанного метода. Как правило, в природе таких гамильтонианов не существует, но они позволяют с другой точки зрения рассматривать квантовые компьютеры. 4.7.4 Перспективы квантового моделирования Алгоритм квантового моделирования очень близок к классическим методам, но у него есть и фундаментальное отличие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
