М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Разумеется, единица в этой ситуации ничем не выделена, и 4.3. Условные операции 237 часто удобно рассматривать условные операции, в которых оператор применяется к управляемому кубиту, если управляющий кубит установлен в нуль. Пусть, например, нам нужна операция, при которой второй («управляемыйа) кубит изменяется, если первый («управляющий») кубит установлен в нуль. На рис. 4.11 приведено обозначение для элемента, осуществляющего такую операцию, а также реализацию этого элемента с помощью схемы, собранной из уже известных нам элементов.
В дальнейшем белый кружок будет означать, что оператор применяется в случае, когда кубит установлен в нуль, а черный кружок — применение оператора в случае, если кубит установлен в единицу. Рис. 4.12. Операция «управляемое Уь и ее реализация с помощью уже известных нам злементов. Оператор У применяется к четвертому кубиту тогда и только тогда, когда первый и третий кубиты установлены в нуль, а второй — в единицу. Более сложный пример использования этих обозначений, в котором используются три управляющих кубита, приведен на рис.
4.12. Оператор У приме. няется к управляемому кубиту, если первый и третий кубиты установлены в нуль, а второй — в единицу. Легко убедиться, что схема в правой части этого рисунка реблизует именно эту операцию. В общем, легко перейти от схемы, в которой условия задаются в терминах равенства кубитов единице, к схеме, где условия задаются в терминах равенства кубитов нулю, путем добавления в подходящих местах элементов Х, как на рис.
4.12. Рис. 4.13. Элемент СКОТ с несколькими управляемыми кубитами Другое соглашение, с помощью которого люжно изображать управляемое 'г1ОТ с несколькими управляемыми кубитами, иллюстрирует рис. 4.13. Приведенные обозначения следует понимать так: если управляющий кубит установлен в единипу, то все кубиты, помеченные знаком цт, меняются, — в противном случае ничего не происходит. Эти обозначения удобны, например, при построении таких классических функций как перестановки, или при кодировании и 238 Глава 4. Квантовые схемы декодировании в квантовых схемах с исправлением ошибок (смч например, гл.
10). Упражнение 4.31 (еще несколько схемных тождеств). Условимся, что нижний индекс обозначает, на какой именно кубит действует оператор, и пусть С вЂ” операция скот, в которой кубит номер 1 — управляющий, а номер 2— управляемый. Докажите следующие тождества: 4.4 Измерение Последний ингредиент, используемый в квантовых схемах (иногда неявным образом),— это измерители. Будем обозначать проективное измерение в вычислительном базисе (подразд. 2.2.5) с помощью символа «взмеритель», изображенного на рис. 4.14.
В теории квантовых схем не принято пользоваться символами для измерений более общего вида, поскольку, как мы объясняли в гл. 2, их всегда можно реализовать с помощью композиции унитарных преобразований, использующих вспомогательные биты, и проективных измерений. ~Ф) — ь Рис. 4.14. Обозначение проективного измерения на одном кубите. В этой схеме с результатом измерения больше ничего не делается, но в общем случае его можно использовать для воз- действия нз поведение следующих элементов. Такое использование классической информации изображается с помощью «двойных линий» (на рисунке не показано) Имея дело с квантовыми схемами, полезно иметь в виду два принципа, довольно очевндньцс, но заслуживающих вследствие своей важности явной формулировки.
Первый из них состоит в том, что классические условные операции можно заменять квантовыми условными операциями: Принцип отложенного измерения. Измерения всегда можно пе- ренести в конец схемы; если на каком-то этапе работы схемы исполь- зуются измерения, то в этом месте классические условные операции можно заменить квантовыми. Часто квантовые измерения производятся в квантовой схеме на промежуточном этапе и результаты этих измерений подаются на вход условных квантовых элементов (см. например рис. 1.13). Однако такого рода измерения можно сх с СЪ'~ С ся с Схзс С1' С СЯзс ящ (в)с л, (в)с ХэХю 1' Х, г„ х, гг, г,г„ сл,, (в), СВщз(В).
(4.32) (4.33) (4.34) (4.35) (4.36) (4.37) (4.38) (4.39) 4.4. Измерение 239 всегда перенести в конец схемы. На рис. 4.15 показано как это можно сделать, заменив все классические условные операции соответствующими квантовыми. (Конечно, после этого нельзя говорить, что эта схема производит «телепортапию», поскольку никакой классической информации от Алисы к Бобу не передается, но ясно, что итоговое действие двух схем одно и то же, и это главное.) Второй принцип еще более очевиден и удивительно полезен. Принцип неявного измерения. Вез потери общности можно считать, что все квантовые провода в схеме заканчиваются измерителями. Ф00) Рис. 4.1б. Схема, реализуювцая квантовУю телепортацию, в которой измерения производятся не в середине, а в конце схемы.
Как и на рис 1 13, два верхних кубита принадлежат Алисе, а нижний †Бо Чтобы понять, почему выполняется этот принцип, представим себе, что имеется квантовая схема, в которой участвуют лишь два кубита, и при этом в конце измеряется только первый из них. Тогда статистика измерсний, производимых в этот момент, полностью определяется редуцированной матрицей плотности первого кубита. Однако, если измерить и второй кубит, то было бы весьма удивительно, если бы это измерение повлияло на статистику измерений первого кубита. Выполнив упр.
4.32, вы сможете доказать, что этого не произойдет, установив, что измерение второго кубита не влияет на редуцированную матрицу плотности первого кубита. Важно иметь в виду, что измерения в квантовых схемах играют роль посредника между квантовым и классическим мирами; измерение обычно рассматривается как необратимая операция, разрушающая квантовую информацию и заменяющая ее на классическую. Если приложить усилия, то можно создать схему, в которой этого не будет происходить; яркими примерами являются телепортацня и квантовое исправление ошибок (гл.
10). Общим у телепортации и квантового исправления ошибок является то, что в обоих случаях измерение не несет никакой информации об измеряемом квантовом состоянии. В гл. 10 будет показано, что это является общим свойством измерений: если мы хотим, чтобы измерение было обратизю, оно не должно нести информации об измеряемом квантовом состоянии! Упражнение 4.32.
Пусть р — матрица плотности, описывающая двухкубитовую систему. Предположим, что мы производим проективное измерение второго кубита (в вычислительном базисе). Пусть Ро — — )0)(0! и Рз = ~1)(Ц вЂ” проекторы на состояния ~0) и ~1) соответственно, а р' — матрица плотности системы 240 Глава 4. Квантовые схемы после измерения наблюдателем, не узнавшим результат измерения. Покажите, что имеет место формула Р = РсРРс+ КРРь (4.40) Покажите также, что редуцированная матрица плотности для первого кубита не меняется после измерения, т. е.
Фгз(р') = Фгз(р). Упражнение 4.33 (измерения в базисе Белла). В модели измерений, которой мы пользовались при изучении квантовых схем, измерения проводятся только в вычислительном базисе. Однако часто возникает необходимость провести измерения в другом базисе, определенном полным набором ортонормальных состояний. с1тобы провести такое измерение, достаточно сначала перевести базис, в котором мы хотим провести измерение, в вычислительный (с помощью ортогонального преобразования), а затем измерить. Покажите, например, что схема осуществляет измерение в базисе из белловских состояний. Точнее говоря, проверьте, что в результате работы этой' схемы измеряются с помощью соответствующих РОЧМ-элементов четыре проектора на белловские состояния.
Каковы соответствующие измеряющие операторы? Упражнение 4.34 (измерение оператора). Пусть имеется однокубитовый оператор У с собственными значениями ~1 (так что У одновременно является эрмитовым н унитарным, и его можно рассматривать и как наблюдаемую, и как квантовый элемент). Предположим, мы хотим измерить наблюдаемую У, иными словами — получить результат измерения, равный одному из двух собственных значений, и при этом сделать так, чтобы состояние, в котором система окажется после измерения, совпадало с соответствующим собственным вектором. Как можно добиться этого с помощью квантовой схемы? Покажите, что приведенная ниже схема реализует измерение оператора У.
/О) !Фх ) Упражнение 4.35 (измерение коммутирует с условными операциями). Из принципа отложенного измерения следует, что в случае, когда измеряется управляющий кубит, измерения коммутируют с условными элементами: 4.5. Универсальные квантовые элементы 241 (Напомним, что двойные линии обозначают классические биты.) Докажите первое равенство. Крайняя справа схема — удобное обозначение для случая, когда результат измерения используется в качестве классического управляющего кубита.
4.5 у'ниверсальные квантовые элементы С помощью небольшого количества элементов (например, АХП, ОВ,, НОТ) можно (см. подразд. 3.1.2) вычислить любую классическую функцию. В таких случаях говорят, что набор элементов нвляется универсальным для классических вычислений. Действительно, поскольку элемент Тоффоли универсален для классических операций, с помощью квантовых схем можно выполнить все действия, реализуемые с помощью классических схем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
